電気回路学講義資料

連絡事項
1. 教科書および参考書
1) 大学課程電気回路(1) (第3版) 大野克郎、西哲生共著、オーム社
2) 電気回路 - 三相、過渡現象、線路 - 喜安善市、斉藤伸自著、朝倉書店
3) 電気・電子工学基礎シリーズ電気回路山田博仁著、朝倉書店
2. 成績評価
・講義点と定期試験の点数（約３：７の比率）を勘案して行う
・講義点(約30点)は毎回講義時の演習レポートの提出をもって認定する
・定期試験を受けていない者は再試を受けても失格となる
(再試は行なわないかも知れない)
3. オフィスアワー
随時、場所: 2号館203号室 (事前に電話またはE-mailにより予約のこと)
E-mail: [email protected]、電話(内線): 7101
4. 連絡および講義資料のダウンロード: http://www5a.biglobe.ne.jp/~babe/
5. 講義に関するご意見などはブログ「講義の落書き帳」へ: http://kougi.at.webry.info/
6. その他、SkypeやTwitter、Facebookなどで私とのコンタクトが可能です。
Twitter名は@yamada_hirohito
Skype名: hirohito__yamada
講義日程と内容
日程 (回目)
講義内容
10/6 (第1回) 重ね合わせの理
10/13 (第2回) 双対回路と相反定理
10/20
休講
10/27
休講
11/10(第3回) 等価電源と補償定理
11/11? (第4回)供給電力最大の法則
11/17 (第5回) 二端子対網、 Y行列
11/24 (第6回) Z行列と縦続行列
12/1 (第7回) 諸行列間の関係、Y-D変換
12/2? (第8回) 二端子対網の伝送的性質
12/8 (第9回) 円線図
12/15(第10回) 分布定数線路の方程式
12/22 (第11回) 線路の縦続行列、波の反射
1/12 (第12回) 理想線路、無ひずみ線路
1/19 (第13回) 複合線路
1/26 (第14回) 無損失線路と反射波
2月第2週?
定期試験
教科書、参考書の章との対応
1)
2)
3)
8.1
5.1, 5.2
8.2, 8.3
5.3～5.5
8.4, 8.5
8.6
9.1, 9.2
9.3, 9.4
9.7, 9.8
10.1, 10.2
10.7
8.1～8.3
8.4～8.6
8.8
9.1
9.2
5.6, 5.7
3.4e
6.1, 6.3
6.2, 6.4
6.6, 6.7
6.8
3.5c
7.1～7.4
7.5～7.8
7.9
7.10
7.11
線形回路
実在する抵抗は、抵抗値が素子を流れる電流 I の関数になっている (非線形素子)
V = R(I) I
RR
(I)
I
V
つまり、V と I は比例関係にない
しかし、電流がごく小さい範囲では、R =一定とみなせる (線形近似)
V=RI
R が線形素子なら、
つまり、V と I は比例
(重ね合わせ)
R (I1+I2) = R I1 + R I2
R が線形でなければ、 R(I1+I2) (I1 + I2) ≠ R(I1) I1 + R(I2) I2
である
(重ね合わせ)
R が線形であれば重ね合わせが可能で、素子に I1 のみが流れている状態と、
I2 のみが流れている状態を重ね合わせると、 I1 と I2 が同時に流れている状態
に等価となる
実在する電気回路素子は非線形素子であるが、線形電気回路学では近似的に
線形素子として扱える場合を対象にしている
重ね合わせの理
複数の電源を含む線形回路網中の電圧・電流分布は、各電源が単独にその位置
に存在するときの分布の総和に等しい。
I1
I
V
E1 のみ存在
V1
E1
J1
E1
その他の電源
は殺す
電圧源→短絡
E2
電流源→開放
J2
複数の電源を含む回路網
In
Vn
V = V1 + V2 + ‥ + Vn
I = I1 + I2 + ‥ + In
J1
J1 のみ存在
その他の電源
は殺す
重ね合わせの理の証明
n 個の電圧源 E1, E2, ‥, En が存在する線形回路網において、各閉路に電流 I1,
I2,‥, In が流れていたとすれば、
 E1   z11 z12  z1n   I1 
インピーダンス   
I 
E
z
z

z
2
21
22
2
n
 
 2 
(Z)行列
 (1)
  
     
  
 
 En   z n1 z n 2  znn   I n 
次に E1 のみが存在する場合の各閉路の電流を I11, I12,‥, I1n とすれば、
 E1   z11 z12  z1n   I11 
Z行列は、
I 
 0  z
z

z
21
22
2
n
  12 
 
線形回路
 ( 2)












なので普遍
 
  
z
z

z
0
   n1 n 2
nn   I1n 
次に E2 のみが存在する場合の各閉路の電流を I21, I22,‥, I2n とすれば、
 0   z11 z12  z1n   I 21 
I 
E   z
z

z
21
22
2
n
2
  22 
 
 (3)
  
     
 
  
z
z

z
0
   n1 n 2
nn   I 2 n 
重ね合わせの理の証明
さらに En のみが存在する場合の各閉路の電流を In1, In2,‥, Inn とすれば、
 0   z11 z12  z1n   I n1 
 0  z
I 
z

z
21
22
2
n
 
  n2 
 ( 4)
   



  

  
 
 En   z n1 z n 2  z nn   I nn 
(2), (3), ‥ ,(4)式の左辺同士、右辺同士を足し合わせると、
 E1   E1   0 
 0   z11
E   0  E 
 0  z
2
2
               21
  
 
     
  
E
0
0
 n    
 En   z n1
z12
z22

zn 2
 z1n   I11   I 21 
 I n1  

I 
 z2 n   I12   I 22 
n2 







  
        
    
 
 znn   I1n   I 2 n 
 I nn  
 (5)
(5)式と(1)式とを比較すると、
 I1   I11   I 21 
 I n1 
I  I   I 
I 
2
12
22
            n2 
 ( 6)
      
  
     
 
I
I
I
 n   1n   2 n 
 I nn 
即ち、もとの回路の電流は、各電源が単独に存在する場合の電流の総和となる。
重ね合わせの理
例題8.1
I
E1のみ
3R
E1 6R
J
E2
E
I1  1
7R
I1
3R
E1 6R
12R
12R
E2のみ
重ね合わせの理
E
I2   2
21R
I2
3R
E2
6R
12R
I  I1  I 2  I 3
J のみ
I3  
4J
7
I3
3R
6R
J
12R
重ね合わせの理
例題8.2
E1のみ
E2
R1
R1
R3
R2
I
E1
I1
E1
I1 
J
E2のみ
重ね合わせの理
J のみ
E2
I  I1  I 2  I 3
R1
R1
R2
E1
R1
R3
I3
I2
E
I2   2
R1
J
I3  J
出席レポート問題
R1
以下の回路において I を求めよ
I
R2
R
E
2R
J
2E
R3
I
2R
E
(a)
R4
J
(b)
I
(c)
• 次回の講義(10/13)開始前までに提出された場合のみ、本日の出席点を認定します
• 提出先: 次回の講義時に持参するか、私のメールボックスに投函のこと
重ね合わせの理
演習問題(8.1)
I
E1のみ
I1
I1 
E1
4R
重ね合わせの理
E2のみ
I2
I2
I2 
E2
R
J のみ
I3
I3  
J
4
電気回路学I演習
2010/10/8 (金)
重ね合わせの理
※以下の回路で、RやjXはインピーダンスを表すものとする.
問1
問2
jX1
I
+
E0
I0
jX2
I0
jX1
jX2
+
I
R
E0


重ね合わせの理を用いて、電流 I を求めよ.
ただしE0とI0は同相とする.
重ね合わせの理を用いて、電流 I を求めよ.
ただしE0とI0は同相とする.
問3
問4
R
jX1
E0
B

+

EA
+
A
I
EB
上図の端子Aと端子Bにそれぞれ電圧源EAとEBを
接続したときにインダクタに流れる電流Iは、EAの
みを接続してBは短絡した場合に流れる電流の
ちょうど2倍になった。
EBはEAの何倍か?
またEBの位相はEAの位相に比べて何度進んでい
るか(又は遅れているか)?

R
jX2
jX1
jX2
+
I
jX3
I0
重ね合わせの理を用いて、電流 I を求めよ.
ただしE0とI0は同相とする.
電気回路学I演習 2010/10/8(金)出題分解答
問1
2. 次に電流源を開放除去する.
このとき回路に流れる電流I3は、
1. まず電圧源を短絡除去する.
回路の左半分に流れる電流をI1,右半分に
流れる電流をI2とすると、
I3 
I1  I 2  I 0
E0
R  j X1  X 2 
I1 : I 2  R  jX 2 : jX1
以上より、求めるべき電流は、
これらより、
I  I 2  I3
jX 1I 0
I2 
R  j X1  X 2 
jX1

jX1
R
I1
I2
I3
R
E0
－
jX2
+
I0
jX 1 I 0  E0
R  j X1  X 2 
jX2
問2
1. まず電流源を開放除去する.
I1
jX1
2. 次に電圧源を短絡除去する.
I2
-jX2
+
I0
E0
jX2
jX1
－
このときインダクタに流れる電流I1は、
I1 
E0
jX1  X 2 
このときインダクタに流れる電流I2は、電流の
分配則より、
I2 
 jX 2 I 0
jX1  X 2 
従って元の回路の求めるべき電流Iは、
I  I1  I 2 
E 0  jX 2 I 0
jX1  X 2 
問3
1. まず電圧源EAのみを接続しBは短絡する.
このとき回路を書き直すと以下の様になる.
jX2
I1
2. 次に端子Aを短絡除去しEBを接続する.
このとき回路は以下と同じ形になる.
R
(A)
(B)
jX2
R
jX1
jX1
+
+
EA
IA
IB
電圧源から見た回路の合成インピーダンスZは、
Z  R
電圧源から見た回路の合成インピーダンスZ’は、
X1 X 2
 jX 2  jX 1
従って回路全体を流れる電流Ia, 及びインダク
タに流れる電流IAはそれぞれ、
IA 
EB
－
－
I1 
I2
EA
jX1  X 2 

EA
Z
X 1 X 2  jR X 1  X 2 
 jX 2
 jX 2 E A
I1 
 jX 2  jX 1
X 1 X 2  jR X 1  X 2 
Z'
jRX1
 jX 2
R  jX 1
従って回路全体を流れる電流Ib, 及びインダク
タに流れる電流IBはそれぞれ、
I2 
EB
R  jX 1

EB
Z ' X 1 X 2  jR X 1  X 2 
IB 
R
EB
I2 
R  jX 1
X 1 X 2  jR X 1  X 2 
従って, EA, EBともに接続した場合にインダクタに
流れる電流IA+Bは、次のように求められる.
I A B  I A  I B 
 jX 2 E A  REB
X 1 X 2  jR X 1  X 2 
題意より、 I A B  2 I A
であるから、
 jX 2 E A  REB
 jX 2 E A
2
X 1 X 2  jR X 1  X 2 
X 1 X 2  jR X 1  X 2 
 EB   j
答:
j
X2
EA
R
X2
倍
R
90度遅れている.
問4
1. E0のみを残してI0を開放除去した場合、
回路は以下の形に等しくなる.
電源から見た回路全体の合成インピーダンスZは、
jX2
R
Z
jX3
I1
+
jX1
すると回路を流れる電流Iaは、
E0
Ia 
Ia
－
jX 1 R  jX 2 
 jX 3
R  jX 2   jX 1
R  jX 2   jX1
E0

E0
Z
jX 1 R  jX 2   jX 3 R  jX 2   jX 1
インダクタに流れる電流I1は、このIaと電流の分配則とから、
I1 
R  jX 2 E0
R  jX 2
Ia 
R  jX 2   jX 1
jX 1 R  jX 2   jX 3 R  jX 2   jX 1

R  jX 2 E0
jR X 1  X 3   X 1 X 2  X 2 X 3  X 1 X 3
2. 次にI0のみを残してE0を短絡除去すると、
回路は以下の形に等しくなる.
破線で囲まれた部分の合成インピーダンスZは、
R
Z
jX1
I2
jX2
X1 X 3
 jX 2
j X1  X 3 
すると回路の中段を流れる電流Ibは、
Ib
jX3
I0
(I2の向きに注意)
Ib 

Z

R
I0
RZ
RI0
X X  X 2 X1  X 3 
R 1 3
jX1  X 3 
jR X 1  X 3 I 0
jR X 1  X 3   X 1 X 2  X 2 X 3  X 1 X 3
インダクタに流れる電流I1は、このIbと電流の分配則とから、
I2 
 jX 3
 jRX 3 I 0
Ib 
jX 1  jX 3
jR X 1  X 3   X 1 X 2  X 2 X 3  X 1 X 3
以上より、元の回路でインダクタに流れる電流Iは、 (I2の向きに注意して)
I  I1  I 2 
R  jX 2 E0  jRX3 I 0
jR X 1  X 3   X 1 X 2  X 2 X 3  X 1 X 3
双対性
電気回路においては、法則や記述などが多くの場合に二つずつ対をなして現れる。
例えば、電圧と電流、抵抗とコンダクタンス、並列と直列などがそれに当たり、この
ような対応関係にある概念は双対といわれる。
双対関係にある素子などの例
双対関係にある概念の例
電圧 V
電流 I
直列接続
並列接続
インピーダンス Z
アドミタンス Y
短絡
開放
抵抗 R
コンダンタンス G
閉路
カットセット
Y型接続
D型接続
キルヒホッフの
第2法則
キルヒホッフの
第1法則
インダクタンス L キャパシタンス C
リアクタンス X
サセプタンス B
電圧源 E
電流源 J
双対回路
ある電気回路に対して成立する関係式があるとき、その関係式に対して電圧と電
流とを入れ替えた式もまた成立し、この新たな関係式を満足するような電気回路が
あるとき、このような2つの回路を互に双対回路という。
双対回路
I
I
E
J
V
R
E=RI
E
G
J = GV
J
上の2つは双対回路
V
L
E = jw L I
C
J = jw C V
上の2つも双対回路
双対回路の作り方
双対な回路を求めるには、まず双対グラフを求め、原グラフの枝と双対グラフの枝
とが合い交わる枝同士で、素子をそれと双対な素子に入れ換えればよい。
Z
q
1
E
q
J
p
原グラフ
双対なグラフ
電源など、極性のある素子の扱い
(a) 電圧源 → 電流源
原回路で点 p を囲んで時計回りに
電圧が上昇(降下)する電圧源なら、
新回路では点 p の方向(点 p から出
る方向)に電流を流す電流源になる
E
J
Y
2’
p
双対回路
2
原回路
1’
p
双対回路の作り方
(b) 電流源 → 電圧源
原回路で点 p を囲んで時計回りに
(反時計回りに)電流を流す電流源な
ら、新回路では点 p の方向に電圧
が上昇(降下)する電圧源になる
J
p
E
(c) ダイオード → ダイオード
原回路で点 p を囲んで時計回りに
順方向(逆方向)のダイオードなら、新
回路では p の向きに順方向(逆方向)
のダイオードとなる
p
以下の回路と双対な回路を求めよ
Z1
E1
Z3
Z2
E2
J
L
C
G
双対回路の作り方
Z1
E1
Z3
Z2
E2
原回路
原グラフ
Y3
Y1
Y2
J1 Y 1
Y3
J2
p
Y2
q
J1
J2
r
双対回路
双対なグラフ
双対回路の作り方
4
J1
2
1
J2
原回路の電源 E1が
閉路3と同じ向きな
ので、節点3に向か
うように J1=E/K を入
れる
E2
E1
3
原回路の電源 J2が
閉路2と同じ向きな
ので、節点2に向か
うように E2=K J2 を
入れる
逆回路
逆回路とは
2つの二端子回路があり、そのインピーダンスを
Z1, Z2 とするとき、その積が周波数 w に関係なく
Z1 Z2 =K2 となるならば、二つの回路は K に関し
て互いに逆回路であるという。
Z1
逆回路
逆回路の作り方
D=1/C
K2
R1
R2
L1
Z2
2
K2 L  K
D
R2
K2
R3
D
R1
K2
Z2 
Z1
R3
K2
D1 
L1
ただし、D1=1/C1
逆回路
演習問題(8.2)
Kに関しての逆回路を求めよ
L1
R1
D1
R2
逆回路
K2
D1 
L1
K2
R1
K2
L1 
D1
K2
R2
上の二つの回路は双対回路となっているが、逆回路は Z1 Z2 =K2 の関係を満たし
ていればよいので構造的な双対性は必要なく、一般に種々の逆回路が存在する
逆回路
演習問題(8.2)の解答
Kに関しての逆回路は、
K2
L1 
D1
K2
D2 
L2
K2
D1 
L1
K2
D3 
L3
K2
L2 
D2
K2
L4 
D4
K2
R
K2
D2 
L2
K2
L2 
D2
K2
D3 
L3
K2
L3 
D3
K2
D4 
L4
定抵抗回路
インピーダンスが w に依存しない二端子回路
下の回路のインピーダンスはいずれも R となり、w には依存しない定抵抗回路
Z
Z
R
R
R
R2
Z
Z
R
R
Z
R2
Z
R2
Z
R
Z
R2
Z
R
R2
Z
10/13の出席レポート問題
上記回路のインピーダンスがいずれも Rとなることを確かめよ
※ 次回の講義(11/10)前までに私のメールボックスに投函か、講義に持参のこと
定抵抗回路
演習問題(8.4)
R1
R2
L
C
インピーダンス
 w 2 LCR1R2  jw ( LR1  LR2 )  R1R2
Z (w ) 
 R0
 w 2 LCR2  jw ( L  CR1R2 )  R1
この式が、周波数 w の値に関係なく成立するためには、分母と分子の各項
の係数の比が R0 に等しくなければならない
つまり、
従って、
LCR1R2 L( R1  R2 ) R1R2


 R0
LCR2
L  CR1R2
R1
R1 R2  R0
L
 R02
C
定抵抗回路
演習問題(8.6)
I1+I2
I1
Z
R02
Z
V
R02
ZI1 
I 2  E  (1)
Z
R02
R0 ( I1  I 2 )  ZI1 
I2  0
I2
Z
R0
E
I2
R02
Z
I1- I2
Z
I1+I2
I1 
E
R0  Z
I2 
Z
E
R0 R0  Z
I1

 Z

R  Z
 0
R02
( R0  Z ) I1  ( R0  ) I 2  0
Z
(2)

  I1   E 


R02   I 2   0 
 ( R0  )
z 
R02
Z
2
2

E 
R
R
0
0
 I1 
1

(
R

)

0

 
I  
Z
Z
2
2
 0 
 2   Z ( R  R0 )  R0 ( R  Z )   ( R0  Z )
Z

0
0
Z
Z
∴ I1  I 2 
E
R0
また、 V  R0 ( I1  I 2 ) 
R0  Z
E
R0  Z
相反定理
Ip’
Ep
JpVp’
p
Iq
相反回路
Black
Box
Black Box
相反回路
q
Eq’
Ep Ip’= Eq’Iq の関係が成り立つ時
VqJq’
Jp Vp’= Jq’ Vq の関係が成り立つ時
相反定理の証明
線形回路網において、各閉路に電圧源E1, E2, ‥, Enが
あるとき、各閉路の電流をI1, I2, ‥, Inとすると、
I1
E1
E2
I2
In
線
形
回
路
網
En
E2’
I2’
In’
En’
Z12
Z 22

Z n2
 Z1n   I1 
 Z 2 n   I 2 
    
 
 Z nn   I n 
 (1)
回路が線形ならば、Z行列は電流値に依らず普遍。
また、回路網が相反回路なら、Zjk = Zkj が成り立つ。つ
まり、Z行列は対称行列となる。
I1’
E1’
 E1   Z11
 E  Z
 2    21
  
  
 En   Z n1
線
形
回
路
網
また、各閉路に電圧源E1’, E2’, ‥, En’があるとき、各閉
路の電流をI1’, I2’, ‥, In’とすると、
 E1'   Z11
 E '  Z
 2    21
    
  
 En'   Z n1
Z12
Z 22

Z n2
 Z1n   I1' 
 Z 2 n   I 2' 
    
 
 Z nn   I n' 
 ( 2)
相反定理の証明
(1)式から、転置行列の公式および Z 行列が対称行列であることを用いて、
t
 E1 
E 
 2 

 
 En 
t
 I1 
I 
 2

 
In 
t
 Z11
Z
 21
 

 Z n1
Z12
Z 22

Zn2
t
 Z1n   I1   Z11
 Z 2 n   I 2   Z 21

      
  
 Z nn   I n   Z n1
Z12
Z 22

Zn2
 I1' 
I ' 
上式の両辺に対して右から  2  を作用させると、
  
 
 I n' 
t
 E1   I1' 
E  I ' 
 2  2  
    
  
 En   I n' 
t
 I1   Z11
 I  Z
 2   21
   
 
 I n   Z n1
Z12
Z 22

Zn2
 Z1n   I1' 
 Z 2 n   I 2' 
    
 
 Z nn   I n' 
 Z1n 
 Z 2 n 
  

 Z nn 
相反定理の証明
(2)式の関係より、
t
 E1   I1' 
E  I ' 
 2  2  
    
  
 En   I n' 
t
 I1   E1' 
I  E ' 
 2  2 
    
  
 I n   En' 
つまり、
E1
従って、
E2
 I1' 
I ' 
 En   2   I1
 
 
 I n' 
I2
 E1' 
E ' 
 In   2 
  
 
 En' 
E1I1'  E2 I 2'   En I n'  E1'I1  E2'I 2   En'I n
この特別の場合として、p番目の端子対にのみ電圧源 Ep を接続し、それ以外の端
子対を短絡(Ep≠0 = 0)した時、q番目の端子に電流 Iq が流れたとする。次にq番目
の端子対にのみ電圧源 Eq’ を接続し、それ以外の端子対を短絡(E’q≠0 = 0)した時、
p番目の端子に電流 Ip’ が流れたとすると、EpIp’ = Eq’Iq となる。

Download Report