電気回路学講義資料

電気回路学
Electric Circuits
情報コース4セメ開講
等価電源の定理
山田 博仁
等価電源の定理
a
I
I
Z0
VZ00
V0
Z
V0
Z0  Z
(鳳-)テブナンの定理
ヘルムホルツの定理
参) 鳳秀太郎(ほう ひでたろう、元東京大
b
学工学部教授で与謝野晶子の実兄
a
V
I0
YI00
Y0
b
Y V
I0
Y0  Y
ノートンの定理
Y0 
1
Z0
I0 
V0
Z0
電圧源と電流源の間の等価な変換
Z0
J
E
電圧源
電圧源と電流源との間に、 Y0 
Y0
電流源
1
E
, J
の関係がある時、
Z0
Z0
その電圧源と電流源は等価である。
E, Jが直流電圧源および電流源、Z0, Y0 が抵抗およびコンダクタンスの場合は、
p.11の図1.15で学習済
等価電源
例題8.5
下の回路と等価な電源を求めよ
6W
6V
6W
3W
2W
6A
2W
または、
12V
5A
6V
1A
1A
6W
3W
6W 3W
5A
5A
等価電源
例題8.6
下の回路と等価な電源を求めよ
Y1
Y2
Yl
I1+I2+‥ +Il
V0
E1
E2
El
V0 
I1
I1=Y1E1
Y1
Y1+Y2+‥ +Yl
I2
I2=Y2E2
Y2
Il
Il=YlEl
Yl

I1  I 2    I l
Y1  Y2    Yl
Y1 E1  Y2 E2    Yl El
Y1  Y2    Yl
帆足-ミルマンの定理
V0
等価電源
演習問題(8.9)
I
Z1
V1
Z1
V1
V2
重ね合わせの原理を適用
V2 を殺し、V1 のみの場合
I1
Z1
V1
Z2
Z2 V
2 Z
2
Z1
Z2
V1
V
V2 Z
2
テブナンの定理
I1 
V1
Z1  Z 2
V1 を殺し、V2 のみの場合
I2
V2
Z1
I  I1  I 2 
V1  V2
Z1  Z 2
V  V1  Z1I  V1  Z1
V2
I2  
Z1  Z 2

Z 2V1  Z1V2
Z1  Z 2
V1  V2
Z1  Z 2
等価電源
演習問題(8.10)
I
Y1
Y1
I1
I2
I1
Y2
Y2
Y1
I2
V
I1
Y2
I2
重ね合わせの原理を適用
I2 を殺し、I1 のみの場合
ノートンの定理
Y1
I1
Y2
V1
V1 
I1
Y1  Y2
I1 を殺し、I2 のみの場合
Y1
V2
Y2
I2
V  V1  V2 
I1  I 2
Y1  Y2
I  I1  Y1V  I1  Y1
V2 
I2
Y1  Y2

Y2 I1  Y1 I 2
Y1  Y2
I1  I 2
Y1  Y2
等価電源
演習問題(8.12)
下のようなブリッジにおいて、I5を求める問題
A
Z1
Z3
→ 閉路方程式により解く場合 式(7.39)
テブナンの定理を利用して解く場合
端子A-Bから左を見た回路の内部
インピーダンスZinは
Zin
Zin
I5
Z in 
V 0 I5
Z5
端子A-B間の開放電圧V0は
V0
Z2
Z4
E1
Z5
Z1Z 3
Z Z
 2 4
Z1  Z 3 Z 2  Z 4
B
 Z3
Z4 

 E
V0  

 Z1  Z 3 Z 2  Z 4 
テブナンの定理により
I5 
V0
Z in  Z 5
補償定理
電流 Ik が流れている線形回路網中の任意の枝にインピーダンス dZk を挿入する
とき、挿入により生ずる回路中の各節の電圧、各枝の電流の変化量は、回路中
の電源を全て殺し、インピーダンス dZk を挿入した状態において dZk に直列に Ik
と逆向きに電圧 -dZk Ik なる補償電圧源を加えた場合の電圧、電流に等しい。
V1 + dVV11
dV1
I1 +I1dI1
Jn
dI1
dZkIk
V2 +Vd2 V2
dV2
dZk
E1
I2 +I2dI2
Vq + dVVq q
Em
-dZkIk
dI2
Iq +IqdIq
線形回路網
dVq
dIq
補償電圧源の印加
補償定理の証明
インピーダンス dZk を挿入する前の線形回路網に対しては、以下の式が成り立つ
 E1   Z11
 E  Z
 2   21
  
 
 Ek   Z k 1
  
  
 Eq   Z q1
Z12
 Z1k
Z 22  Z 2 k
  
Z k 2  Z kk


Z q 2  Z qk
 Z1q   I1 
 Z 2 q   I 2 
 
 
 Z kq   I k 
  
 
 Z qq   I q 
 (1)
また、電流 Ik が流れている枝にインピーダンス dZk を挿入すると、
 E1   Z11
 E  Z
 2   21
  
 
 Ek   Z k 1
  
  
 Eq   Z q1

Z1k
Z 22 
 
Z 2k

Z12
Z k 2  Z kk  dZ k

Zq2 

Z qk
 Z1q   I1  dI1 
 Z 2 q   I 2  dI 2 
   


 Z kq   I k  dI k 
    


 Z qq   I q  dI q 
 (2)
補償定理の証明
計算を簡単にするために、
 E1 
E 
 2
 
  : E 
 Ek 
 
 
 Eq 
 I1 
I 
 2

  : I 
I k 

 
 I q 
 dI 1 
dI 
 2
  
  : dI 
dI k 
  
 
dI q 
0
0



0


0
と置くと、
 Z11
Z
 21
 

 Z k1
 

 Z q1
0 
0
0 
0
 

0  dZ k


0 
0
Z12
 Z1k
Z 22  Z 2 k
  
Z k 2  Z kk


Z q 2  Z qk
 0
 0

 : dZ 
 0
 

 0
 Z1q 
 Z 2 q 
 
 : Z 
 Z kq 
  

 Z qq 
補償定理の証明
(2)式は以下のように書ける
E  Z  dZ I  dI 
従って、
E   Z   dZ I   Z   dZ dI 
 Z I   dZ I   Z   dZ dI 
(1)式の関係 [E] = [Z][I] を用いると上式は、
 dZ I   Z   dZ dI 
行列の全成分を表示して書くと上式は、
 0   Z11
 0  Z

  21
    


 dZ k I k   Z k1
    

 
 0   Z q1

Z1k
Z 22 
 
Z 2k

Z12
Z k 2  Z kk  dZ k

Zq2 

Z qk
 Z1q  dI1 
 Z 2 q  dI 2 
   
 
 Z kq  dI k 
    
 
 Z qq  dI q 
 (3)
補償定理の証明
 0   Z11
 0  Z

  21
    



d
Z
I
k k
 Z k1

    

 
 0   Z q1

Z1k
Z 22 
 
Z 2k

Z12
Z k 2  Z kk  dZ k

Zq2 

Z qk
 Z1q  dI1 
 Z 2 q  dI 2 
   
 
 Z kq  dI k 
    
 
 Z qq  dI q 
 (3)
この(3)式が表していることは、先の線形回路網において、回路中の全ての電圧
源を殺し、電流 Ik が流れていた枝にインピーダンス dZk と電圧源 –dZkIk を挿入し
たとき、各枝には各々 dI1, dI2, ‥‥, dIq の電流が流れるということである。
これは正しく、補償定理を表している
補償定理
演習問題(8.13)
ブリッジが平衡しているので
Z1
Z3
I4 
E
Z2  Z4
補償定理を利用
R
I=?
I=0
I4
Z2
I
dZ
dZ I4
Z4
Z4 +dZ

dZ « Z4
E
Z4 +dZ
 dZ I 4
Z2
Z1Z 2 Z 3
ZZ
Z 4  dZ 
Z2  1 3
Z1Z 2  Z 2 Z 3  Z 3 Z1
Z1  Z 3
今、dZ « Z4なので
I
I
R
dZ I4
Z2
 dZ Z 2 ( Z1  Z 3 ) E
( Z 4  dZ ){(Z1Z 2  Z 2 Z 3  Z 3 Z1 )  Z1Z 2 Z 3}( Z 2  Z 4 )
Z1
Z3
 dZ Z 2 ( Z1  Z 3 ) E
Z 4{( Z1Z 2  Z 2 Z 3  Z 3 Z1 )  Z1Z 2 Z 3}( Z 2  Z 4 )
従って、I はdZ に比例する
演習問題
演習問題(8.14)
ヒント: 500Wの電熱器(電球)→100Vの電圧をかけた時5Aの電流が流れるので、
使用時の抵抗値が20Wとなるよう設計してある
ri
100V
80V
ri=5[W]
20W
演習問題(8.16)
J1
J2
J3
I
Z1J1
Z1
Z1
Z2J2
Z2
Z2
Z3J3
Z3
Z3
Z
V
I
Z1 J1  Z 2 J 2  Z 3 J 3
Z  Z1  Z 2  Z 3
10/16の出席レポート問題は、演習問題(8.15)
※ 次回の講義(10/23)前までに私のメールボックスに投函か、講義に持参のこと