統計学第6回 11/2

統計学
11/08（木）
鈴木智也
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今日の講義
第１部記述統計：データの特性を記述
第２部確率論：推測統計への橋渡し
確率論入門
確率変数と確率分布 ←ここ！
第３部推測統計：データから全体像を推測
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復習：確率とは
• ある事象が起こるか否か分らない時、その
結果が起こる可能性を示す測度のこと。
事象 A の確率を P(A) と表すとすると、
①確率 P(A) は必ず非負である： P(A)≥0
②必ず起こる事象の確率は１である。
例：サイコロを振って３の目が出る確率は？
⇒目の出方は６通り。３の目が出るのは、そ
のうちの一つ。⇒1/6の確率。
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キーワード①：確率変数とは
• 取り得る値（実現値）が複数あり、それぞ
れの値を取る確率が決まっている変数。
例：サイコロを振って出る目の数値（X）
実現値（xi）：１，２，３，４，５，６
どの値を取る確率も1/6。
☆確率変数 X が xi という値を取る確率を
P(X=xi) または、単に P(xi) と表記する。
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キーワード②：確率分布とは
• 確率変数 X が取り得る全ての実現値につ
いて、対応する確率の散らばりのこと。
• それを表すものが、確率分布表。
（例）サイコロで出る目の値の確率分布表
xi
1
P(xi) 1/6
2
3
4
5
6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
5
確率変数を記述する①
☆平均値（「期待値」と呼ぶ）
確率変数 X が、平均して、どの位の値を
取るものと期待できるだろうか？
m
  E ( X )  x1  P( x1 )    xm  P( xm )  {xi  P( xi )}
i 1
↑確率で加重して平均を取っている。
注： E は期待（Expectation）を意味する。
6
確率変数を記述する②
☆分散
確率変数 X の実現値の散らばり具合を表す。
2
2
2
 X  V ( X )  {x1   X }  P( x1 )    {xm   X }  P( xm )
m
 {xi   X }  P( xi )
2
i 1
↑ここでも、確率で加重している。
注： V は分散（Variance）を表す。
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確率変数を記述する③
☆標準偏差
X  
2
X
注）表記上の慣習（ギリシャ文字）
• μ（ミュー小）：アルファベットのｍに対応
⇒平均（mean）を表す。
• σ（シグマ小）：アルファベットのｓに対応
⇒標準偏差（standard deviation）を表す。
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経済分析での確率変数の例
• 株式投資の収益率
株価は変動する⇒投資収益率は確率変数
Q：もし投資収益率の確率分布が次のよう
ならば、収益率の期待値はいくつ？
収益率
0.1
0.2
0.4
0.5
0.8
確率（％）
10
20
30
30
10
⇒確率分布が未知の時は、データから相対
頻度を算出し、それで代用する。
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連続型確率変数
• ここまでの確率変数 X はとびとびの値だけ
を取り得ると仮定した。←離散型確率変数
• しかし、ある範囲内でどんな値でも取り得
る確率変数もある。←連続型確率変数
Q：連続型確率変数の例を考えてみよう。
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連続型と離散型の違い
☆離散型の場合
・X の取る値自体に確率が対応。
・確率関数 P(X=xi) を定義できる。
☆連続型の場合
・X の取り得る値は無限にあり、一点の値
について確率が０ではないとすると、「確率
の総和が１である」という公理に矛盾。⇒
『範囲』について、確率を考える。
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連続型確率変数の場合の確率
• 連続型確率変数の場合、確率密度関数を
導入する： f(x)
• X が a から b までの値を取る確率は、
• 注：積分（∫）は総和（∑）に対応している。
Q：図示して考えてみよ。
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連続型確率変数の記述
X が－∞ から ∞ までの値を取るならば、
☆平均（「期待値」と呼ぶ）

 X  E ( X )   x  f ( x)dx

☆分散

  V ( X )   {x   X } f ( x)dx
2
X
2

☆標準偏差
 X   X2
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代表的な確率分布（正規分布）
☆正規分布 (Normal Distribution)
・正規分布は、平均値μと分散σ2によって
完全に決定される：N(μ, σ2)と表記する。
・確率密度関数は（覚えなくてもよいが）
f ( x) 
1
2 2
e
( x )2

2 2
・図示すると、釣鐘型をしていて、平均値に
関して左右対称である。
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標準正規分布
・N(μ, σ2) に従う変数 X は、N(0, 1)に従う
標準化変量 Z=(X－μ)/σに変換できる。
・N(0, 1)の分布を「標準正規分布」と呼ぶ。
重要：正規分布は統計学で最も基本的な
確率分布であり、この講義後半で集中的
に使うｔ -分布も正規分布の派生である。
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正規分布の重要な性質
• 確率変数XがN（μ，σ2）に従うとき、
☆P（μ－1.96σ≦X≦μ＋1.96σ）=0.95
⇒Xは95％の確率で、平均値から±1.96σの
範囲内に収まる値を取る。
（類） P （μ－2σ≦X≦μ＋2σ）=0.954
（類） P（ μ－σ≦X≦μ＋σ）=0.68
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