電気回路学 Electric Circuits 情報コース4セメ開講回路に関する諸定理山田博仁ガイダンス 1．教科書 1) 大学課程電気回路(1) (第3版) 大野克郎、西哲生共著、オーム社 2) 電気回路 - 三相、過渡現象、線路 - 喜安善市、斉藤伸自著、朝倉書店 ※ 2) は12月中頃から使用予定 2．成績評価・講義点と定期試験の点数（約３：７の比率）を勘案して行う・講義点(約30点)は毎回講義時のレポート提出をもって認定する・定期試験を受けていない者は再試を受けても失格となる (再試は行なわないかも知れない) 3. オフィスアワー随時OK、2号館203号室 (事前に電話またはE-mailにより予約のこと) E-mailによる質問・相談も可 E-mail: [email protected]、電話(内線): 7101 4. 皆さんへの連絡および講義資料のダウンロード Website http://www5a.biglobe.ne.jp/~babe/ 線形回路実在する抵抗は、抵抗値が素子を流れる電流 I の関数になっている (非線形素子) V = R(I) I RR (I) I V つまり、V と I は比例関係にないしかし、電流がごく小さい範囲では、R =一定とみなせる (線形近似) V=RI R が線形素子なら、つまり、V と I は比例 (重ね合わせ) R (I1+I2) = R I1 + R I2 R が線形でなければ、 R(I1+I2) (I1 + I2) ≠ R(I1) I1 + R(I2) I2 である (重ね合わせ) R が線形であれば重ね合わせが可能で、素子に I1 のみが流れている状態と、 I2 のみが流れている状態を重ね合わせると、 I1 と I2 が同時に流れている状態に等価となる実在する電気回路素子は非線形素子であるが、線形電気回路学では近似的に線形素子として扱える場合を対象にしている重ね合わせの理複数の電源を含む線形回路網中の電圧・電流分布は、各電源が単独にその位置に存在するときの分布の総和に等しい。 I1 I V E1 のみ存在 V1 E1 J1 E1 その他の電源は殺す電圧源→短絡 E2 電流源→開放 J2 複数の電源を含む回路網 In Vn V = V1 + V2 + ‥ + Vn I = I1 + I2 + ‥ + In J1 J1 のみ存在その他の電源は殺す重ね合わせの理の証明 n 個の電圧源 E1, E2, ‥, En が存在する線形回路網において、各閉路に電流 I1, I2,‥, In が流れていたとすれば、  E1   z11 z12  z1n   I1  インピーダンス    I  E z z  z 2 21 22 2 n    2  (Z)行列  (1)                En   z n1 z n 2  znn   I n  次に E1 のみが存在する場合の各閉路の電流を I11, I12,‥, I1n とすれば、  E1   z11 z12  z1n   I11  Z行列は、 I   0  z z  z 21 22 2 n   12    線形回路  ( 2)             なので普遍      z z  z 0    n1 n 2 nn   I1n  次に E2 のみが存在する場合の各閉路の電流を I21, I22,‥, I2n とすれば、  0   z11 z12  z1n   I 21  I  E   z z  z 21 22 2 n 2   22     (3)               z z  z 0    n1 n 2 nn   I 2 n  重ね合わせの理の証明さらに En のみが存在する場合の各閉路の電流を In1, In2,‥, Inn とすれば、  0   z11 z12  z1n   I n1   0  z I  z  z 21 22 2 n     n2   ( 4)                  En   z n1 z n 2  z nn   I nn  (2), (3), ‥ ,(4)式の左辺同士、右辺同士を足し合わせると、  E1   E1   0   0   z11 E   0  E   0  z 2 2                21               E 0 0  n      En   z n1 z12 z22  zn 2  z1n   I11   I 21   I n1    I   z2 n   I12   I 22  n2                             znn   I1n   I 2 n   I nn    (5) (5)式と(1)式とを比較すると、  I1   I11   I 21   I n1  I  I   I  I  2 12 22             n2   ( 6)                   I I I  n   1n   2 n   I nn  即ち、もとの回路の電流は、各電源が単独に存在する場合の電流の総和となる。重ね合わせの理例題8.1 E1のみ I I1  E1 7R E2のみ重ね合わせの理 I2   I1 I2 E2 21R I  I1  I 2  I 3 J のみ I3   4J 7 I3 重ね合わせの理例題8.2 E1のみ I I1 I1  E2のみ Jのみ I2 I2   E1 R1 重ね合わせの理 I  I1  I 2  I 3 I3 E2 R1 I3  J 重ね合わせの理演習問題(8.1) I E1のみ I1 I1  E1 4R 重ね合わせの理 E2のみ I2 I2 I2  E2 R Jのみ I3 I3   J 4 双対性電気回路においては、法則や記述などが多くの場合に二つずつ対をなして現れる。例えば、電圧と電流、抵抗とコンダクタンス、並列と直列などがそれに当たり、このような対応関係にある概念は双対といわれる。双対関係にある素子などの例双対関係にある概念の例電圧 V 電流 I 直列接続並列接続インピーダンス Z アドミタンス Y 短絡開放抵抗 R コンダンタンス G 閉路カットセット Y型接続 D型接続キルヒホッフの第2法則キルヒホッフの第1法則インダクタンス L キャパシタンス C リアクタンス X サセプタンス B 電圧源 E 電流源 J 双対回路ある電気回路に対して成立する関係式があるとき、その関係式に対して電圧と電流とを入れ替えた式もまた成立し、この新たな関係式を満足するような電気回路があるとき、このような2つの回路を互に双対回路という。双対回路の作り方双対な回路を求めるには、まず双対グラフを求め、原グラフの枝と双対グラフの枝とが合い交わる枝同士で、素子をそれと双対な素子に入れ換えればよい。 Z q 1 E q J p 原グラフ双対なグラフ電源など、極性のある素子の扱い (a) 電圧源 → 電流源原回路で点 p を囲んで時計回りに電圧が上昇(降下)する電圧源なら、新回路では点 p の方向(点 p から出る方向)に電流を流す電流源になる E J Y 2’ p 双対回路 2 原回路 1’ p 双対回路の作り方 (b) 電流源 → 電圧源原回路で点 p を囲んで時計回りに (反時計回りに)電流を流す電流源なら、新回路では点 p の方向に電圧が上昇(降下)する電圧源になる J p E (c) ダイオード → ダイオード原回路で点 p を囲んで時計回りに順方向(逆方向)のダイオードなら、新回路では p の向きに順方向(逆方向) のダイオードとなる p 以下の回路と双対な回路を求めよ Z1 E1 Z3 Z2 E2 J L C G 双対回路の作り方 4 J1 2 1 J2 原回路の電源 E1が閉路3と同じ向きなので、節点3に向かうように J1=E/K を入れる E2 E1 3 原回路の電源 J2が閉路2と同じ向きなので、節点2に向かうように E2=K J2 を入れる逆回路逆回路とは 2つの二端子回路があり、そのインピーダンスを Z1, Z2 とするとき、その積が周波数 w に関係なく Z1 Z2 =K2 となるならば、二つの回路は K に関して互いに逆回路であるという。 Z1 逆回路逆回路の作り方 D=1/C K2 R1 R2 L1 Z2 2 K2 L  K D R2 K2 R3 D R1 K2 Z2  Z1 R3 K2 D1  L1 ただし、D1=1/C1 逆回路演習問題(8.2) Kに関しての逆回路を求めよ L1 R1 D1 R2 逆回路 K2 D1  L1 K2 R1 K2 L1  D1 K2 R2 上の二つの回路は双対回路となっているが、逆回路は Z1 Z2 =K2 の関係を満たしていればよいので構造的な双対性は必要なく、一般に種々の逆回路が存在する逆回路演習問題(8.2)の解答 Kに関しての逆回路は、 K2 L1  D1 K2 D2  L2 K2 D1  L1 K2 D3  L3 K2 L2  D2 K2 L4  D4 K2 R K2 D2  L2 K2 L2  D2 K2 D3  L3 K2 L3  D3 K2 D4  L4 定抵抗回路インピーダンスが w に依存しない二端子回路下の回路のインピーダンスはいずれも R となり、w には依存しない定抵抗回路 Z Z R R R R2 Z Z R R Z R2 Z R2 Z Z R2 Z R R2 Z R 定抵抗回路演習問題(8.4) R1 R2 L C インピーダンス  w 2 LCR1R2  jw ( LR1  LR2 )  R1R2 Z (w )   R0  w 2 LCR2  jw ( L  CR1R2 )  R1 この式が、周波数 w の値に関係なく成立するためには、分母と分子の各項の係数の比が R0 に等しくなければならないつまり、従って、 LCR1R2 L( R1  R2 ) R1R2    R0 LCR2 L  CR1R2 R1 R1 R2  R0 L  R02 C 定抵抗回路演習問題(8.6) I1+I2 I1 Z R02 Z V R02 ZI1  I 2  E  (1) Z R02 R0 ( I1  I 2 )  ZI1  I2  0 I2 Z R0 E I2 R02 Z I1- I2 Z I1 I1+I2 E I1  R0  Z   Z  R  Z  0 R02 ( R0  Z ) I1  ( R0  ) I 2  0 Z (2)    I1   E    R02   I 2   0   ( R0  ) z  R02 Z 2 2  E  R R 0 0  I1  1  ( R  )  0    I   Z Z 2 2  0   2   Z ( R  R0 )  R0 ( R  Z )   ( R0  Z ) Z  0 0 Z Z I2  Z E R0 R0  Z I1  I 2  E R0 相反定理 Ip’ Ep JpVp’ p Iq 相反回路 Black Box Black Box 相反回路 q Eq’ Ep Ip’= Eq’Iq の関係が成り立つ時 VqJq’ Jp Vp’= Jq’ Vq の関係が成り立つ時相反定理の証明線形回路網において、各閉路に電圧源E1, E2, ‥, Enがあるとき、各閉路の電流をI1, I2, ‥, Inとすると、 I1 E1 E2 I2 In 線形回路網 En E2’ I2’ In’ En’ Z12 Z 22  Z n2  Z1n   I1   Z 2 n   I 2          Z nn   I n   (1) 回路が線形ならば、Z行列は電流値に依らず普遍。また、回路網が相反回路なら、Zjk = Zkj が成り立つ。つまり、Z行列は対称行列となる。 I1’ E1’  E1   Z11  E  Z  2    21        En   Z n1 線形回路網また、各閉路に電圧源E1’, E2’, ‥, En’があるとき、各閉路の電流をI1’, I2’, ‥, In’とすると、  E1'   Z11  E '  Z  2    21          En'   Z n1 Z12 Z 22  Z n2  Z1n   I1'   Z 2 n   I 2'          Z nn   I n'   ( 2) 相反定理の証明 (1)式から、転置行列の公式および Z 行列が対称行列であることを用いて、 t  E1  E   2      En  t  I1  I   2    In  t  Z11 Z  21     Z n1 Z12 Z 22  Zn2 t  Z1n   I1   Z11  Z 2 n   I 2   Z 21             Z nn   I n   Z n1 Z12 Z 22  Zn2  I1'  I '  上式の両辺に対して右から  2  を作用させると、       I n'  t  E1   I1'  E  I '   2  2            En   I n'  t  I1   Z11  I  Z  2   21        I n   Z n1 Z12 Z 22  Zn2  Z1n   I1'   Z 2 n   I 2'          Z nn   I n'   Z1n   Z 2 n       Z nn  相反定理の証明 (2)式の関係より、 t  E1   I1'  E  I '   2  2            En   I n'  t  I1   E1'  I  E '   2  2           I n   En'  つまり、 E1 従って、 E2  I1'  I '   En   2   I1      I n'  I2  E1'  E '   In   2        En'  E1I1'  E2 I 2'   En I n'  E1'I1  E2'I 2   En'I n この特別の場合として、p番目の端子対にのみ電圧源 Ep を接続し、それ以外の端子対を短絡(Ep≠0 = 0)した時、q番目の端子に電流 Iq が流れたとする。次にq番目の端子対にのみ電圧源 Eq’ を接続し、それ以外の端子対を短絡(E’q≠0 = 0)した時、 p番目の端子に電流 Ip’ が流れたとすると、EpIp’ = Eq’Iq となる。