熱流体力学

2009年5月28日
熱流体力学
第7回
担当教員：北川輝彦
4.7.1状態変化を考えるための基礎
１）完全ガスの状態方程式
pv = RT
(1.6)
p:圧力、v:比容積、R:ガス定数、T：絶対温度
pdv + vdp = RdT
(上式の全微分式)
(4.16)
4.7.1状態変化を考えるための基礎
2）熱力学の第1法則
dq = du + dw
q : 系に加えられる単位質量当たりのエネルギ
(4.4)
dq = du + pdv
(dw = pdvを考慮した式, du：比内部エネルギ)
(4.10)
dq = dh - vdp
(比エンタルピを用いた式，h:比エンタルピ； h = u + pv)
(4.15)
4.7.1状態変化を考えるための基礎
3）補助関係式
dw = pdv
(w:系が外部になした仕事) (4.9)
h = u + pv
(h:比エンタルピ)
dh = du + pdv + vdp = du + RdT
dh = CpdT ; du =CvdT
Cp：等圧比熱 Cv：等積比熱
(4.13)
(4.17)
(4.18)
4.7.1状態変化を考えるための基礎
Cp と Cv をガス乗数Rと比熱比κで表す
Cp：等圧比熱 Cv：等積比熱
dh = du + pdv + vdp = du + RdT
dh = CpdT ; du =CvdT
CpdT = CvdT + RdT
∴Cp = Cv + R (Cp > Cvの証明)
4.7.1状態変化を考えるための基礎
Cp と Cv をガス乗数Rと比熱比κで表す
Cp：等圧比熱 Cv：等積比熱
比熱比：κ = Cp / Cv と定義
Cp = Cv + R へ代入、整理
∴ Cv = R / ( κ-1 )， Cp = κR / (κ – 1)
4.7.3 各種状態変化の計算方法
1)
2)
3)
4)
5)
等圧変化
等温変化
等積変化
断熱変化
ポリトロープ変化
4.7.3 各種状態変化の計算方法
1)
2)
3)
4)
5)
等圧変化
等温変化
等積変化
断熱変化
ポリトロープ変化
3) 等積変化(仕事)
図4.12に示すように、点aからbへの状態変化が
v = 一定 (dv = 0)に保たれる変化
等積変化では、系が成す仕事wabは
b
wab =
∫dw
a
b
=∫pdv
= 0
a
3) 等積変化(熱量)
一方、この変化を実現するために系に加え
るべき熱量qabはdv = 0であることを考慮
して、
b
qab =∫dq
a
=∫du
a
b
b
=∫(du
+ pdv)
a
=∫Ca vdT
b
= ub - ua = Cv(Tb - Ta)
R
= κ - 1 (Tb - Ta)
4.7.3 各種状態変化の計算方法
1)
2)
3)
4)
5)
等圧変化
等温変化
等積変化
断熱変化
ポリトロープ変化
4) 断熱変化
図4.13に示すように、点aからbへの状態
変化を断熱状態で行う、q = 一定 (dq =
0)に保たれる変化
次の式で表される変化
pvκ = C (C:定数)
pavaκ = pbvbκ = C
pa
vb
=[
pb
va
]
κ
4) 断熱変化(仕事)
点aからbへの断熱変化で系が成す仕事
wabは、圧力pがp = C/vκで与えられること
を考慮すると、
b
b
wab = ∫dw
a
= C∫
=∫pdv
a
b
a
v-κdv
=∫
b
a
C
vκ dv
C
=
[v1-κ]
1-κ
b
a
4) 断熱変化(仕事)
ここで定数Cは、pavaκ = pbvbκ = Cで与えら
れることを考慮して
1
wab =
(pbvbκvb1-κ- pavaκva1-κ)
1-κ
= 1 (pava - pbvb)
κ-1
= R (Ta - Tb)
κ-1
= Cv(Ta - Tb)
4) 断熱変化(熱量)
断熱変化を実現するために系に加えるべ
き熱量qabは当然、0である。
qab = 0
断熱変化
• 断熱変化の状態方程式が下記の式で記述さ
れることを熱力学の第一法則、比熱比κ、比
エンタルピなどを用いて証明せよ
pvκ = C
4.7.3 各種状態変化の計算方法
1)
2)
3)
4)
5)
等圧変化
等温変化
等積変化
断熱変化
ポリトロープ変化
5) ポリトロープ変化
圧力pと比容積vが以下の指数関係で結ば
れる変化をいう(可逆変化)
pvn = C
指数n：ポリトロープ指数
1)～4)の状態変化はこのポリトロープ指数
の値によって一般化できる
5) ポリトロープ変化
• ポリトロープ指数の値をそれぞれ以下のよう
に設定すると、
pvn = C
n= 0
:p=C
⇒ 等圧変化
n= 1
: pv = C ⇒ 等温変化
n = κ： pvκ = C ⇒ 断熱変化
n=∞
： v = C ⇒ 等積変化

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