確率･統計Ⅰ

確率･統計Ⅰ
第2回確率変数、確率分布
ここです！
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確率論とは
確率変数、確率分布
確率変数の独立性／確率変数の平均
確率変数の平均（続き）、確率変数の分散
確率変数の共分散、チェビシェフの不等式
ベルヌイ試行と二項分布
二項分布（続き）、幾何分布など
二項分布の近似、ポアソン分布、正規分布
正規分布とその性質
i.i.d.の和と大数の法則
中心極限定理
統計学の基礎1（母集団と標本、確率論との関係）
統計学の基礎2（正規分布を用いた推定・検定）
確率変数、確率分布
1. 数学としての確率論
2. 確率変数
3. 確率分布
数学としての確率論
数学の役割について
たとえば物理学（力学）を例にとると、
物理的現象（力学）と数学
本質の抽出
ニュートンの法則
物体の運動
（物理的仮定）
実験と比較
直観 ×
数学
解
（数学的結論）
証明
微分方程式
（数学モデル）
偶然現象と数学（確率論）
本質の抽出
偶然現象
物体の運動
（硬貨投げな
ど）
実験と比較
ニュートンの法則
表の出る確率は1/2
（物理的仮定）
（偶然の中の法則性）
×
直観 ×
数学
解
定理・結論
（数学的結論）
証明
微分方程式
確率空間
（数学モデル）
確率変数、確率分布
1. 数学としての確率論
2. 確率変数
3. 確率分布
確率変数とは
確率変数の直感的表現
偶然的変動を含む量を確率変数と呼ぶ
種々の値をとる確率が定まる変量を確率変数と呼ぶ
試行（実験・観測・調査等）の結果を表す変数 X のこと
決定論的に定められないすべての未知の変数
問題とする変量がいかなる値をとるか確定的には予測で
きないとき、その不確定変量を確率変数と呼ぶ
確率変数とは
• 変数…いろいろな値をとる文字
例ある物体が動き出してからの時間をｔとする
x＝f(t)
t=1
t=1.5
t=2
…
確率変数とは
• 確率変数…いろいろな値をとる「確率」が定
まっている文字
例
サイコロを10回投げるとき、
1の目が出る回数 X
2の目が出る回数 Y
「値が確定しない」というイメージはよくない。
事象が決まれば、それに対応して値が「定まる」。
確率変数 X がたとえば k という値をとる確率（定まってい
る）を、
P(X=k)
と書く。
P (X
=
k)
↑X が
↑k になる
↑確率
例サイコロを1回投げて出る目の数を X とする
P ( X = 3 ) ＝ 1/6
P ( X=1 または X=4 ) ＝ 2/6 ＝ 1/3
P ( X=1 かつ X=4 ) ＝ 0
P ( 1≦X≦4 ) ＝ 4/6 ＝ 2/3
P ( 0.5≦X≦4.2 ) ＝ 4/6 ＝ 2/3
確率変数、確率分布
1. 数学としての確率論
2. 確率変数
3. 確率分布
確率分布
実際上、確率変数 X についてのいろいろな確率が計算
できるためには、
X
1
確率 1/6
2
1/6
3
1/6
4
1/6
5
1/6
6
1/6
上のように、各 r に対する P(X=r) ＝ f(r) の値がすべて
決まっていればよい。この「決まり方」 f(r) が「確率分布」。
X の値が離散的な場合は、上のような表を「確率分布」と
思ってよい。
※ X の値は離散的とは限らない。
例区間 [0,1] にランダムに針を落とす。
落ちた位置を X とする。
0
X
確率
0
?
0.3
?
0.5
?
0.7
?
0.8
?
1
1
?
これでは不十分。
このように、X のとる値が無限個で、連続的な場合は、
任意の a,b に対して P ( a≦X≦b ) ＝ F(a,b) が定まっていれ
ばよい。
X が連続的な場合、ふつうはその分布は定積分で与えられる：
b
P(a  X  b)   f ( x)dx
f (x)
a
a
b
x
この f (x) のグラフが、前の離散的な場合の分布表と同じ役
割を果たす。
f (x)を確率密度関数という。（ f(x)dx が確率になる）
まとめ
確率分布
離散的確率変数
連続的確率変数
P ( X = r ) ＝ f (r)
P ( X ∈dx ) ＝ f (x) dx
b
P ( a  X  b)   f ( r )
r a
 f (r )  1
r
分布関数
F (x)=P (X≦x )
F ( x)   f ( r )
rx
b
P(a  X  b)   f ( x)dx
a



f ( x)dx  1
x
F ( x)   f ( x)dx

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