t検定(続き)

計量経済学 2015 年 11 月 11 日(6 日)とおなじもの
帰では k＝2)N-k が小さい時は裾が広く、上側 2.5%点は
http://mcobaya.web.fc2.com/karato.htm
0 から離れる。しかし、経済データでは自由度 20 以上のこと
教科書
がほとんどであり、p.175 の t 分布表をみると両側 5%点は
4.2 仮説検定ポイント：
1. 自由度が大きいか(正規分布かｔ分布か)
自由度 20 のときでも.2.086 とほぼ２と考えてよい。確認
2. 両側検定か片側検定か
3. 帰無仮説が 0 か 0 以外か
分析手順のまとめ：回帰分析の結果の分析は
想定モデル
yt  a  bX t  et , var(et )   2 , et ~ Normal , t  1,..., T 傾きの
2
係数の分散の公式  T
2

(Xt  X )
t 1
１．まず数値、符号が理論、常識と一致しているか。
２．係数が０から十分離れているか（その変数を使った
意味があるか。）
。サンプルサイズが十分大きいとき
(自由度が２０以上のときは)、ｔ値の絶対値が２以
上なら係数は水準５％で有意（変数は効果あり）と
あ）両側検定、帰無仮説として係数＝0（「変数は影響を
みなされる。ｔ値の絶対値が２以下なら係数は水準
持たない。
」）を検証する場合で説明
５％で有意ではなく、このデータからは変数の効果
は証拠づけられない。
a）標準誤差が既知の場合であるか自由度(サンプルサイ
３．自由度が２０以下のときは
自由度＝サンプルサ
ズ－係数の数)がある程度大きいとき、正規分布を使う
イズ－右辺の変数の数（定数項も含む）をもとめ、
検定の考え方：
数表から厳密な臨界点を求める。
誤差項が正規分布に従い、ｔの臨界値
を 2 もしくは 2.6 とする。(両側検定) これが P．175
問：自由度という名前の由来は？
の数表の自由度無限大のとき教科書の数表の片側 2.5%
答：サンプルサイズが２で、単回帰のように係数の数が
点か 0.5％の数字はほぼ 2 か 2.6
２つだと、直線の当てはめは一意的で、自由度はありま
標準誤差（推定量の分散の平方根）が既知であるか十
せん。また、サンプルサイズが３で係数の数が３つの重
分な精度で推定できる場合、推定量の分布は標準正規分
回帰分析もやはり当てはめは一意的で自由度はありませ
布（standard Normal distribution, ベル型で中
ん。統計学ではこれを一般化してサンプルサイズから係
心が 0、標準偏差＝中心からの平均距離＝１の分布）に
数の数を引いたものを自由度とよんでいます。
従う。
。
い）片側検定：
(b) 標準誤差が未知の場合
ある物質が毒であることを証明するには、その物質を
T=(推定量-真の値)/(標準誤差)は正規分布になり、両
摂取したら寿命が十分短かくなることを示せば良い。
側５％点は１．９６であるが、σ2 をその不偏分散 s2 で推
ある物質が、健康に影響することを証明するにはその
定することにより、ｔ値の中心がとがり（尖り）
（s2 が大
物質を摂取したら寿命が十分短かくなるか長くなるこ
きい値の時）
、裾が広がる fat tail。
（s2 が小さい値の
とを示せば良い。
とき）。これにより両側５％点は正規分布(自由度無限大
1) 両側検定：両側で５％になる点か両側で 1%になる
のｔ分布)より大きな絶対値をとる。自由度が無限大の
点（自由度無限大のときは 1.96 と 2.57）を両側
ときはサンプルサイズが無限大であるので、不偏分散
5%点などと呼ぶ
s2
はほぼ正確に推定できるので、正規分布との差はなくな
2) 片側検定：片側で５％になる点か 1%になる点（自
る。すなわち、自由度が大きな場合、標準誤差が正確に推
由度無限大のときは 1.645 と 2.326）片側 5%点
定できるので、標準誤差が既知の場合と同じ。
などと呼ぶ
両側検定と片側検定の使い分け
(c)仮説が 0 でないとき：t 値=（推定値－期待値）/標準誤
両側検定：プラスであれマイナスであれ、影響がある
差のばらつき方(分布)は N-k に依存する。N-ｋを自由度
かどうかを確認したい場合。
という
片側検定を使うのは、
(N:サンプルサイズ K:定数を含む説明変数の数。単純回
１）正の効果だけが有用な場合(例：薬効)

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