母分散の検定

母分散の検定
母分散の検定
母分散の比の検定
カイ2乗分布の応用
母分散の検定
• 母分散検定の背景
ある製造工場から製造される製品 10 個の重量を
測定したとき，標本不偏分散が 3.5であった。正常な
場合には分散（母分散）は 2.1 であることがわかって
いる。現在の製造ラインは正常であるといえるだろう
か。有意水準 5% で検定を行う。
母分散  2 がある値に等しいかどうか，ある値
より大きいか（小さいか）を問題にする状況では，
母分散に関する検定を行う．
母分散  に関する仮説の設定
2
• 両側検定
H0 :  2   02 VS H1 :  2   o2
• 右片側検定
H0 :  2   02 VS H1 :  2   o2
• 左片側検定
H0 :  2   02 VS H1 :  2   o2
検定統計量を求める
• 検定統計量
 
2
0
(n  1) s
2
 02
となる。有意水準αを与え、検定統計量
02  a　or 02  b
のとき、帰無仮説を棄却する（両側検定）。
ここで、a, b は自由度m=n-1の  2 分布の臨界値
a  2 /2 (m), b  12 /2
 分布の臨界値と棄却域
2
Chi Square Distribution
0.16
f(x, 6)
0.14
0.12
0.10
0.08
臨界値
0.06
臨界値
0.04
0.02


2
2
0.00
0
棄却域
a
2
4
6
採択域
8
10
b
12
14
棄却域
16
18
20
片側検定
• 右片側検定
H0 :  2   02 VS H1   o2
02  b  12 (m) となったとき、 H 0 を棄却する
02  b  12 (m) となったとき、 H 0を棄却しない
• 左片側検定
H0 :  2   02 VS H1   o2
02  a  2 (m) となれば、 H 0 を棄却する
 2  a   2 (m) となれば、 H 0 を棄却しない
0

練習問題１
• ある生産レインで新しいソフトを導入した。そ
れを使って無作為に選ばれた10個の同じ製
品について検査時間を調べたら次のように
なった。新しいソフトによる検査時間の分散は
これまでの時間の分散1.2と同じとみなせるか
を有意水準α=0.05で検定せよ。
68.1 67.2 67.1 66.8 67.3
67.3 67.8 68.6 65.4 68.8
母分散の比の検定（等分散の検定）
• 両側検定：
H0 : 12   22 VS H1 : 12   22
• 右片側検定
H0 : 12   22 VS H1 : 12   22
• 左片側検定
H0 : 12   22 VS H1 : 12   22
等分散の検定統計量
• H 0 のもとでのフィシャーの分散
n1
1
2
(
x

x
)
 i
n1  1 i 1
s12
F 
 2
n2
1
s2
2
( yi  y )

n2  1 i 1
とすると、Fは自由度（n1-1,n2-1)のF分布に従う
（P.126, 6.8節を参照）。
F 分布
F分布の臨界値と検定
• F を検定統計量として、有意水準αが与えられると、
• 両側検定： F1 /2 (n1  1, n2  1)  F  F /2 (n1  1, n2  1)
帰無仮説を棄却せず、
F  F1 /2 (n1  1, n2  1)　or F  F /2 (n1  1, n2  1)
帰無仮説を棄却する。
ただし
F1 / 2 (n1  1, n2  1) 
1
F / 2 (n2  1, n1  1)
両側検定
F Distribution
(a)の場合、対立仮説：
 12   22
0.80
0.70
0.60
f(x,8,8)
0.50
0.40
臨界値
0.30
0.20
0.10
臨界値


2
2
棄却域
0.00棄却域
0
1
1
F  (n1  1, n2  1) 
1
F (n2  1, n1  1)
2
2
2
3
F /2 (n1  1, n2  1)
4
5
6
F分布の臨界値と検定
• 右片側検定
H0 : 12   22 VS H1 : 12   22
F  F (n1  1, n21 ) ならば H 0 を棄却する
F  F (n1  1, n21 ) ならば H 0 を棄却しない
• 左片側検定
H0 : 12   22 VS H1 : 12   22
F  F1 (n1  1, n21 ) ならば、 H 0 を棄却する
F  F1 (n1  1, n21 ) ならば、 H 0 を棄却しない
左片側検定
F Distribution
(b)の場合、対立仮説：
 12   22
0.80
0.70
0.60
f(x,8,8)
0.50
0.40
臨界値
0.30
0.20

0.10
0.00
0
F1 (n1  1, n2  1) 
1
1
F (n2  1, n1  1)
2
3
4
5
6
練習問題２
• 教科書P175の例題７
H0 : 12   22 VS H1 : 12   22
 分布の応用
2
• ピアソンの  検定
2
Ｋ．ピアソンの適合度基準
2
(
f

np
)
2
i
  i
npi
i 1
k
この適合度のχ２統計量χ２はｎが大きいとき、自由度
ｋ-1のχ２分布χ２(ｋ-1)に従う。
教科書p176例題８

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