立命館高校三村知洋宮崎航輔村田航大 ■ 研究概要 ■ 平面上の任意の図形を切り抜いた板上に塩を振りかけると塩山を描く稜線ができる。この稜線は平面幾何における様々な性質を表現できることが分かっている。例えば三角形の板上に描かれる塩山の稜線は角の二等分線になり、その交点は内心になる。このように角の2等分線や線分の垂直2等分線などを塩山の稜線を用いて表現することで、平面幾何の様々な性質を解析することができる。更にこの手法を用いることで、生物の棲み分けや最適配置問題に応用することができると考えた。この研究ではこうした塩山による幾何学を用いて、生物モデルのボロノイ図に応用した。その結果ボロノイ図を塩山で再現できることがわかった。キーワード：稜線塩山ボロノイ図 ■ 研究動機 ■ 数学科の先生から配られたプリントのなかに塩山を使ったいろいろな図形の解析というものに興味を持ち、自分達でもいろんなことができるのではないかと思い、この研究を始めた。だんだんと色々な図形を解析していくうちに、ボロノイ図へと発展させることができることを発見し、研究を続けている。１塩山幾何学とは「塩が教える幾何学」（黒田俊郎）によって提案されたものである。ある形の板を作ってその上に塩をかけると、どのような形の山ができるかというかというもので、私たちはこれを「塩山幾何学」と呼んでいる。２ボロノイ図とは平面上に、いくつかの点が配置されている。このとき最も距離の近い点がどこになるかによって分割してできる図をボロノイ (Voronoi) 図という。例えば右図のように、３点から同距離で区域をわけることによりできる図形がボロノイ図である。この図における、上の点と下の点の２点で同距離の点を集めることによりできる線がボロノイ図の線となる。また、３線が重なったところは３点からの同距離の点になる。３塩山幾何学を用いた初等幾何の解析まずはじめに基礎的な段階として、様々な多角形や円などに塩をかけたときに出来る稜線を分析した。３－１三角形の場合３－３凹のある四角形、五角形最初に一番簡単な図形である三角形に塩をかけて稜線を作り解析していった。またそこから、なぜそうなるか、原理を考えた。結果 • 稜線がはっきりとあらわれ辺と辺の同距離上に稜線があらわれる。 • 稜線は角の二等分線で、３線の交わったところは内心点になっている。次に凹のある四角形と五角形でどのような稜線がでるのかを調べた。実験方法は今までと変わっていない。結果 • 今までのように二等分線が出てきた。 • 図のようにある曲線が出てきた。考察３－２四角形と五角形の場合結果 • 三角形と同じように角の二等分線でてきた。 • 四角形、五角形では角の二等分線以外にも稜線がでてきた。点Aと直線DBをおくとすると、ある任意の点と点A、直線ｌの最短距離を考えたとき、直線とある点との最短距離はある点を通る直線ｌの垂線、また点Aとの最短距離はある点と直線で結んだ距離になる。ここで点Aと直線ｌとの距離が等しい点を点Eと置く。また、点Eを通る直線DBの垂線と直線DBとの交点を点F と置くと点Eは、「直線AE = 直線EF」の点になる。そのような点Eを集めると右の図のような曲線になる。これを数式で解析する。点a を (0, 0)、直線ｌを y = - a とするとこの曲線は x2  a2 y 2a となり、放物線であることがわかる。先ほどの凹のある多角形の場合は、角の二等分線と放物線が組み合わさった稜線であることがわかる。四角形の考察 • それぞれの角からは二等分線があらわれた。 • 四角形の場合には、ＦGのように、もう１本稜線があらわれた。これは直線ＡＤとＢＣの等距離の線だと考えられる。 • Ｆは三角形ＡＢＥの内心点になることがわかった。 • 点Gは三角形ＡＢＥの傍心だということもわかった。 • また内心円の書ける四角形や五角形の場合には内心点と傍心点が重なるため、1点しか表れないことがわかった。五角形の考察 • 元の五角形がＡＢＣＤＥで、五角形も延長してできた三角形ＡＢＥの内心点と延長することによってできた２つの三角形の傍心だということがわかった。４穴をあけた様々な形に塩をかける次に穴をあけて塩をかけるとどうなるかを実験した。そして、いままでの多角形との違いを調べた。４－１四角形に穴をあけたとき今度は四角形の中に円の穴をあけた。また、この時の稜線を調べた。四角形に穴をあけたとの結果 • 四角形に穴を1つあけると、右図のような曲線がでてきた。 • 四角形の辺と穴との等距離に線が出てくるため、さっきの凹の形と同じような原理で、放物線がでてくることがわかった。４－２円に穴をあけたとき円の中に円をあけて塩をかけるとどうなるのかを解析する。稜線はどのようにあらわれるのかを解析する大きな円の真ん中に穴をあけたとの結果 • 大きい円の円周と小さい円の円周の等距離の位置に稜線があらわれた。 • またそれが円になった。大きな円の中心からずらした所に穴をあけたときの結果 • 今回は楕円形の稜線が表れた。これはGRAPESというソフトを用いてこの塩山について解析したものである。この結果、穴と中心との距離を離せば平たい楕円形になることが分かった。同じ大きさの穴を２つあけたときの結果 • 次に穴を２つをあけるとどうなるかと考えた。また、左図は穴と穴の関係についての写真である。穴とヘリとの関係は上の図と同じ。 • 穴を2つあけることにより穴と穴の等距離に線ができるためこの写真のように直線、つまり２つの領域を等しくわけることができるというのがわかった。これは線分の垂直2等分線にあたる。 ED＝EA CE＋BE ＝CE＋EA＋AB ＝CE＋ED＋AB ＝CD＋AB ＝（大きな円の半径）＋（小さな円の半径）＝一定右の図は次の式をGRAPESを用いて作成したものである。 m  x2  y2  (x  a)2  y2  n ４－３様々な形に塩をかけた場合半円に塩をかけた場合の結果 • 曲線が現れた。これは放物線である。円錐を母線に平行な平面で切ることと同じ理由と考えられる。楕円に塩をかけた場合の結果 • 円の時とは違い直線が現れた。 • 二次曲線の時と同じように直線は端まで行かずに途中で切れていた。考察 • 二次曲線の塩山の直線が消えたのは、ある点からの最短距離を出すと解を持たないところが出てくる。これが直線の限界である。 t > 0 で常に d2>0 でなくてはならない。判別式をDとすると D<0 より D  (1  2 p)2  4 p 2 1 4p  0 よって p ＞１/4 のときに実数解を持つ。つまり p＝1/4 のときに稜線が表れる。二次曲線に塩をかけた場合 • 中心に直線の稜線が出てきた。 • これまでとは違い稜線は途中で切れていた。二つの大きさの違う半径の穴を開けて塩をかけた時の結果 • 大きさの同じ半径の円の穴をあけた時とは違いこれもまた曲線ができた。 • 楕円の直線が消えたのも二次曲線の直線が消えた理由と同じように、ある点を超えると解を持たなくなり、こうした現象がおきる。ここが直線の端であることが分かった。 • 曲線と円の半径の大きさが関係していることが分かった。 y 軸上の点P(0,p)と y=x2 のグラフ上の点 Q(a, a2) との距離 d が正になるような実数 a が存在しなくてはならない。 d 2  x 2  ( x 2  p )2  x 4  (1  2 p) x 2  p 2  t 2  (1  2 p)t  p 2 (t  x 2 ) ５塩山のボロノイ図への応用ボロノイ図も等距離の位置で領域分けされたものなので、その性質を使うことによりボロノイ図を塩山でつくれるのではないかと考えた。例えば水にできた波紋のように塩が同心円で穴におちて広がっていくことによって、円と円の等距離に稜線があらわれるため、ボロノイ図と一致するのではないかと考えた。５－１ボロノイ図作成のためのフローチャート５－２塩山のボロノイ図とプログラムの塩山を比べる実際に穴をランダムであけて実験した。結果は左側がプログラムで作ったボロノイ図で右側が塩山である。塩山の稜線だけをとってボロノイ図と重ねてみるとぴったりと合うことがわかった。最初に塩山とボロノイ図を比べるためにボロノイ図のプログラムを作成した。使ったソフトは十進BASIC（白石和夫）。 Start 座標系の設定 (x0,y0)-(x1,y1) 点の個数の設定 num 点の座標の決定 (AX,AY) 円の半径 r の設定色 ct の設定ループ 1 y は y0 から y1 までプログラムによる予測プログラムによる予測実際の実験結果５－３加法的重みのついたボロノイ図ループ 2 x は x0 から x1 まで次に重みつきボロノイ図を塩山で再現しようと考えた。重みつきボロノイ図とは、ボロノイ図を拡張したもので、いままでは各母点は同じ重みだったが、これは異なる重みがついたボロノイ図である。距離に重みを加えることで重みつきボロノイ図を作ることができる。点p(i)の重さをw(i)とするとループ 3 i=0 から num まで ■ 重みつきボロノイ図と半径との関係 ■ d(x, p(i)) = d(p(i)) - w(i) この値が一番小さい値の点で平面を分割する。 L(i)=SQR((X-AX(i))^2 +(Y-AY(i))^2-r(i) i=0 実際の実験結果加法的重み付きボロノイ図では、「距離＋重み」で計算されるため、重みの分を半径の長さで表現することにより、「重さ＝半径」と考える。このようにして穴の半径を大きくすることによって、加法的重み付きボロノイ図が塩山で再現できる。これは、半径を変えたときに出てきた曲線と同じ原理である。 NO YES MIN=L(i) ct=i L(i)<MIN NO YES MIN=L(i) ct=i 点に ct+2 の色をつける SET POINT STYLE=1 ループ 3 ループ 2 ループ 1 ループ 4 i=0 から num まで半径 r(i)、中心 (AX(i),AY(i)) の円を描画ループ 4 End ■ ボロノイ図の稜線のシミュレーション作成 ■ プログラムによる予測実際の実験結果数式で解析すると原点（0,0）を小さいほうの円の中心とし大きいほうの円の座標は（a,0）とする小さいほうの円の半径を n、大きい円の半径 m とすると円の円周から同じ距離の位置に点をとるため式は x2  y2  n  (x  a)2  y2  m という等式ができる。この稜線は2点からの差が一定である点の集合であるから双曲線であるといえる。６ボロノイ図の応用例ボロノイ図を使った応用例について調べてみた。６－１応用例１学区分けとボロノイ図「ある地域に４つの高等学校が図のようにあったとする。一人ひとりの生徒はこの4校のうち最も近い学校に全員入学できるとすると校区はどのようになるでしょう。」この問題に対して、４つの学校を半径の等しい円にすることで再現することができ、図のような結果になる。６－２応用例２細胞とボロノイ図写真のように細胞の区分けの仕方はボロノイ図になっている。これは自然界にできるボロノイ図の１つである。ユｊキノシタの表皮細胞（本校の顕微鏡で撮影）６－３応用例３分子の結晶構造格子点と他のあらゆる格子点を結ぶ線分を引き、各線分を垂直に等分する直線を作る。その格子点を含み、それらの直線によって囲まれてできる多角形のうち最小のものを選び出す。この方法で分子の結晶構造を作ることができる。私たちは、この方法で分子の結晶構造を塩山を用いて再現してみた。結果 • 次のように点を配置したときボロノイ図を塩山で再現すると、真ん中の穴を取り囲む塩の稜線のようになることがわかる。考察 • 1つ目、2つ目の図は物理の分野の面心立方格子と同じであることが分かった。同様に3つ目の図は六方細密充填構造になることがわかる。このことからも分子の結晶構造を再現することができるのがわかった。 • 真中の直線で囲まれてできる四角形や六角形はウィグナーザイツ胞と呼ばれていて、物理の多くの分野で多く応用されている。７乗法的重みつきボロノイ図ボロノイ図には２つのタイプがある。１つは加法的重みつきボロノイ図で、もうひとつは乗法的重みつきボロノイ図である。今回の実験で出てきたのは加法的重みつきボロノイ図の方で、これは重みを足したたり引いたりすることによって再現している。残念ながら乗法的ボロノイ図の再現方法の良いアイディアが浮かばず、今後の大きなテーマとして残ったままである。８（補足）安息角について、使用した塩についてボロノイ図の塩山の高さについてはこの安息角が関係していることが分かった。安息角とは、塩や砂を積み上げたときに自発的に崩れることなく安定を保つ斜面の角度をいう。粒子の大きさと粒子の角の丸みにより決定される。４－３において、放物線の形に塩を振りかけた時にあるところから先は崩れて落ちてしまう現象が現れた。数式的にも解析したが、これは物理的には、斜面に置かれたものが滑り出さずに留まることができる時の斜面の角度や摩擦係数に起因する。補足になるが、今回実験に使用した塩は湿気に強い「エンリッチ塩」を用いている。これは炭酸カルシウムが多く含まれていて、湿気に強いために実験に適していると判断した。９これまでの結論 • • • • • 塩山の稜線のでき方は最短距離が等しい値のところにできる。半径の大きさが等しい場合は、ボロノイ領域は直線で分けられボロノイ図と一致する。半径の大きさを変えてそれを重みに見立てると双曲線の稜線ができて、加法的重みつきボロノイ図と一致する。数式的に解析した図形と実験で実際に出てきた稜線はぴったりと一致した。ボロノイ領域は生物や化学分野における、多くの現象を再現することができる。１０今後の予定 ■ 参考文献 ■ • もっといろいろな形の図形でどうなるかを実験する。 • 重みつきボロノイ図の自然界への応用例を調べる。 • 加法的重み付きボロノイ図はできたので、乗法的重み付きボロノイ図も塩山で再現できないかをしらべる。 • 任意の稜線を決め、それに合わせたように半径を自由に決定出来るようにする。 • 「塩が教える幾何学」黒田俊郎 • 「折り紙で学ぶなわばりの幾何学」加藤渾一 • 「関数グラフソフト GRAPES 」友田勝久 http://www.osaka-kyoiku.ac.jp/~tomodak/grapes/ • 「数学のいずみ」早苗雅史