立命館高校三村知洋宮崎航輔村田航大 ■ 研究概要 ■ 平面上の任意の図形を切り抜いた板上に塩を振りかけると塩山を描く稜線ができる。この稜線は平面幾何における様々な性質を表現できることが分かっている。例えば三角形の板上に描かれる塩山の稜線は角の二等分線になり、その交点は内心になる。このように角の2等分線や線分の垂直2等分線などを塩山の稜線を用いて表現することで、平面幾何の様々な性質を解析することができる。更にこの手法を用いることで、生物の棲み分けや最適配置問題に応用することができると考えた。この研究ではこうした塩山による幾何学を用いて、生物モデルのボロノイ図に応用した。その結果ボロノイ図を塩山で再現できることがわかった。キーワード： ■ 研究動機稜線塩山ボロノイ図 ■ 数学科の先生から配られたプリントのなかに塩山を使ったいろいろな図形の解析というものに興味を持ち、自分達でもいろんなことができるのではないかと思い、この研究を始めた。だんだんと色々な図形を解析していくうちに、ボロノイ図へと発展させることができることを発見し、研究を続けている。１塩山幾何学とは「塩が教える幾何学」（黒田俊郎）によって提案されたものである。ある形の板を作ってその上に塩をかけると、どのような形の山ができるかというかというもので、私たちはこれを「塩山幾何学」と呼んでいる。２ボロノイ図とは平面上に、いくつかの点が配置されている。このとき最も距離の近い点がどこになるかによって分割してできる図をボロノイ (Voronoi) 図という。例えば右図のように、３点から同距離で区域をわけることによりできる図形がボロノイ図である。この図における、上の点と下の点の２点で同距離の点を集めることによりできる線がボロノイ図の線となる。また、３線が重なったところは３点からの同距離の点になる。３塩山幾何学を用いた初等幾何の解析３－１三角形結果 • 辺と辺の同距離上に稜線があらわれる。 • 稜線は角の二等分線で、３線の交わったところは内心点になっている。３－２四角形と五角形結果 • 三角形と同じように角の二等分線でてきた。 • 四角形、五角形では角の二等分線以外にも稜線がでてきた。四角形の考察 • それぞれの角からは二等分線があらわれた。また直線ADとBCの等距離に稜線が現れた. • 点Fは三角形ABEの内心点、点Gは三角形ABEの傍心だということもわかった。 • また内心円の書ける四角形や五角形の場合には内心点と傍心点が重なるため、1点しか表れないことがわかった。五角形の考察 • 元の五角形がABCDEで、五角形も延長してできた三角形ABE の内心点と延長することによってできた２つの三角形の傍心だということがわかった。３－４板に穴をあけたとき四角形に穴をあけたとの結果 • 四角形に穴を1つあけると、右図のような曲線がでてきた。 • 四角形の辺と穴との等距離に線が出てくるため、さっきの凹の形と同じような原理で、放物線がでてくることがわかった。同じ大きさの穴を２つあけたときの結果 • 左図は穴と穴の関係についての写真である。穴とヘリとの関係は上の図と同じ。 • 穴を2つあけることにより穴と穴の等距離に線ができるためこの写真のように直線、つまり２つの領域を等しくわけることができるというのがわかった。これは線分の垂直2等分線にあたる。大きな円の中心からずらした所に穴をあけたときの結果 • 今回は楕円形の稜線が表れた。 • またGRAPESというソフトを用いてこの塩山について解析した、この結果は穴と中心との距離を離せば平たい円形になることが分かった。稜線とソフトで出した楕円が一致することが分かった。３－３凹のある四角形、五角形結果 • 今までのように二等分線が出てきた。 • 図のようにある曲線が出てきた。考察なぜ、曲線が表れるのか考えた。右下の図のようにへこんでいる点を点A、下の辺を直線 l と置き点と直線の当距離の点を集めると左下の図のように曲線になることが分かる。また、これを数式的に解析すると点a を (0, 0)、直線 l を y = - a とするとこの曲線は x2  a2 y 2a となり、放物線であることがわかる。先ほどの凹のある多角形の場合は、角の二等分線と放物線が組み合わさった稜線であることがわかる。 ED＝EA CE＋BE ＝CE＋EA＋AB ＝CE＋ED＋AB ＝CD＋AB ＝（大きな円の半径）＋（小さな円の半径）＝一定４３－５様々な形に塩をかけた場合二次曲線に塩をかけた場合 • 中心に直線の稜線が出てきた。 • これまでとは違い稜線は途中で切れていた。考察 • 二次曲線の塩山の直線が消えたのは、ある点からの最短距離を出すと解を持たないところが出てくる。これが直線の限界である。 d  x  ( x  p)  x  (1  2 p) x  p 2 2 2 2 4 2 2 1 2 p  1  x   p   2  4  2 2 p ＜1/2 のときに最小値 d p ＞1/2 のときに dp p 1 4 つまり p =1/2 のときより小さいときに稜線が崩れる楕円に塩をかけた場合の結果 • 円の時とは違い直線が現れた。 • 二次曲線の時と同じように直線は端まで行かずに途中で切れていた。考察 • 楕円の直線が消えたのも二次曲線の直線が消えた理由と同じように、ある点を超えると解を持たなくなり、こうした現象がおきる。ここが直線の端であることが分かった。 • 曲線と円の半径の大きさが関係していることが分かった。塩山のボロノイ図への応用ボロノイ図も等距離の位置で領域分けされたものなので、その性質を使うことによりボロノイ図を塩山でつくれるのではないかと考えた。例えば水にできた波紋のように塩が同心円で穴におちて広がっていくことによって、円と円の等距離に稜線があらわれるため、ボロノイ図と一致するのではないかと考えた。４－１４－２ボロノイ図作成のためのフローチャート最初に塩山とボロノイ図を比べるためにボロノイ図のプログラムを作成した。使ったソフトは十進BASIC（白石和夫）。塩山のボロノイ図とプログラムの塩山を比べる４－４係実際に穴をランダムであけて実験した。結果は左側がプログラムで作ったボロノイ図で右側が塩山である。塩山の稜線だけをとってボロノイ図と重ねてみるとぴったりと合うことがわかった。 Start L(i)<MIN 座標系の設定 (x0,y0)-(x1,y1) 点の個数の設定 num 点の座標の決定 (AX,AY) 円の半径 r の設定色 ct の設定 NO YES MIN=L(i) ct=i 重みつきボロノイ図と半径との関加法的重み付きボロノイ図では、「距離＋重み」で計算されるため、重みの分を半径の長さで表現することにより、「重さ＝半径」と考える。このようにして穴の半径を大きくすることによって、加法的重み付きボロノイ図が塩山で再現できる。これは、半径を変えたときに出てきた曲線と同じ原理である。ループ 1 y は y0 から y1 まで点に ct+2 の色をつける SET POINT STYLE=1 ループ 2 x は x0 から x1 までループ 3 ループ 2 ループ 3 i=0 から num までループ 1 L(i)=SQR((X-AX(i))^2 +(Y-AY(i))^2-r(i) i=0 ループ 4 i=0 から num まで NO YES プログラムによる予測半径 r(i)、中心 (AX(i),AY(i)) の円を描画 MIN=L(i) ct=i ４－３実際の実験結果プログラムによる予測実際の実験結果４－５ボロノイ図の稜線のシミュレーション作成加法的重みのついたボロノイ図次に重みつきボロノイ図を塩山で再現しようと考えた。重みつきボロノイ図とは、ボロノイ図を拡張したもので、いままでは各母点は同じ重みだったが、これは異なる重みがついたボロノイ図である。距離に重みを加えることで重みつきボロノイ図を作ることができる。点p(i)の重さをw(i)とするとループ 4 End d(x, p(i)) = d(p(i)) - w(i) この値が一番小さい値の点で平面を分割する。 ■ 乗法的重みつきボロノイ図 ■ x2  y2  n  (x  a)2  y2  m ボロノイ図には２つのタイプがある。１つは加法的重みつきボロノイ図で、もうひとつは乗法的重みつきボロノイ図である。今回の実験で出てきたのは加法的重みつきボロノイ図の方で、これは重みを足したたり引いたりすることによって再現している。残念ながら乗法的ボロノイ図の再現方法の良いアイディアが浮かばず、今後の大きなテーマとして残ったままである。このボロノイ図は自然界での重力場や磁場の解析に応用できると考えています。５ボロノイ図の応用例５－１応用例１学区分けとボロノイ図という等式ができる。この稜線は2点からの差が一定である点の集合であるから双曲線であるといえる。プログラムによる予測５－２応用例２数式で解析すると原点（0,0）を小さいほうの円の中心とし大きいほうの円の座標は（a,0）とする小さいほうの円の半径を n、大きい円の半径 m とすると円の円周から同じ距離の位置に点をとるため式は実際の実験結果５－３細胞とボロノイ図写真のように細胞の区分けの仕方はボロノイ図になっている。これは自然界にできるボロノイ図の１つである。「ある地域に４つの高等学校が図のようにあったとする。一人ひとりの生徒はこの4校のうち最も近い学校に全員入学できるとすると校区はどのようになるでしょう。」この問題に対して、４つの学校を半径の等しい円にすることで再現することができ、図のような結果になる。応用例３プログラムによる予測実際の実験結果分子の結晶構造格子点と他のあらゆる格子点を結ぶ線分を引き、各線分を垂直に等分する直線を作る。その格子点を含み、それらの直線によって囲まれてできる多角形のうち最小のものを選び出す。この方法で分子の結晶構造を作ることができる。私たちは、この方法で分子の結晶構造を塩山を用いて再現してみた。結果 • 次のように点を配置したときボロノイ図を塩山で再現すると、真ん中の穴を取り囲む塩の稜線のようになることがわかる。考察 • 1つ目、2つ目の図は物理の分野の面心立方格子と同じであることが分かった。同様に3つ目の図は六方細密充填構造になることがわかる。このことからも分子の結晶構造を再現することができるのがわかった。ユキノシタの表皮細胞（本校の顕微鏡で撮影）６ • • • • • これまでの結論塩山の稜線のでき方は最短距離が等しい値のところにできる。半径の大きさが等しい場合は、ボロノイ領域は直線で分けられボロノイ図と一致する。半径の大きさを変えてそれを重みに見立てると双曲線の稜線ができて、加法的重みつきボロノイ図と一致する。数式的に解析した図形と実験で実際に出てきた稜線はぴったりと一致した。ボロノイ領域は生物や化学分野における、多くの現象を再現することができる。７今後の予定 • もっといろいろな形の図形でどうなるかを実験する。 • 加法的重み付きボロノイ図はできたので、乗法的重み付きボロノイ図も塩山で再現できないかをしらべる。 • 任意の稜線を決め、それに合わせたように半径を自由に決定出来るようにする。 ■ 参考文献 ■ • 「塩が教える幾何学」 • 「折り紙で学ぶなわばりの幾何学」 • 「関数グラフソフト GRAPES 」 http://www.osaka-kyoiku.ac.jp/~tomodak/grapes/ • 「数学のいずみ」 • 物理学教室数理生物学研究室 R-JIRO 黒田俊郎加藤渾一友田勝久早苗雅史中島久男