確率と統計2009 平成20年1月7日(木) 東京工科大学 亀田弘之 修正版Version 3 復習 2 はじめにデータありき ５ ９ ２ ８ １ ６ １ ２ ４ １ ７ 社会調査や実験の実施 により得られる3 データを全体として眺めるとき， 集団として何らかの性質を持っている． ＝＞統計的性質 この性質（分布の様子）を,例えば， (算術)平均・中央値・モードなどの いわゆる代表値や，分散・標準偏差・ 範囲(range)などで数値的に捕らえた． 定義や計算方法が重要． 統計ソフトの利用も考えよう．4 統計ソフトウェア 参考情報 EXCEL：お手軽？ R：フリーソフトウェア（お勧め？） SPSS：本格的なソフトウェア（有償） SAS：本格的なソフトウェア（有償） GnunPlot・Maximaなども便利 （いろいろと学んでください．） 日本計算機統計学会のページも参考にしてください。 5 http://www.jscs.or.jp/etc/softdata.html 基本的な統計量 平均 中央値 モード 最大値・最小値 範囲 分散 標準偏差 など 6 平均 定義 ： m =(x1 + x2 + ・・・+Xn)÷n 意味：データ群の中心 考え方：データ群の中心で，データ群 を代表させる．（代表値） 特徴：量 T ( x1 m)2 ( x2 m)2 ( xn m)2 の最小値を与える点． （基準点としてふさわしい） 7 中央値 定義：データを大きさの順に並べたときに 中央にくるデータ値． 意味：順序的観点から真ん中辺り． 考え方：順序的観点から中庸を捉えている． 真ん中辺りを代表値とする． 特徴：飛び離れ値に影響されない． 量 T | x1 M | | x2 M | | xn M | の最小値を与える点． 8 モード 定義：度数（出現回数）がもっとも 多いデータ値． 意味：多数派がデータ群を代表する． 考え方：度数の多いもの程重要． 特徴：飛び離れ値に影響されない． 代表値として素直な定義． 9 データの散らばりも大切 分散 標準偏差 範囲 10 範囲（レンジ） 定義：R = 最大値 ー 最小値 考え方：データの存在範囲 （すべてのデータはこの 範囲内にある） 特徴：計算が簡単 （工場などで実用されている） 11 分散 定義： ( x1 m) 2 ( x2 m) 2 ( xn m) 2 n 考え方：「各データの平均mからのずれ」に着 目して，その平方数の平均を求め，データ全体 の散らばりを捉える． 特徴：数学的に取り扱いやすい． 12 標準偏差 定義：分散の平方根（√分散） 考え方：分散をもとに，データと同じ 次元の量にする． 特徴：データに対して，足したり 引いたりすることができる． 13 以上で，得られたデータ群の 特徴をとらえることができる ようになった． 14 さて，… 15 知りたい対象（母集団） 母集団 ４ ３１ ５ １ ６ ７ 16 標本 母集団 ４ ３１ ５ １ ６ ７ ５ １ ３ １ 無作為抽出 17 母集団 ４ ３１ ５ １ ６ ７ 標本 ５ １ ３ １ 統計的分析 18 標本 母集団 ４ ３１ ５ １ ６ ７ ５ １ ３ １ 統計的推論 19 抽出法 無作為抽出法： どのデータも等確率で抽出されるようなサン プリング法．どの単純事象も等確率で取り出 される抽出法．Laplaceの確率の定義参照． 高校で習った確率の定義でOK． 詳しく知りたい人は，社会調査法などの勉強 をしてください．（データは適切に集めなけ れば，分析しても意味がない．サンプル数の 決め方なども重要です．） 20 分析法 統計的推定 統計的検定 この授業では「モデルに基づく分析」 を主に取り扱っているが，近年モデル に基づかない分析法も重要になってい る．（例：データマイニングの分野） 21 統計的推定 点推定 区間推定 信頼区間 信頼限界 興味のある人は，教科書p.136～p.142 を参照のこと． 22 統計的検定 この授業では，まず，これを学んで欲 しいと思っています． （理由：とにかく役に立つから． そして，なれないと結構 難しいから．） 23 仮説検定の考え方 前提： 調査や実験によりある事実Eが得られた． この事実からあることを主張したい． （これを仮説という．） 方法論： モデルを仮定する（仮説設定：帰無仮説H0） その仮説が正しいとして，事実Eの生起確率pを計算 する． pの値が異常に小さければ，仮説H0を棄却する． （誤謬法の考え方） 24 検定の考え方の例 実験：サイコロを600回振ったら，１の目が 180回出た（事実E）． 主張したいこと：１の目が出やすい． 仮説の設定：どの目も等確率で出る． Eの生起確率pの計算： 180 420 181 419 p≒0 1 5 1 5 p 600 C180 600 C181 6 6 6 6 判断：出易い． 182 1 5 600 C182 6 6 418 1 600 C600 6 計算方法と判断の基準の理解が重要 600 5 6 25 0 (重要)確率分布の相互関係図 26 例題（教科書p.163例１） ある市役所ではこれまで数年間銘柄Aの 電球を購入していたが，銘柄Bの電球の 方が価格が安いのでBへの切り替えを考 えている．銘柄Bのセールスマンは自社 の製品が品質においてAの製品と同じで あると主張している．数年間の経験に よれば，製品Aの平均寿命は1180時間 で，標準偏差は90時間であった． 27 製品Bのセールスマンの主張をテストする ため，その銘柄の電球100個を正規販売 店から購入して試験をした．この結果， m=1140,s=80が得られた．電球の品質 の尺度として平均寿命時間を考えると すれば，どう結論すべきか？ 28 問題の整理 事実：製品Bのm=1140,s=80 製品Aのm=1180,s=90 知りたいこと：Bの方が劣っている． 仮説：AとBは品質的に同等． 確率の計算：Bのデータの生起確率pを，平均 μ=1180,分散σ2=90^2の母集団からの抽出と して計算する． 危険率（有意水準）αを設定する． Α＝１０％とする． 29 確率の計算をしてみよう 30 理論的根拠（１） 標本平均の平均mは母平均と等しい． 標本平均の分散σm2は母分散のｎ分の１ 倍．(nは標本の大きさ) つまり， E(m) = μ E(σm2)=σ2/n 31 理論的根拠（２） ｘが平均μ，分散σ2 の任意の分布に従う とき，大きさｎの無作為標本に基づく 標本平均mは，ｎが限りなく大きくな るとき，平均 μ，分散 σ2 /n の正規分布 に近づく． 中心極限の定理 （統計学で１番重要な定理） 教科書p.130 定理２ 32 計算 標本平均の分散： 90/√100 = 9 標準化： Z = (1140 – 1180) / 9 = -40/9 = -4.4 標準正規分布表（教科書p.295 表IV）： Zがー∞～－4.4の範囲の値をとる確率 は，p≒0． 33 判断 確率p≒０ < 0.1 (10%) ． おきにくい事が起きたのではなく，仮 設が間違っていると考えて，仮設を捨 てる． 最終結論：有意水準10％において， 銘柄BはAよりも劣っている． 34 コメント 確率の計算方法を理解するためには， 数学の勉強が必要であるが，検定をす ることが目的の場合，基本的考え方と 手順をしっかりとマスターすればよい． 理論的なものは，必要に応じて，必要 になったものだけを一生かけて勉強し てください． 35 χ2検定 いろんな場面で使えて便利な検定法． （先ほどのサイコロの例を再び取り上 げてみる．） 36 １の目が 出る回数 他の目が 出る回数 実測値A １８０ ４２０ ６００ 理論値B １００ ５００ ６００ (A-B)2/B 64 64/5 合計 ７６．８ 自由度φ= ２－１＝１ 37 χ2 = 76.8 ＞ χ02 = 6.6(有意水準1%) 結論：有意水準１％のもとで，１の目 は出やすい． 手法は異なっても結論は同じ 38 ２つの平均の差の検定 先の電球A，Bの品質の差の問題を再度 取り上げる．これは２つの平均同士に 差があるかどうかの検定と考えること もできる．これを「２つの平均の差の 検定問題」という． 教科書p.172～p.176 39 定理 x1,x2がそれぞれ独立に平均μ1,μ2，標準 偏差σ1,σ2の正規分布に従うとき，変数 x1-x2 は 平均 μ1ーμ2, 標準偏差 σx1-x2 = √(σx12+ σx22) = √(σ12/n1 + σ22/n2) の正規分布に従う． 40 仮説：Aの平均とBの平均とは等しい． 計算： 変数x1-x2は， 平均 = ０ 標準偏差 = √（90*90/100 + 80*80/100） = 12 の正規分布に従う． Z＝(1140-1180)/12=-40/12=-10/3=-3.3 Zがー3.3以下か＋3.3以上になる場合の正規分布曲線 の面積を求めると，表VIより，p≒0 結論：AとBの平均の差は同じではない． 41 コメント 「２つの平均の間に差があるのか？」 はしばしば問題となるので，この検定 方法は役に立つ． ただし今の場合，母分散σ1,σ2が既知で ある．これらが既知でない場合はもう 一工夫が必要となる．（t検定を導入す る必要がある．） 42 練習問題 43 Problem1 さいころを180回投げて、１の目の出る確 率が28回以上、34回以下である確率を 求めよ。 44 ヒント 1. B(n,p)の二項分布は、nが十分大きけれ ば、平均np, 分散np(1-p)の正規分布で 近似できる。 2. N(μ, σ2)の正規分布は、標準化変換 Z = (X – μ)/σ により、標準正規分 N(0, 1)に変換される。 45 Problem2 １つのさいころを120回投げたら以下の ようになった。このさいころは正しく 作られているか？ 有意水準5%で検定 せよ。 目の数 １ 出現回数 １９ ２ ３ ４ ５ ６ 合計 ３１ １７ ２３ １１ １９ 120 46 Problem3 ある町で無作為に選ばれた618名に対し て、とある伝染病の予防接種の効果を 調べたら、以下のようになった。この 予防接種は有効といえるか？有意水準 5%で検定せよ。 罹病 健康 合計 予防接種した ４ ３５４ ３５８ 予防接種せず ９ ２５１ ２６０ １３ ６０５ ６１８ 計 47 Problem4 結婚に対する適応性に関してのアンケ ート調査を行ったら次ページのような 結果が得られた。“学歴”と“結婚に 対する適応性”の間には関係があると いえるか？ ただし、有意水準5%。 学歴 結婚に対する適応性 非常に低い 低い 高い 非常に高い 計 大学卒 １８ 高校卒 １７ 小中学卒 １１ ２９ ２８ １０ ７０ ３０ １１ １１５ ４１ ２０ ２３２ １１６ ５２ 計 ６７ １１１ １７６ ４００ ４６ 48 ヒント I. 理論値 学歴 結婚に対する適応性 非常に低い 低い 高い 非常に高い 計 大学卒 ２７ 高校卒 １３ 小中学卒 ６ ３９ １９ ９ ６４ ３２ １４ １０２ ５１ ２３ ２３２ １１６ ５２ 計 ６７ １１１ １７６ ４００ ４６ II. 自由度φ ＝ (行数 ー 1)× (列数 ー 1) ＝ (3－１)・(4ー1) ＝6 III. 計算値χ2 = 20.7 ＞ χ02 = 12.6 49
© Copyright 2024 ExpyDoc
