経済統計学第二回 Business Statistics

経済統計学第２回４/２４
Business Statistics
鈴木智也
紫英館３０４号室
Office Hour：月曜日第２講時
1
前回のポイント
• 「記述統計」と「推測統計」。
• この講義で扱うのは、推測統計。
• 標本（サンプル）データから標本統計量を
計算し、母集団の持つ規則性（母集団パラ
メータ）を推測する。
⇒推測統計を学ぶ前に、記述統計の復習。
2
記述統計の復習（１）
☆（母集団）平均
m
X1  X 2    X m
1
X 
 { X i  }
m
m
i 1
X が m 通りの値を取りうる時、大体どれ位
の値になるかの指標。
3
記述統計の復習（２）
☆（母集団）分散
2
2
m
(
X


)



(
X


)
1
2
2
1
X
m
X
X 
 ( Xi  X ) 
m
m
i 1
X が概ね平均値からどのくらい離れている
かを表す指標。（散らばり具合を記述）
Ｑ：なぜ二乗しているのかを考えてみよう。
4
記述統計の復習（３）
☆（母集団）標準偏差
 X   X2
これも散らばり具合を表す指標。
注：分散は二乗を取って計算しているので、
元々の単位（例：兆円）とは異なる。
⇒分散の平方根を取って、標準化し、元の単
位に戻す。
5
記述統計と推測統計の対応
n個の標本データから母集団特性値を推測
☆標本平均
n
☆標本分散
X 1  X 2    X n i 1 X i
X

n
n
( X1  X )    ( X n  X )
s 

n 1
2
2
2
X
☆標本標準偏差
sX  s
2
(
X

X
)
i1 i
n
n 1
2
X
6
注：一般的な表記方法
• 母集団特性値はギリシア文字で表すのが
通例。
平均：μ（ミュー）標準偏差：σ（シグマ）
• 標本統計量は通常、アルファベットで表す。
小文字のσは小文字のｓに相当。
母集団標準偏差 σ ⇔ 標本標準偏差ｓ
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ここから前回の続き
• 推測統計では、サンプルを取って、母集団
の規則性（特性値）を推測する。
• サンプルをどう取るかで、標本統計量の値
は変わってくる。
• 標本統計量には、取り得る値が複数あり、
事前にはどの値を取るのか分からない。
⇒標本統計量は「確率変数」である。
8
そもそも確率とは？
• ある事象が起こるか否か分らない時、その
結果が起こる可能性を示す測度のこと。
事象 A の確率を P(A) と表すとすると、
①確率 P(A) は必ず非負である： P(A)≥0
②必ず起こる事象の確率は１である。
③事象 A と B が同時には起こり得ない場合、
A または B が起こる確率は、P(A)+P(B) 。
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確率の具体例
• サイコロを振って、３の目が出る確率は？
⇒目の出方は、全部で６通り。３の目が出る
のは、そのうちの一つ。⇒1/6の確率。
• じゃんけんでグーを出して勝つ確率は？
⇒相手がチョキなら勝ち、グーならあいこ、
パーなら負け、の三通り。⇒1/3の確率。
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確率変数とは
• 取り得る値（実現値）が複数あり、それぞ
れの値を取る確率が決まっている変数。
例：サイコロを振って出る目の数値（X）
実現値（xi）：１，２，３，４，５，６
どの値を取る確率も1/6。
☆確率変数 X が xi という値を取る確率を
P(X=xi) または、単に P(xi) と表記する。
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確率分布とは
• 確率変数 X が取り得る全ての実現値につ
いて、対応する確率の散らばりのこと。
• それを表すものが、確率分布表。
（例）サイコロで出る目の値の確率分布表
xi
P(xi)
1
2
3
4
5
6
1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
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確率変数を「記述」しよう ①
☆平均値（「期待値」と呼ぶ）
確率変数 X が、平均して、どの位の値を
取るものと期待できるだろうか？
m
  E ( X )  x1  P( x1 )    xm  P( xm )  {xi  P( xi )}
i 1
↑確率で加重して平均を取っている。
注： E は期待（Expectation）を意味する。
13
確率変数を「記述」しよう ②
☆分散
確率変数 X の実現値の散らばり具合を表す。
2
2
2
 X  V ( X )  {x1   X }  P( x1 )    {xm   X }  P( xm )
m
 {xi   X }  P( xi )
2
i 1
↑ここでも、確率で加重している。
注： V は分散（Variance）を表す。
14
確率変数を「記述」しよう ③
☆標準偏差
X  
2
X
理解の為の重要ポイント
母集団の平均、分散、標準偏差と、確率変
数の平均、分散、標準偏差のそれぞれの
相似性に注目せよ。
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経済分析での確率変数の例
• 株式投資の収益率
株価は変動する⇒投資収益率は確率変数
Q：もし投資収益率の確率分布が次のよう
ならば、収益率の期待値はいくつ？
収益率
確率（％）
0.1 0.2 0.4 0.5 0.8
10 20 30 30 10
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確率分布が分らない場合は？
• 過去のデータから「相対頻度」を調べて、代用。
例えば、過去12ヶ月間の収益率が
0.2, 0.4, 0.1, 0.3, 0.1, 0.3, 0.5, 0.2, 0.1, 0.2, 0.3, 0.2
だったとする。その場合、相対頻度は、
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
収益率
相対頻度 3/12 4/12 3/12 1/12 1/12
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連続型確率変数
• ここまでの確率変数 X はとびとびの値だけ
を取り得ると仮定した。←離散型確率変数
• しかし、ある範囲内でどんな値でも取り得
る確率変数もある。←連続型確率変数
例：ある時点で、時計の秒針が、中心から十
二時の部分を結ぶ線と、成す角度は0度か
ら360度まであり得る。（分布を図示せよ）
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連続型確率変数（続）
☆離散型の場合
・X の取る値自体に確率が対応。
・確率関数 P(X=xi) を定義できる。
☆連続型の場合
・X の取り得る値は無限にあり、一点の値
について確率が０ではないとすると、確率
の総和が１であるという公理（P.9)に矛盾。
⇒「範囲」について、確率を考える。
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連続型確率変数（続々）
• 連続型確率変数の場合、確率密度関数を
導入する： f(x)
• X が a から b までの値を取る確率は、

b
a
f ( x)dx
• 注：積分（∫）は総和（∑）に対応している。
Q：図示して考えてみよ。
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連続型確率変数を「記述」する
X が－∞ から ∞ までの値を取るならば、
☆平均（「期待値」と呼ぶ）

 X  E ( X )   x  f ( x)dx

☆分散

  V ( X )   {x   X } f ( x)dx
2
X
2

☆標準偏差
 X   X2
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代表的な確率分布
☆正規分布 (Normal Distribution)
・正規分布は、平均値μと分散σ2によって
完全に決定される：N(μ, σ2)と表記する。
・確率密度関数は（覚えなくてもよいが）
f ( x) 
1
2 2
e
( x )2

2 2
・図示すると、釣鐘型をしていて、平均値に
関して左右対称である。
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代表的な確率分布（続）
・N(μ, σ2) に従う変数 X は、N(0, 1)に従う
標準化変量 Z=(X－μ)/σに変換できる。
・N(0, 1)の分布を「標準正規分布」と呼ぶ。
重要：標本平均は正規分布に従うことが知
られている（次々回に詳説）。
＊今週で準備は終り、来週から本題入り。
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