NAOSITE: Nagasaki University's Academic Output SITE Title 電気回路講義ノート Author(s) 辻, 峰男 Citation Issue Date 2014-04 URL http://hdl.handle.net/10069/34606 Right This document is downloaded at: 2015-02-01T00:53:18Z http://naosite.lb.nagasaki-u.ac.jp 第 12 章 二端子対網 二端子対(two terminal pair)とは，入力端子対(1,1’)と出力端子対(2,2’)のことである。回路をまと まったシステムとしてとらえて，入力(input)側と出力(output)側の関係を表す。電力や信号を送 るとき使われる理論である。 ○ インピーダンス行列（ I1 Z 行列 impedance matrix） V1 z11 V z 2 21 I2 1 2 V1 V2 1 2 V Z I 通常， z12 z21 である。 （注） V1 , I1 , V2 , I 2 の矢印は必ず， I2 I1 入力側に交流電源，出力側に負荷をつなぐと 図の方向に定義すること。 にたんしついもう 考えよう。二端子対網には電源は含まない。 ○ アドミタンス行列（ Y 縦 続行列（ V2 I2 Y Z 1 （逆行列）である。 じゅうぞく Z , Y は常に存在するとは限らない。 K 行列，F 行列 cascade matrix） I1 I2 ' K V1 I1 I1 y11 y12 V1 I y 2 21 y22 V2 I Y V 通常， y12 y21 である。 I2 I1 ○ （Ｙ行列も同様） Y 行列 ） I1 V1 z12 I1 z22 I 2 I2 ' I2 右向きに定義 すること！ V2 V1 A B V2 I C D I ' 2 1 K I2 ' （注） V1 , I1 , V2 , I 2 ' の矢印は必ず，図の方向に定義すること。 A, B, C, D を四端子定数という。通常， AD BC 1 （ K 1 ） が成立する。 109 Z , Y , K 行列の求め方には２つの方法がある。 ① V1, I1,V2 , I 2 （または I 2 ' ）を図のように定義し，回路の式を上記の形に整理する方法。 ② I1 0 （開放） ， V1 0 （短絡）など，特殊な場合を考えることにより求める方法。 図の回路のインピーダンス行列を求めてみよう。 I1 1 V1 Z1 Z2 このように書いても， 1,1 と 2, 2 は開放されている I2 2 Z3 訳ではない。電源があるかも知れないし，負荷があ V2 るかも知れない。原因はともかくとして， V1,V2 , I1, I 2 が生じていると仮定して求める。 2 1 図の様に V1 ,V2 , I1, I 2 を必ず矢印の向きに定義する。インピーダンス行列は次式で定義されている。 V1 z11 V z 2 21 z12 I1 z22 I 2 ・・・・・① 方法１．とにかく式を立てて，①の形にする方法。 図より， V1 Z1I1 Z 3 ( I1 I 2 ) V2 Z 2 I 2 Z 3 ( I1 I 2 ) V Z Z 3 1 1 V2 Z 3 Z 3 I1 Z 2 Z 3 I 2 Z1 Z 3 Z3 インピーダンス行列は， Z Z3 Z 2 Z 3 方法２．特殊な条件から求める方法 ① 式で， I 2 0 の場合を考える。 I 2 0 は， 2, 2 を開放することを意味する。 このとき，図より Z 2 I 2 0 となるから V1 ( Z1 Z 3 ) I1 , V2 Z 3 I1 z11 Z1 Z 3 , z21 Z 3 次に， I1 0 （ 1,1 開放）を考える。図より， V1 Z 3 I 2 Z 2 の電圧は 0。 , V2 ( Z 2 Z 3 ) I 2 z12 Z3 , z22 Z 2 Z3 （注） Z 行列を求めるときは， I 2 0 及び， I1 0 の場合を考えればよい。 V1 0 （ 1,1 を短絡）としても， z11I1 z12 I 2 0 だから， z11 と z12 が決められない。 ＊ 抵抗，コイル，コンデンサ，変成器，理想変成器からなる二端子対網は，相反性の条件（相 反定理）を満足し， z12 z21 , y12 y21 , AD BC 1 110 が成立する。 例題１ 図の回路の Y 行列を求めよ。 Y1 , Y2 はアドミタンスである。 1 A I1 Y2 I2 B Y1 2 Y2 V2 V1 1 2 Y1 C I3 V3 （解） I1 y11 I 2 y21 y12 V1 y22 V2 より， V2 0 のとき， I1 y11V1 , I 2 y21V1 V1 0 のとき， I1 y12V2 , I 2 y22V2 まず， 2, 2 を短絡し，V2 0 の状態を考える。1,1' 間で見ると Y1 , Y2 の並列回路が直列につながっ ているから，全体のアドミタンスは (Y1 Y2 ) / 2 となり I1 Y1 Y2 V1 より 2 Y Y y11 1 2 2 1 V1 V 1 Y2 1 (Y2 Y1 )V1 2 2 2 Y2 Y1 2 （電圧と同方向に定義された電流にはマイナスがつく） 次に， 1, 1 を短絡して V1 0 の状態を考える。 Y1 Y2 V2 より 2 y22 Y1 Y2 2 V V 1 また， I1 Y1 2 Y2 2 (Y2 Y1 )V2 2 B Y1 Y2 2 I2 " I2 1 キルヒホッフの電流則より I2 I2 ' V1 加わるので，節点 B で考えると， y21 I1 Y2 V また， Y1, Y2 には 1 の電圧が 2 I 2 I 2 ' I 2 " Y1 V1 2 2 1 y12 (Y2 Y1 ) 2 111 Y1 V1 2 例題２ A B N の K 行列 K C D が既知のとき以下の問いに答えよ。 （１） N のインピーダンス行列 Z を K で表せ。 （２） 2, 2 を入力側， 1,1 を出力側と考えた N の K 行列 K ' を求めよ。 （３）（ｂ）図のように， N を接続したとき，全体の回路の K 行列 K を求めよ。 I1 1 2 V1 V2 1 2 I 2 I2 I1 I2 V1 V2 V2 （ａ） （ｂ） （解）（１）題意より，電流を図のように定義すると V1 AV2 BI 2 ・・・・① I1 CV2 DI 2 ・・・・② ②より V2 を求めると， V2 I1 / C ( D / C ) I 2 ①に代入して， V1 A( I1 / C ( D / C ) I 2 ) BI 2 V A / C ( AD / C ) B I1 1 D / C I 2 V2 1/ C I C （２）②より， I 2 1 V2 故に， Z 1 A C 1 K D K 1 V B I C ①に代入 V2 1 ( 1 V2 ) D D A A V B 1 1 I1 ) ( 1 ( DV1 BI1 ) V2 AD BC 1 BC /( AD) A AD D D I1 1 CB 1 (CV1 I1 ) (CV1 AI1 ) D AD BC D AD BC AD BC 1 であるから I2 V2 D B V1 D B K ' よって， I C A I C A 1 2 A と D を交換した式となる。 出力側は出る方向に定義するのが約束だから， が必要 ＊ 対称回路では A D が成り立つ（入出力どちらから見ても同じ回路）。 （３） V1 V2 2 V2 K K I I I 1 2 2 2 A B A B A BC AB BD C D C D CA CD CB D2 従って， K K 2 112 でるた 例題３（ａ）図の △ 形回路と（ｂ）図のＹ形回路が等価であるための条件を求めよ。 I1 V1 I1 1 I2 Z12 1 2 Z13 Z 23 1 V2 V1 2 1 Z1 Z2 Z3 I2 2 V2 2 （ａ） （ｂ） (注)1’と 2’をまとめて 1 つの点とし，三端子について(a)を(b)に直して計算することが多い。 （解）（ａ） ， （ｂ）の Z 行列が等しい条件より求める。 Z 行列の定義より， V1 z11I1 z12 I 2 V2 z21I1 z22 I 2 まず， 2, 2 を開放し， I 2 0 の場合を考える。 Z (Z Z23 ) I1 z11I1 （ａ）図より， V1 13 12 Z12 Z13 Z23 V2 ・・・・① ・・・・② ・・・・③ Z13 I1 Z23 z21I1 Z12 Z13 Z23 ・・・・④ （ｂ）図より， V1 ( Z1 Z3 ) I1 z11I1 ・・・・⑤ V2 Z3 I1 z21I1 ・・・・⑥ 次に， 1,1 を開放し I1 0 の場合を考える。 一般に， z12 z21 であるから， z22 だけを求めればよい。 Z (Z Z13 ) I 2 z22 I 2 （ａ）図より， V2 23 12 ・・・・⑦ Z12 Z13 Z23 （ｂ）図より， V2 ( Z 2 Z3 ) I 2 z22 I 2 ・・・・⑧ ④と⑥，③と⑤，⑦と⑧を比較して， Z1 Z12 Z13 Z12 Z13 Z23 Z2 Z12 Z23 Z12 Z13 Z23 Z3 Z13Z23 Z12 Z13 Z23 1 Z 2 1 Z 3 Z Z 3 2 Z 3 Z 3 3 Y 形にするとＲ，Ｌは 1/3，Ｃは 3 倍になる。 ＊ △形回路とＹ形回路の変換をＹ-△変換(star-delta transformation)という。 逆に， Y13 Y1Y3 Y2Y3 Y1Y2 , Y23 , Y12 Y1 Y2 Y3 Y1 Y2 Y3 Y1 Y2 Y3 Y13 1/ Z13 , Y23 1/ Z23 , Y12 1/ Z12 , Y1 1/ Z1, Y2 1/ Z2 , Y3 1/ Z3 但し， 113 き ち 例題４ 図の回路でインピーダンス行列が既知のとき，2, 2 の端子から見た等価電圧源を求めよ。 I1 I2 2 Z11 Z 21 E Z12 Z 22 V2 2 (解) 図のように， I1, I 2 ,V2 を定義すると， E z11I1 z12 I 2 ・・・・・① V2 z21I1 z22 I 2 ・・・・・② テブナンの定理を適用する。まず，開放電圧を求めるために上式で I 2 0 とおくと， E z11I1 , V2 z21I1 V2 z21E E0 z11 とおく。 次に，2, 2 端子から見たインピーダンスを求める。電源は殺す必要があるから，E は短絡する。 よって，①で E 0 とおけばよい。 従って， 0 z11I1 z12 I 2 I1 z12 I2 z11 z z ②に代入して， V2 ( z22 21 12 ) I 2 z11 V2 z11z22 z21z12 Z0 I2 z11 とおく。 よって，等価電圧源は 2 Z0 E0 2 ＊ 等価電流源はノートンの定理を用いる。 Z0 の求め方は同じ。 短絡電流は I 0 は①，②式で， V2 0 とおいて， I 2 を求めて， I 0 I 2 とする。 2 I0 Z0 2 114 例題５ N のインピーダンス行列が既知のとき，全体の二端子対網のインピーダンス 行列を求めよ。 I 2 I 2 1 I1 n V1 V2 I2 I1 I 2 N V V1 V1 1 I 2 V2 I2 （解）図のように，電圧，電流を定義する。 図より，理想変成器に関し， V1 V1 : V2 n :1 （密結合の条件） ・・・① nI1 I 2 I 2 0 （励磁電流 0 の条件） ・・・② V Z11 1 V2 Z 21 題意より， Z12 I1 Z 22 I 2 と書ける。 ・・・③ ②を③へ代入して， V2 Z 21I1 Z 22 (nI1 I 2 ) ・・・④ ①，③より V1 nV2 Z11 I1 Z12 ( nI1 I 2 ) V1 nZ 21I1 nZ 22 (nI1 I 2 ) Z11I1 Z12 (nI1 I 2 ) ④，⑤より V1 Z11 n( Z 21 Z12 ) n 2 Z 22 V Z 21 nZ 22 2 ☆ Z12 nZ 22 I1 Z 22 I2 諸行列間の関係を以下に示しておく。 y12 1 A z 1 y z Z 11 12 22 z21 z22 Y y21 y11 C 1 y Y 11 y21 K D y12 1 z22 z12 1 D K y22 Z z21 z11 B 1 A A B 1 z11 Z 1 y22 K C D z21 1 z22 y21 Y 1 y11 115 ・・・⑤ ○ 二端子対網の伝送的性質 ● 入力インピーダンス(input impedance)と出力インピーダンス(output impedance) 電源の インピーダンス ZG I1 1 E 電源 I2 V2 二端子対網 V1 Z L 負荷 2 1 Z out を計算する時は 短絡する。 2 Z out Z in V1 I1 入力インピーダンス Zin 出力インピーダンス Zout V2 I2 （但し，電源は殺す。 ） ● 伝達量 log V1 V loge 1 V2 V2 V j arg( 1 ) V2 j 減衰量 位相量 [Np ] ネーパ 通常， 20log10 V1 V2 [rad] ラジアン げんすいりょう [dB] デシベル を減 衰 量 として用いる。 大きさが等しく V1 V2 なら 0 [dB] ， 0 なら減衰， 0 なら増幅している。 位相量は，入出力電圧の位相差を表わす。 なお，電子回路や自動制御では，伝達関数 利得（ゲイン） g 20log10 位相 V2 V1 G V2 出力 V1 入力 [dB] V G arg( 2 ) [rad] V1 ぞうふく を考える。つまり，減衰じゃなくて増幅の立場から見る。 116 を定義して， ● 反復パラメータ（反復インピーダンス(iterative impedance) Z K1, Z K 2 ，反復伝達量 K ） 1 I1 2 Z K 1 V1 I2 1 二端子対網 ZK2 Z K1 V2 2 1 1 2 Z K2 2 2, 2 を入力側と考えると 同様に Z K 2 が定義できる。 負荷として Z K1 をつないだ時，たまたま 入力インピーダンスも Z K1 になった。 その Z K1 を反復インピーダンスという。 Z K1 は二端子対網によって違う。 Z K1 を負荷としてつなぐとき， V1 Z K1I1 , V2 Z K1 I 2 であり， はんぷく V I このとき， K log 1 log 1 を反復伝達量(iterative transfer constant)という。 V2 I2 k 20 log10 V1 / V2 ：反復減衰量， k arg(V1 V2 ) ：反復位相量 反復とは繰り返すことである。第 1 章の問題４(b)で求めた抵抗が反復インピーダンスである。 すなわち，上記の二端子対網を右に無限個つなげば，どの接続点から右を見ても同じインピーダ ンスになるはずであり，これが反復インピーダンス Z K1 になる。分布定数回路の特性インピーダ ンスも反復インピーダンスの一種と考えられる。 (問題) 図のように二つの二端子対網 N1，N2 があり，左から見た反復インピーダンスがどちらも Z K1 で，反復伝達量がそれぞれ K ', K " であるとき，N1，N2 全体の反復インピーダン スと反復伝達量を求めよ。 1 V1 1 (解) 3 2 K ' K " V2 Z K1 N1 V3 Z K1 N2 2 Z K1 3' 端子 3,3' に Z K1 を接続すると，2, 2 より右を見たインピーダンスは，定義より Z K1 である。 よって，定義より 1,1' より右を見たインピーダンスも Z K1 となる。よって端子 3,3' に Z K1 を接続 すると，1,1' より右を見たインピーダンスが Z K1 となっているから，N1，N2 全体の反復インピー ダンスは Z K1 である。 N1，N2 全体の反復伝達量を K とすると K log V1 V V V V log 1 2 log 1 log 2 K ' K " V3 V2 V3 V2 V3 となる。 117 例題６ 図の回路において以下の問に答えよ。 1 I1 ZG 2 V2 V1 E I2 ZL 2 1 （１） N のインピーダンス行列 Z を既知とするとき，入，出力インピーダンスを求めよ。 （２） N の K 行列を既知とするとき，入，出力インピーダンスを求めよ。 （解）（１）図のように V1, I1,V2 , I 2 をとると題意より，次式が成立する（ z11 ～ z22 は既知）。 V1 z11I1 z12 I 2 V2 z21I1 z22 I 2 図より， Z L V2 / I 2 ・・・・① ・・・・② ・・・・③ ②，③で， V2 を消去し， I 2 を求めて①に代入すると入力インピーダンス Zin は， Zin V1 z z z11 12 21 I1 Z L z22 ・・・・④ 出力インピーダンス Zout については，電源 E を短絡し， 2, 2 より見ることになるから， V2 V1 ,V1 V2 , I 2 I1 , I1 I 2 と書くと，②，①より V1 z22 I1 z21I 2 ・・・・②’ V2 z12 I1 z11I 2 ・・・・①’ 従って④式で， Z L ZG , z11 z22 , z12 z21 , z21 z12 , z22 z11 と置き換えればよい。故に， Z out z22 z21 z12 ZG z11 ・・・・⑤ （２）四端子定数を A, B, C , D とすると， V2 B V1 AV2 BI 2 AZ L B I2 Z in V I1 CV2 DI 2 C 2 D CZ L D I2 A ・・・・⑥ 出力側から見た K 行列は， A と D を交換するだけでよいから，（ただし， K 1 のとき） ⑥式の Z L Z G として Z out DZG B CZG A ・・・・⑦ 118 例題 7 A B N の K 行列 K が既知のとき，以下の問に答えよ。 C D I1 I2 Z K1 V1 V2 Z K1 （１）反復インピーダンス Z K 1 を求めよ。 N が対称回路のときはどうなるか。 K （２）反復伝達量を K とするとき，e を求めよ。N が対称回路のとき cosh k はどうなるか。 （解） （１）反復インピーダンスの定義から，負荷のインピーダンスが Z K 1 のとき，入力インピ ーダンスも Z K 1 となるから， V2 B V1 AV2 BI 2 AZ K 1 B I2 Z K1 I1 CV2 DI 2 C V2 D CZ K 1 D I2 A CZ K 12 ( A D) Z K 1 B 0 Z K1 1 ( A D) ( A D) 2 4 BC 2C （根号は Z K 1 の実部が正になるように選ぶ。） N が対称回路のとき， A D であるから， Z K1 B C （２）定義より， K log V1 V2 一方， V1 AV2 BI 2 AV2 V1 B A V2 Z K1 , BV2 Z K1 e K A B Z K1 N が対称回路のとき， 1 1 1 cosh K (e K e K ) ( A BC ) A 2 2 A BC ＊ これらの式は，第 17 章の分布定数回路で利用する。 119 例題 8 図の回路で，反復インピーダンス Z K 100 ，反復減衰量 [dB] であるように， R1 , R2 を定めよ。 2 1 R1 R1 R2 1 2 ( 解 ) Z K 100 で あ る か ら ， 2, 2 に I2 I1 100 を接続すると，入力抵抗も 100 とな る。従って， 100 R1 R1 ( R1 100) R2 R1 100 R2 R2 V1 ・・・① R1 V2 100 100 題意より， 20 log10 V1 100 I1 I 20 log10 20 log10 1 100 I 2 V2 I2 ・・・・② 図より， I2 R2 I1 100 R1 R2 I1 100 R1 R2 I2 R2 ・・・・③ ②，③より， 10 20 100 R1 R2 R2 ④を①に代入する。 ・・・・④ 100 R1 ( R1 100)10 R1 20 100(1 10 1 10 ④より， R2 100 R1 10 20 1 20 ) 20 200 (10 20 1)(10 20 1) ＊ 図のように無限につないだときの入力インピーダンスが反復インピーダンスである。 1 ZK R1 R1 R2 R1 R1 R2 1 120 例題 9 図の回路につき以下の問に答えよ。 （１） K 行列を求めよ。 （２）反復インピーダンスを求めよ。 C 1 2 L K3 K2 K1 L 1 K1 K 2 K 3 2 （解）（１）３つの部分に分けて考える。 1 A B C D 1 j L 0 1 1 0 1 1 jC 1 1 j L 0 1 1 0 1 1 jC 1 1 1 1 j L 1 2 LC j L 1 1 1 2 LC jC 1 1 1 j L (2 2 LC ) 1 2 LC （２） ZK j L B C jC (2 1 ) LC 2 2 L2 L 2 2 LC 1 2 2 LC 1 ☆ K 行列を求めるため，基本回路の K はすぐ出せ！ I1 V1 , I1 を V2 , I 2 で表す。 I1 I2 2 1 I2 2 1 Z V1 Z 1 V1 V2 V I1 I 2 2 Z V2 V1 2 1 1 V1 I 1 1 Z 0 V2 1 I2 V1 V2 Z I 2 I1 I 2 121 V2 2 V1 1 Z V2 I 0 1 I 2 1 問題 1． N のインピーダンス行列が既知であるとき，全体の 2 端子対網のインピーダンス行列 を求めよ。 N z1 z11 z 21 （答） z12 z22 N z11 z 21 z2 z z Z 11 1 z21 z2 z12 z22 １： n z12 z22 z11 （答） Z n z21 n z12 n 2 z22 問題 2．図の回路の K 行列を求めよ。 M L1 （答） L2 K L1 M 1 j M j ( L1 L2 M 2 ) M L2 M 問題 3．図の二端子対網において，インピーダンス行列を求めよ。 z1 z3 z2 z4 （答）直接 I1 0 ， I 2 0 を用いる方法， Y 変換して求める方法などを利用する。 z2 ( z1 z3 ) z z z z4 1 2 3 Z z2 z3 z z z z4 1 2 3 z2 z3 z4 z1 z2 z3 z3 ( z1 z2 ) z4 z1 z2 z3 122
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