修士論文発表２００３年２月１０日ボーズ・フェルミ混合超流動原子気体の集団励起栗原研究室 M2 ヴァルタン光目次： I. 序 II. モデル III. 理論 IV. 結果と考察 V. 結論と課題 I. 序歴史的背景ボーズ・アインシュタイン凝縮の成功(MIT: 1995) 磁気トラップ；レザー冷却；蒸発冷却 ii. Bogoliubov音波の観測 (MIT:1997) iii. Feshbach共鳴の成功 (MIT:1998) aeff  1000aB iv. 縮退フェルミガス (JILA : 1999) 最近では0.1TFまで達成（超流動の兆？） v. ボーズ・フェルミ混合系で量子縮退（ライス大：2001） i. i. フェルミオン冷却の難点パウリ排他律縮退に近づくにつれ、蒸発冷却が非効率にボソンとの混合冷却？ ii. 対生成の為の引力 Li6以外は斥力相互作用 Feshbach 共鳴? iii. 超流動の観測混合冷却二つのhyperfine状態のフェルミオンをトラップすることにより、Ｓ－波散乱が可能。縮退付近でパウリ排他率の効果が著しくなる BECとの散乱が可能研究の主題希薄なボソンとフェルミオン混合系で、両方共に超流動転移をした時の集団励起について、経路積分の手法を用いて調べる。本研究の計算は一様系を想定する：ボソンとフェルミオンの重なりは緩やか或いは箱型のトラップである場合のみ大きい。 II. モデル虚時間経路積分で記述される混合系の大分配関数から出発: Ζ gr   D D D D      1       exp SB [ , ]  SF [ , ]  SBF[ , , , ]      複素場（ボソン成分）  グラスマン場（フェルミオン成分）混合系の作用 Bose gas：       2  gB 4 SB [ , ]  d dx x,      B  x,    x,   2 0   2mB      Fermi gas：        2  SF [ , ]  d dx  x,        x,  0    2mF   gF 2 2       x,   x,  2    Hyperfine States    & Bose-Fermi Interaction :    SBF[  , ,  , ]   d dx g  x,   x,   2 2 0 Coupling constants ： gx  2 2ax mR III. 理論 i. Stratonvich-Hubbard変換 BCS order-parameterに相当する補助場を導入 a ( x, ) ii. フェルミオン場を経路積分 iii. 南部空間での回転（ゲージ変換）ギャップが実数に成る様な位相を選ぶ iv. ゆらぎについて摂動展開ボソン場 Bogoliubov 近似補助場平均 + ゆらぎ v. 運動量空間へのフーリエ変換  ( x, )  nB   ( x, ) a ( x, )  0   ( x, ) vi. ゆらぎの一次  S 1  0 の条件 Bose Field Hugenholz-Pines Relation B  gB nB  gn  gn Pairing Field BCS Gap equation 0 F x, ; x,   gF ix. ゆらぎの二次 RPA 分極バブルの計算実部 Feynman’s techniqueで解析的に虚部解析接続の後に数値的に + Ward高橋の恒等式ゲージ不変性により、基本４種類から全てが求まる f0 (k , n )、 g0 (k , n )、 h0 (k , n )、 k0 (k , n ) ix. ゆらぎの二次ゆらぎの二次はグリーン関数の逆数だから：ベクトルを導入: †  A (k ,  ) P (k ,  )  (k ,  )  (k ,  )  S 1  2V ( 2) 長波長極限 :  d  G † -1 (k ,  , T )  k DetG-1  0 &   ck G-1   22mkB2  2g B nB  g A2 nB g0 ( k )  f 0 ( k )   i g D nB k0 (k )  k0 ( k )   g 2 n g ( k )  f ( k )  0  D B 0 2k 2 i   0  2 mB  g D nB k0 ( k )  k0 (k ) 0 h0 ( k )  f 0 ( k )  g1F     i g n  k ( k )  k 0 0 A B 0 0 0 (k )          0 (k ) - ig A nB 0 k  0 (k ) k 0 0 20 h0 (k )  f 0 ( k )  g1F             IV. 結果と考察ボソンとフェルミオンの結合によるモード反発 The Dispersion Relation    2 2 2 2 2     1  g B nB vF  1  g B nB vF  gA N 0vF nB  2 2          k 3  4  mB 3 6mB  2  mB  Bogoliubov mode  vA Anderson mode Repulsion between Bogoliubov velocity and Anderson velocity vB 0 k vA 不安定性の条件: 2 4  a m B R aA2  kF mB mF Velocity (units of vF ) Instability of superfluid vB Exp: Mixture of 6Li & 87Rb aA (a.u.) ボゾン超流動の崩壊？その前に相分離か？ボゾン・フェルミオン間が引力の場合は？？ Decay rate 音速の虚部（結合による減衰）： 104 vF A B   (cB  i B )k   (cA  i A )k Imaginary coefficient of k Temperature  in Mixture of 6Li & 87Rb For a  a  150a0 対破壊、Landau減衰が無い範囲では安定 KBT 0 IV. 結論と課題結論ボソン・フェルミオン超流動混合系に於いて： • 集団励起モードの分散関係 • ボソンとフェルミオンの超流動モードは結合により反発しあう。 • 片方の超流動に不安定性が存在する • 有限温度で結合による減衰今後の課題トラップの効果とフェルミオンの超流動転移温度付近の物理付録： A. Stratonvich-Hubbard変換        2 2 g exp d dx F   x,    x,      0  2          x ,  1      D D exp d dx    x,   x,   x,    x,   x, x,    g F     0  BCS order-parameterに相当する補助場を導入 B. Integration over fermionic fields x,    Seff  , , ,   d dx  SB   ,  Tr ln -G 1 gF 0     2     第三の項摂動展開 C. 摂動展開   2  2       g    1   2mF 1  G   2    2         g      2mF   D. 南部空間での回転（ゲージ変換）ユニタリー変換 : U    e i   3   x,  2 Trace of Green’s function invariant ~1 G  U  G 1 U 1  ギャップを振幅と位相に :   p x,   ae i p  x,  をギャップが実数に成るように取る E. 摂動展開ボソン場 Bogoliubov 近似補助場平均 + ゆらぎ  ( x, )  nB   ( x, ) a ( x, )  0   ( x, ) G 1 G01   量子ゆらぎを小さいとして,   Tr ln G 1   TrlnG  1 0   1   Tr G01 j 1 j を二次まで展開.  j F.摂動展開ゆらぎの部分  x,   1 K  L M  x,     K LM    x,  1   K 3  L  M  0  1   where: mF v 2 x,        K  i x,    g A nB  x,    x,    x,  x,  2 i L  , vx,  ; M  g D nB  x,     x,    x,  x,  2       vx,    x,  ;  x,    x,  2mF 2 g  g g  g gA  ; gD  2 2     G. フーリエ変換 1 i k x -n   ( x, )   ( k ,  ) e  n V k ,n 1 i k  x- x -n    G0 ( x, ; x, )  G ( k ,  ) e  n V k ,n 0 Ak ,n   in   k in   k   0 2 2 k 2  k      g n 2m H. unperturbed Green’s function 0    in    k    G0 k ,n   0 in    k  Ak ,n   G k ,n  F k ,n       F k ,n  G k ,n  I. RPA 分極バブル f 0 ( k ,  n )  1V  F p ,m F ( p,  m ) ( p  k , m  n ) g0 ( k ,  n )  1V  G ( p,  m G ) ( p  k, m  n )   p ,m h0 ( k ,  n )  1V  G ( p,  m G ) ( p  k, m  n )   p ,m  0 (k ,  n ) k  1V  G ( p ,  m )F  p ,m ( p  k, m  n ) g1 ( k ,  n )  1V  ( p  k 2 )G ( p ,  m G ) ( p  k, m  n )   p ,m 2 g2 ( k ,  n )  1V  ( p  k 2 ) G ( p,  m G ) ( p  k, m  n )   p ,m etc. 高次のバブルが低次のバブルで表せる J. TheWard Identity Change of Green’s function upon rotation of phase G ( x, x)  e G 1 ( x , x) i 2  (x) 3 e G ( x, x)e i 2  (x) 3 G 1  2i  (x) 3 ( x , x) e : G ( x, x)  G ( x, x)  O(  2 )  2i  (x) 3 G 1 ( x, x)  G 1 ( x, x)  O(  2 )  3G ( p) G ( p  k ) 3  G ( p  k ) in 3  mF k ゲージ不変性から:   ( p  k 2) 0  2i0  2 G ( p) We obtain : k mF k2 mF k mF g1 (k )  f1 (k )   in g0 (k )  f0 (k )  2 k0 (k )  k0 (k ) g2 (k )  f 2 (k )   in k g1 (k )  f1 (k )   2 k k1 (k )  k (k ) k 2n k1 (k )  k1 (k )  in k0 (k )  k0 (k ) 2 h0 (k )  f0 (k )  2g 0 2 0 F 0 0 F e i 2  (x) 0   in f0 (k )  0 k0 (k )  k0 (k )  K.バブルの実部 Using Feynman’s technique 1 1  [a  (1   )b]2 d ab 0 and at absolute zero  N 0  2  2 vF k 2     e f 0 ( k ,  )  1  2     2  60  3    N 0  2  2 vF k 2     e g0 ( k ,  )   1  2     2  60  3    1 N 0  2  2 vF k 2     e h0 ( k ,  )   1  2     gF 2  30  3    N 0  2  2 vF k 2     e k0 ( k ,  )  1  2     40  60  3   g  g    L.解析接続 Analytic continuation : m 1V  G ( p,  )F p ,m ( p  k,   n )   ( 21 )4 mGR ( p,  )mFR ( p  k ,    )  tanh 2kBT  tanh 2(kBT ) m  0 GR FR m   GA FR GA FA 解析接続  in   Retarded Polarization Bubbles:   N 0  m f0 ( k ,  , T )  sinh2kBT 2vF k  N 0 m g0 ( k ,  , T )  sinh2kBT 2vF k where: for which :    ( E   ) cosh E coshE  1  2 k BT 2 k BT E  dE 2 2    1 0 E  0  (E   ) cosh E coshE   2 2 k BT 2 k BT 1C    2 0        2E 2  2  2E  (E   ) cosh E coshE  1  2k BT 2 k BT E  dE 2 2    1 0 E  0  2E 2  2  2E  (E   ) cosh E coshE     2k BT 2 k BT 1C2    m f0 (k ,  )  m h0 (k ,  )  0 m (k0 (k ,  )  k0 ( k ,  )) E     ; E,  E   ; C  2 2  vF k  1;   2mk   2   ( g 2g )n ;     2  ( g 2g ) n 2 2     B     B F for    1 , 1 ,   0 : 2k BT 0 N 0 20  m f 0 ( k ,  , T )   8 k BT vF k N 0 20  m g0 ( k ,  , T )   8 k BT vF k M.バブルの虚部    sech2 2kEBT dE 2 2 0 E  0 1C 2  2E dE  0 1C 2 2   20 sech2 2kEBT E 2  20  N. Spectral Weight Bogoliubov mode vF k 0 103~ 4 10 AA,B ( k ,  , T ) 1   m GA,B ( k ,  , T )    m   (cA,B  i A,B )k 1  0 1  vF k 0 103~ 4 10  0 Anderson mode N. Phase separation 相分離の条件（normal）: aA2   aB mR2 kF mB mF (Stoof et al.: PRA 2000)