立命館高等学校 三村 知洋 宮崎 航輔 村田 航大 1 平面上の任意の図形を切り抜いた板上に塩を振りか けるときにできる塩山の稜線 この稜線は平面幾何における様々な性質を表現 塩山による幾何学を用いて、生物モデルのボロノイ図 に応用 ボロノイ図を塩山で再現できることがわかった 2 「塩が教える幾何学」（黒田俊郎）によって提案 様々な図形、ボロノイ図に発展 ある形の板を作ってその上に塩をかけると、どのよう な形の山ができるか 私たちはこれを「塩山幾何学」と呼んでいる 3 様々な図形における性質を塩山で再現 穴を開けることでボロノイ図を再現 違う穴の半径を開けることで加法的ボロノイ図を再現 実験道具を工夫する事で時間的変化を伴う加法的ボ ロノイ図を再現 4 5 平面上に、いくつかの点が配置 このとき最も距離の近い点がどこになるかによって分 割してできる図をボロノイ (Voronoi) 図 6 7 等距離 内心点 8 傍心点 内心点 9 傍心点 内心点 傍心点 10 11 A(0, a) P(x, y) x 2 ( y a) 2 y a 1 2 y x 4a y = -a B(x, -a) 12 焦点 準線 13 14 15 16 PQ 2 x 2 (ax 2 p ) 2 a 2 x 4 (1 2ap ) x 2 p 2 1 2ap 4ap 1 a x2 2 2a 4a 2 4ap 1 p 2a p 1 2a 2 2 GRAPES DATA 17 18 19 20 21 22 CE＋BE ＝CE＋EA＋AB ＝CE＋ED＋AB ＝CD＋AB 焦点 ＝（大きな円の半径） 焦点 ＋（小さな円の半径） ＝一定 23 24 25 d i (x) = d (x, p(i)) x = (x, y)，p(i) = (ai, bi) d i (x) = ( x ai )2 ( y bi )2 塩山での再現 d i (x) = d (x, p(i)) – R 26 GRAPHIC DATA 27 d i (x) = d (x, p(i)) – w(i) d (x, p(i)) – w(i) = d (x, p(j)) – w(j) 焦点 焦点 d (x, p(i)) – d (x, p(j)) = w(i) – w(j) = 一定 28 GRAPHIC DATA 29 30 d i (x)= d (x, p(i)) – w(i, t) y = axb （0 < b < 1） ？ 31 32 33 ユキノシタの表皮細胞（本校の顕微鏡で撮影） 34 35 36 塩山の稜線のでき方は最短距離が等しい値のところに できる。 半径の大きさが等しい場合は、ボロノイ領域は直線で分 けられボロノイ図と一致する。 半径の大きさを変えてそれを重みに見立てると曲線の 稜線ができて、加法的重みつきボロノイ図と一致する。 数式的に解析した図形と実験で実際に出てきた稜線は ぴったりと一致した。 ボロノイ領域は生物や化学分野における、多くの現象を 再現することができる。 37 もっといろいろな形の図形でどうなるかを実験する。 重みつきボロノイ図の自然界への応用例を調べる。 加法的重み付きボロノイ図はできたので、乗法的重 み付きボロノイ図も塩山で再現できないか。 距離的関数を伴う加法的重み付きボロノイ図の理 論的裏付け。 任意の稜線を決め、それに合わせたように半径を 自由に決定出来るようにする。 38 加法的重み付きボロノイ図 乗法的重み付きボロノイ図 39 もっといろいろな形の図形でどうなるかを実験する。 重みつきボロノイ図の自然界への応用例を調べる。 加法的重み付きボロノイ図はできたので、乗法的重 み付きボロノイ図も塩山で再現できないか。 距離的関数を伴う加法的重み付きボロノイ図の理 論的裏付け。 任意の稜線を決め、それに合わせたように半径を 自由に決定出来るようにする。 40 1. 「塩が教える幾何学」 黒田俊郎 （2000年11月25日） 2. 「折り紙で学ぶなわばりの幾何学」 加藤渾一 http://izumi-math.jp/K_Katou/nawabari/nawabari.htm 3. 「数学のいずみ」 数学のいずみ編集委員会 （2001年4月25日） 4. (仮称)十進BASICのホームページ 白石和夫 http://hp.vector.co.jp/authors/VA008683/ 5. 「関数グラフソフト GRAPES」 友田勝久 http://www.osaka-kyoiku.ac.jp/~tomodak/grapes/ 41 42
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