第2回レポート (2014/7/16更新：問題番号の修正)

線形代数学 A 第２回レポート
課題：下記の問題を解いて，レポートにまとめて提出
締め切り日時：6 月 25 日（水）16:30 まで
提出先：全学教育推進機構教務係内レポート BOX
注意 (i) レポートには学籍番号，氏名を記入すること．
(ii) レポートは紙媒体であれば様式（レポート用紙、ルーズリーフなど）は問いません．
(iii) レポートは原則返却しません．必要であればコピーを取って保存すること．
1. 次の行列の階数を求めよ．ただし
a は任意の数とする．








4 1 −1 1 2
3
1
3
−2
3
a
1
−1 2
1 2



4
5
7


5 −1 −1 2 4



(1) −1 1
1
−3 2
0 2 (2) 
 (4) a − 1
 (3) 
0 2
−1 −4 −4
1 1 0
−1 a + 3 a + 1 4
0 −2 −2 0
2 0
3 4 1
6
2
6
2. 次の行列が逆行列を持つか調べよ．逆行列を持つ場合は逆行列を求めよ．






−2 −3 4
6
1 1 0
1 2 3
−3 −4 6
8 






(1) 1 0 1 (2) 2 −1 1 (3) 

4
6 −6 −9 
0 1 1
4 3 7
6
8 −9 −12
3. 次の連立 1 次方程式は解を持つか調べよ．解を持つ場合は解をすべて求めよ．



2x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 1




x
−
3x
+
x
+
2x
=
0
1
2
4
5


 4x1 + 2x2 − x3 + x4 = 2

(1) 3x1 − 9x2 + 2x3 + 4x4 + 3x5 = 0 (2)


−2x1 − x2 − x3 − 2x4 = −1



 2x − 6x + x + 2x + 4x = 0


1
2
3
4
5
 2x + x + 2x + 3x = 1
1
2
3
4


2x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = 1




 −x1 − x2 + 2x3 + 2x4 = 2
(3)

3x1 + x2 + 2x4 = 1




 4x + 2x − x + x = 0
1
2
3
4
4. a, b を数とする．連立 1 次方程式


2x2 + 4x3 + 2x4 = 2




 −x1 + x2 + 3x3 + 2x4 = 2

x1 + 2x2 + 3x3 + x4 = b





−2x − x + ax = 1
1
2
4
が解を持つための必要十分条件を a, b を用いて表せ．またこのときすべての解を求めよ．
5. 次のベクトルが１次独立か１次従属か調べよ．
     
     
     
1
0
0
1
2
3
1
2
0
     
     
     
(1) 0 , 1 , 0 (2) −1 , 2 , 1 (3)  2  , 1 ,  3 
0
0
1
−1
1
1
−1
0
−2
[
] [
] [
]
(4) 1 1 0 1 , 0 −2 1 −1 , −1 0 −1 0
1

    
1
0
1
−1 1  2 
     
6. 次に与えるベクトルが   ,   ,   の線形結合で表せるか調べよ．
 1  2  1 
0
1
−1
 
 
1
3
1
2
 
 
(1)   (2)  
1
1
−1
−3
7. 次のベクトルの中で１次独立になるベクトルの最大個数を求めよ．
       
−2
1
2
1
−1  1  2  1 
[
] [
] [
]
       
(1) 1 1 4 2 , 2 −1 −1 1 , −1 1 2 0 (2)   ,   ,   ,  
 0   1  3 −2
3
0
−1
1
8. a1 , a2 , . . . , ak を n 次元列ベクトルとする．
(1) A を m × n 行列とする．a1 , a2 , . . . , ak が１次従属ならば，Aa1 , Aa2 , . . . , Aak は１次従属とな
ることを示せ．
(2) B を n 次正則行列とする．a1 , a2 , . . . , ak が１次独立ならば Ba1 , Ba2 , . . . , Bak は 1 次独立と
なることを示せ．
9. A を m × n 行列とするとき，rank A = rank tA を示せ．
10. A を m × n 行列，P を m 次正方行列，Q を n 次正方行列とする．
(1) rank P A ≤ rank A, rank AQ ≤ rank A を示せ．
(2) P , Q が正則ならば rank P A = rank A, rank AQ = rank A となることを示せ．
11. (1) A を階数が r の m × n 行列とする．このとき A に行基本操作と列基本操作を施すことで
A を次の形の行列に変形できることを示せ．

 
1 0 ··· 0 0 0 ··· 0



 0 1 ··· 0 0 0 ··· 0  


 .

.. ..
..  r 行
..
 ..
.
.
.
.  



 
 0 0 ··· 1 0 0 ··· 0 
(∗)

 }



 m−r行


O
|
{z
r列
O
} |
{z
}
n−r列
(2) m × n 行列 A の階数が r であるための必要十分条件は，ある m 次正則行列 P とある n 次正
則行列 Q が存在して，P AQ が (∗) の形に書けることを示せ．
2

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