気体分子運動論：圧力

気体分子運動論：圧力
1辺 L の立方体（体積 V=L3）の容器中に
N 個の単原子分子が入っているとする
-vx
質量 m の分子が x 方向の速度 vx で壁に衝突する
1個の分子の1回の衝突で伝わる力積
1個の分子が1秒間に衝突する回数
2mvx
vx
2L
vx
面積
S=L2
L
壁に働く力 F = （1回の衝突での力積）×（１個の分子の衝突回数）×(粒子個数）
vx
Nmvx2
= 2mvx
N=
2L
L
F Nmvx2 / L N 2
= mvx
圧力 p = =
2
S
L
V
（体積 V=L3）
気体分子運動論：圧力(2)
実際は分子の速度には分布があるから
v
x, y, zの３方向は等価だから
N
\ p =
m v2
3V
理想気体の状態方程式
モル数
= v
2
y
= v
2
z
1 2
= v
3
（速度ベクトル v の長さの二乗
n
p = RT
V
n = N / NA
１分子当たりの運動エネルギー
あるいは
2
x
N
p = m vx2
V
と比べると
N
m v 2 = nRT
3
m 2
3
v = k BT
2
2
m 2
1
v x = k BT
2
2
等分配則
v 2 = vx2 + vy2 + vz2 ）
ボルツマン定数
R
kB º
NA
気体分子運動論：内部エネルギー
内部エネルギー U = 全分子の運動エネルギー
N
m 2
m 2
U = å vi = N
v
2
i=1 2
等分配則を用いると
単原子理想気体
の内部エネルギー
3
3
U = NkBT = nRT
2
2
温度 T だけに依る。
圧力、密度には依らない。
多原子分子の場合、分子の回転のエネルギーが加わる。
例えば2原子分子の場合
5
U = nRT
2
（極低温/超高温を除く）
しかし、「内部エネルギーが温度だけの関数である」ということは
多原子理想気体でも成り立つ。
理想気体の定積モル比熱
理想気体を、一定体積で温度を ΔT 上昇させる。
3
DU = nRDT
内部エネルギーの変化は
2
熱力学第一法則 DU = Q - W
外部から加えた熱量 Q
一定体積だから、外部に仕事はしない： W=0
3
\ Q = DU = nRDT
2
Q
定積モル比熱は cV =
だから
nDT
単原子理想気体
の定積モル比熱
3
cV = R
2
2原子分子なら
cV =
5
R
2
理想気体の定圧モル比熱
圧力 p を一定にして、温度を ΔT 上昇させる。
理想気体の状態方程式 pV = nRT から、体積の増加 ΔV は
nRDT
DV =
p
気体が外部にした仕事 W は
内部エネルギーの変化
第一法則
W = pDV = nRDT
3
DU = nRDT = ncV DT
2
DU = Q - W
}
この２つは定積変化
の場合と同じ
\ Q = DU + W = ncV DT + nRDT = n(cV + R)DT
定圧モル比熱 c p = cV + R
理想気体の断熱変化
断熱変化：熱の出入りの無い変化：つまり Q=0
p, V, T 全て変化するが、
たとえば V の変化量 ΔV が決まれば、p, T の変化量も決まる。
これを求めたい。
無限小変化
(p,V,T ) ® (p + dp,V + dV,T + dT )
変化前後で理想気体の状態方程式が成り立つから
pV = nRT
(p + dp)(V + dV ) = nR(T + dT )
pV + pdV + Vdp + dpdV = nRT + nRdT
\ pdV + Vdp = nRdT
(微少量)2 なので無視出来る
(1)
理想気体の断熱変化(2)
dU = ncV dT
気体が外部にした仕事 d ¢W = pdV
pdV
\ dT = ncV
内部エネルギーの変化
これを(1)へ代入
第1法則
dU = -d ¢W
pdV
R
pdV + Vdp = -nR
= - pdV
ncV
cV
æ
Rö
\ ç 1+ ÷ pdV + Vdp = 0
è cV ø
ここで
R cV + R c p
1+ =
=
ºg
cV
cV
cV
比熱比
と定義すると
g pdV + Vdp = 0
理想気体の断熱変化(3)
g pdV + Vdp = 0
両辺を pV で割って移項すると
両辺積分
積分を実行して
つまり
dp
dV
= -g
p
V
dp
dV
ò p = -g ò V
log p = -g logV + C
log pV g = C
理想気体の断熱変化
g
pV = 一定
理想気体の断熱変化
一般の（無限小でない）断熱変化
( p1 ,V1 ,T1 ) ® ( p2 ,V2 ,T2 )
p1V1 = nRT1
p2V2 = nRT2
g
g
p1V1 = p2V2
これから
p2 æ V1 ö
=ç ÷
p1 è V2 ø
g
T2 æ V1 ö
=ç ÷
T1 è V2 ø
g -1
理想気体の等温変化
等温変化 ΔT = 0
( p1 ,V1 ,T ) ® ( p2 ,V2 ,T )
理想気体の内部エネルギーは温度だけの関数だから、
温度が変化しなければ、内部エネルギーも変化しない： ΔU = 0
より Q = W
第１法則 DU = Q - W
気体が外部にした仕事 W
V2
W = ò p dV
V1
nRT
より p =
状態方程式 pV = nRT
V
V2 nRT
V2 dV
V2
\ W = ò
dV = nRT ò
= nRT log
V1
V1 V
V
V1
V2
理想気体の
Q = W = nRT log
等温変化
V1

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