確率･統計Ⅰ

確率･統計Ⅰ
第9回正規分布とその性質
ここです！
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確率論とは
確率変数、確率分布
確率変数の独立性／確率変数の平均
確率変数の平均（続き）、確率変数の分散
確率変数の共分散、チェビシェフの不等式
ベルヌイ試行と二項分布
二項分布（続き）、幾何分布など
二項分布の近似、ポアソン分布、正規分布
正規分布とその性質
i.i.d.の和と大数の法則
中心極限定理
統計学の基礎1（母集団と標本、確率論との関係）
統計学の基礎2（正規分布を用いた推定・検定）
正規分布とその性質
1. 正規分布の平均・分散、グラフ
2. 正規分布の標準化
3. 正規分布の代表的確率値
4. 正規分布の一次変換および和
正規分布
確率密度関数が次の式で与えられ
る確率分布を、平均μ, 分散σ2 の正規
分布 N(μ,σ2) という：
f ( x) 
1
e
2 

x   2

2 2
（問）これが確かに確率分布であることを確かめよ。
標準正規分布
確率密度関数が次の式で与えられ
る平均0, 分散1の正規分布を、
標準正規分布 N(0, 1) という：
f ( x) 
1
e
2
x2

2
正規分布の平均・分散
確率変数 Z が正規分布 N(μ,σ2) に
従うとき、
1. E(Z) =μ
2. V(Z) =σ2
（問）これらを確かめよ。
正規分布のグラフ
標準正規分布 N (0, 1)
f ( x) 
1
e
2
0.4
x2

2
0.3
左右対称
0.2
0.1
一般 N (μ,σ2)
f ( x) 
1
e
2 
-3
-2
-1
σ

x   2

2 2
1
変曲点
2
σ
x =μ
最大値
変曲点
3
x
正規分布のグラフと平均
μによる変化
(σ = 1)
0.4
0.3
0.2
0.1
-4
-2
2
4
正規分布のグラフと分散
σによる変化
(μ= 2)
0.8
0.6
σ= 0.5
0.4
σ= 1.0
0.2
σ= 1.5
σ= 2.0
-5
5
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正規分布とその性質
1. 正規分布の平均・分散、グラフ
2. 正規分布の標準化
3. 正規分布の代表的確率値
4. 正規分布の一次変換および和
確率変数の標準化
確率変数 X の平均 E(X)=μ, 分散 V(X)=σ2 と
するとき、
X 
*
X 

（Xの標準化）
とおくと、 E(X*)=0, V(X*)=1 となる。
（問） E(X*)=0, V(X*)=1 となることを確かめよ。
正規分布の標準化
確率変数 Z が正規分布 N(μ,σ2) に
従うとき、
標準正規分布
Z の標準化 Z* は N(0,1) に従う
（問）これらを確かめよ。
正規分布と標準正規分布の関係
N(0,1)
N(μ,σ2)
面積が等しい
μ+aσ
μ
μ+bσ
b
=
=
b
=
=
a
a 0
a μ b μ
σ
σ
正規分布と標準正規分布の関係
確率変数 Z が正規分布 N(μ,σ2) に
従うとき、
P(μ+aσ< Z <μ+bσ) は、μ,σ
に関係なく、
a, b だけで決まる
（そしてそれは、P(a<Z*<b) に等しい。）
正規分布とその性質
1. 正規分布の平均・分散、グラフ
2. 正規分布の標準化
3. 正規分布の代表的確率値
4. 正規分布の一次変換および和
正規分布の（代表的）確率値
  3   2   

0.68
0.95
0.997
     2   3
正規分布の（代表的）確率値
確率変数 Z が正規分布 N(μ,σ2) に従うとき、
1. P(μ-σ< Z <μ+σ)
= P(-1< Z*<1) ≒ 0.683
2. P(μ-2σ< Z <μ+2σ)
= P(-2< Z*<2) ≒ 0.954
3. P(μ-3σ< Z <μ+3σ)
= P(-3< Z*<3) ≒ 0.997
［演習］正規分布と標準正規分布の関係
[1] 確率変数 Z が正規分布 N(5,16) に従うと
する。
I. 次の確率を、標準正規分布に従う確
率変数 Z* に関する確率で表せ。
1. P( 4＜ Z ≦8 )
2. P( Z > 0 )
II.
確率が P( -2< Z* <2 ) と等しくなるよう
な、 Z の範囲を求めよ。
［演習］正規分布と標準正規分布関数
[2] 確率変数 Z が正規分布 N(5,16) に従うとき、次
の確率を関数
t2

2
1 x
F ( x) 
e dt

2 
を用いて表せ。
さらに、負の数を使わずに表す工夫を考えよ。
1. P( 4＜ Z ≦8 )
2. P( Z > 0 )
正規分布とその性質
1. 正規分布の平均・分散、グラフ
2. 正規分布の標準化
3. 正規分布の代表的確率値
4. 正規分布の一次変換および和
正規分布の一次変換
確率変数 Z が正規分布 N(μ,σ2) に
従うとき、
Z´= aZ+b は N(aμ+b, a2σ2) に従う
（問）これらを確かめよ。
正規分布の和
確率変数 Z1 , Z2 が独立で、それぞれ
正規分布 N(μ1 ,σ12), N(μ2 ,σ22) に従う
とき、
Z´= Z1 + Z2 は
N(μ1+μ2 , σ12+σ22 ) に従う
（証明略）
正規分布の一次結合
確率変数 Z1 , Z2 , …, Zn が独立で、それぞれ
N(μ1 ,σ12), N(μ2 ,σ22) , …, N(μn ,σn2)
に従うとき、
Z´= c0 + c1Z1 + c2 Z2 +…+ cn Zn は
N( c0 + c1μ1+ c2μ2 + …+ cnμn,
c12σ12 + c22σ12 + … + cn2 σn2 ) に従う
（一次変換の定理と和の定理を合わせてまとめただけ）
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