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11.確率モデル
• 確率・・・不確実性の経済学や金融やファイナ
ンスで重要
• 密度関数がある場合に期待値を取る計算を
中心に、紹介
確率と確率変数
• 数学的な確率
– どれがおこるかわからないが、少なくとも起こりえ
ることはわかっていて、しかも、どれが、起こるか
わからないという、わからなさについて、完全によ
くわかっている
• 本当に何が起こるかわからないとき確率モデ
ルは適用可能か・・・・・・・???
• ここでは、とにかく確率の計算に慣れる
確率の公理

起こりえること全体の集合
A
P  A
部分集合
確率・・部分集合から実数への関数
P    1
何かは必ず起こる
0  P  A  1
確率は0と1の間
確率の公理(続き)
A  B    P  A  B  P  A  P  B 
AとBが同時に起きないならば、AかBが起こる確
率は、Aが起こる確率とBの起こる確率
j  j, Ai  Aj    P


A

P
A



i
i
i

1
i 1


加算加法的に拡張した形で定義
定義域も困らないように定義(σフィールド )
全体が1になるように正規化していないものも含め測度(measure)
典型的な測度は長さ(ルベーグ測度)
ある公理を仮定すると長さの定義できない集合がある。

確率変数
から実数への関数
X   ,  
実数の行儀のいい集合Bの値を取る確率

P  : X    B

定義できる集合が可測(measurable)
当面は、元の確率空間や確率変数を無視して、
次の分布関数から初めても問題が無い
確率変数の表記
X,x
など文脈による
(累積)分布関数と
P  : X    x  F  x 
確率変数Xがx以下を取る確率
非減少関数
A  B  P  A  P  B
x  y  F  x   P  X 1    x   P  X 1    y   F  y 
limx F  x   1
limx F  x   0
0から1に増加していく
なんらかの数は、実現する
どの数も実現しないことはない
例歪んでいないサイコロの目の分布関数
x 1
0
1

1 x  2
6
2
2 x3

6
3
F  x  
3 x  4
6
4
6 4  x  5

5 5  x  6
6

6 x
1
離散確率変数

pi  0

i 1
pi  1
確率
p1 , p2 ,.... で
実数
x1 , x2 ,....
が起きる
分布関数は
F  x    x  x pi
i
絶対連続確率変数
確率変数Xが実数全体を取る
特定の実数aは取りそうもない
P  X  a  0 がもっともそう
しかし
P  X   a, b  P  X   , b   P  X   , a 
 P  X  b  P  X  a   F  b   F  a   0
となりそう
F  x  が連続微分可能
微分積分学の基本定理
f  x  F ' x
F  b   F  a    f  x dx
b
a
f  x  が連続でない場合も含め
b  a  F  b   F  a    f  x dx
b
a
が成立するとき、分布は、絶対連続で、
f  x
は確率密度関数
確率密度関数
f  x
xが起こる確率ではない。
 f  x  dx aとbの間の値になる確率
b
a
f  x
自体は1を超えることもある
F  x    f  t  dt
x




f  x  dx  1
分布関数の分解
F  x    Fd  x    Fac  x    Fsc  x 
    1
  0,   0,   0
Fd  x  離散分布関数
Fac  x  絶対連続分布関数
Fsc  x  特異連続分布関数
特異連続分布関数は、一次元の応用では、まず出ない
二次元の応用では、それほど特異に見えない例がある
密度関数の例
一様分布
ab
 1

f  x  b  a
 0

x   a, b 
x   a, b 
aとbの間では、同じように起こりやすい
それ以外は起こらない
正規分布
2

x   

1
f  x 
exp  

2


2

2


中心極限定理により、独立のノイズの和は、正規分布に収束
自然界に多く存在
いろいろいい性質を持つ
μ:期待値:σ2:分散
標準正規分布μ=0,σ2=1
 x2 
1
f  x 
exp   
2
 2
一般の密度関数の構成
f  x  0



f  x  dx  1
fは密度関数
g  x

g  x   0, 0   g  x  dx  



g  t  dt
は密度関数
例
1  x 
1
q 1
p 1
0 t 1  t  dt
x
p 1
q 1
は[0,1]の密度関数(ベータ分布)
期待値
サイコロの目の平均
1
1
1
1   2  ...   6  3.5
6
6
6
離散確率分布
確率変数 X


p
x
i
i
i 1
p1 , p2 ,.... で x1 , x2 ,.... を取る
Xの期待値
絶対連続確率分布
f  x
確率変数 X
密度関数

E  X    xf  x  dx
Xの期待値

xとf(x)を掛け合わせて足す
f(x)はxを取る確率ではないので、正確ではない
積分を定義して、説明
期待値の直感的理解
a  x0  x1  ...  xn  b  xi  x  xi1
x0  f  x  dx x1  f  x  dx ...  xn 1 
x1
x2
xn
x0
x1
xn1
  xf  x  dx   xf  x  dx ...  
x1
x2
xn
x0
x1
xn1
xf  x  dx
 x1  f  x  dx x2  f  x  dx ...  xn 

xi1
xi
f  x  dx
x1
x2
xn
x0
x1
xn1
f  x  dx
f  x  dx  P  X   xi , xi 1 
なので刻みが細かければ、一番上も一番下も平均のいい近似
真ん中は

b
a
xf  x  dx
期待値の存在しない例
ルベーグ積分は、正の関数について定義され、符
号の変わる関数については、正の部分の積分か
ら、負の部分の絶対値の積分を引く



xf  x  dx  lima  xf  x  dx  limb  xf   x  dx
a
b
0
0
両方が有限のとき期待値が存在
f  x 
1

x
1
1
 1  x2
積分すると1(コーシー分布の密度関数)
1
11
2
dx

ln
1

x


2
1 x
 2
lima  xf  x  dx  limb  xf   x  dx  
a
b
0
0
関数の期待値
E u  X  
離散分布
u(X)の期待値
E u  X     i 1 pi u  xi 
絶対連続分布


E u  X    u  x  f  x dx

例期待効用
1
1
1
で 2, で 4,......, n , . . . で 2nをとる確率変数
2
4
2
 1
E  X    i 1 n 2n  1  1  ...  
2
コインをn回降って初めて表が出ると2n円もらえる賭けの
期待値が無限大・・セント・ペテルスブルグのパラドックス
X
ある種の合理性を持つ人の確率変数に対する選好は、
ある効用関数の期待値(期待効用)の大小と同じ(フォン・
ノイマン=モルゲンシュテルン効用関数)
E u  X     i 1 u  n 2n  u  a 

この人は、確実にa円もらえるのと、セント・ペテルスブル
グのかけをするのが同等・・・確実性等価額
Jensenの不等式
u(x)が凹(凸)
   0,1  u   x  1    y      u  x   1    u  y 
u " x      0
E u  X       u  E  X  
効用関数が凹なら賭け
より、確実に期待値がも
らえたほうがいい
危険回避的
期待値の線形性
f  x
密度関数
E  u  X    v  X      u  x    v  x   f  x  dx
   u  x  f  x  dx    v  x  f  x  dx
帰納法により
  E u  X    E v  X 
n
n


E i 1iui  X   i 1i E ui  X 


分散
E X   
期待値(平均値)
X  
2
が小さい(大きい)値を取る確率が高い
分布がばらついている
E  X        x    f  x dx


2
2
分散
2
  E  X    
が大きいとき分布がばらついている
実際のデータから計算する記述統計的の
分散や、推測統計学での分散の推定値と
混乱しないこと

標準偏差

分散(つづき)
2

E  X      E  X 2  2 X   2 


 E  X 2   2 E  X    2
 E  X 2   2 2   2
同様に

 E  X 2    2

2
2
2




E u  X   E u  X  
 E u  X   E u  X  




二次元と多次元の確率変数
• ファイナンスのポートフォリオ問題で各株の価
格や収益を確率変数とすると、いくつかの確
率変数を同時に扱う問題が出てくる
• びっくりしないように、絶対連続な場合につい
て、最小の議論をする。
同時密度関数
X ,Y
確率変数のペア
F  x, y   Pr  X  x, Y  x 同時分布関数
 2 F  x, y 
f  x, y  
xy
同時密度関数
二次元の領域Bに対して
P  X  B   
 x , y B
f  x, y dxdy この場合が絶対連続
密度関数の3次元グラフの領域の下の面積が確率
期待値
u  X , Y  の期待値(関数u(x,y)に確率変数を入れる)
E u  X , Y    


b
b'
a
a'




u  x, y  f  x, y  dxdy

u  x, y  f  x, y  dx dy
の表記でどちらの積分が先かは
文脈による
  u  x, y  f  x, y  dx dy    u  x, y  dy f  x, y  dx
b
b'
b'
b
a
a'
a'
a
は、非常に一般的な条件で成り立つ
X の期待値
E u  X , Y    
EX   

u  x, y   x


 

 x







u  x, y  f  x, y  dx dy
xf  x, y dxdy




f  x, y dy dx

  xf x  x  dx


f x  x    f  x, y dy Xの周辺密度関数

(Xだけ考えたときの密度関数)
同様に

E Y    yf y  y  dy


f y  y    f  x, y dx Yの周辺密度関数

独立と条件付確率
XとYが独立
f y  y  f x  x   f  x, y 
f  x, y  Xが与えられたときのYの条件付密度関数
f  y x 
fx  x
Xが特定の値をとったとき、 Yがどんなふ
うにばらついているかを示す
yについて積分




f  y x dy 


f  x, y dy
fx  x
fx  x

1
fx  x
f  x, y 
f  y x 
fx  x
XとYが独立
f y  y  f x  x   f  x, y 
f  x, y  f y  y  f x  x 
f  y x 

 fy  y
fx  x
fx  x
条件付密度と周辺密度が同じ
Xのとる値がYのばらつきぐあいに影響
を与えない
Xのとる値がYの情報を持たない
条件付期待値
u  X , Y  のXの値が与えられたときの条件付期待値
E u  X , Y  X  x    u  x, y  f  y x  dy
u  x, y  f  x, y  dy


fx  x
yは消えてxの関数になる。
Xについて期待値を取る。
EX
u  x, y  f  x, y  dy

 E u  X , Y  X    
f  x dx
f x
 
   u  x, y  f  x, y  dydx  E u  X , Y  
x
x
もとの期待値になる(繰り返し期待値の法則)
共分散と相関係数
 X  E  X  Y  E Y 
XとYがともに平均より大きいか小さいときに正
片方平均より大きく他方が平均より小さいとき負
共分散
Cov  X , Y   E  X  E  X  Y  E Y 
XとYが同じように動きやすいとき正、逆に動きや
すいとき負
Cov  X , Y   E  X  E  X  Y  E Y 
共分散が正の密度
関数のレベル曲線の
例
共分散
共分散が負の密度
関数のレベル曲線の
例
Cov  X , Y   E  X  E  X  Y  E Y 
共分散
二変数の期待値についての線形性
期待値は、確率変数でなく定数であることに注意
 E  XY  XE Y   E  X Y  E Y  E  X 
 E  XY   E  X  E Y   E  X  E Y   E Y  E  X 
 E  XY   E  X  E Y 
E[X], E[Y]のどちらが0ならCov (X, Y)= E[XY]
相関係数
コーシー・シュワルツの不等式
E  XY   E  X 2  E Y 2 
2
E u  X  v Y    E u  X   E v Y 
2
2
2
2
2



E  X  E  X  Y  E Y   E  X  E  X  E Y  E Y  

 

2
1 
E  X  E  X  Y  E Y 
E  X  E  X   E Y  E Y  

 

2
2
1
相関係数
1 
E  X  E  X  Y  E Y 
相関係数
1
2
2



E  X  E  X  E Y  E Y  

 

1と－1の間
相関係数が1⇔必ず正の傾きの直線にのる
相関係数が－1⇔必ず負の傾きの直線にのる
XとYが独立⇒ u(X)とv(Y)の相関係数は0
E u  X  v Y    


 u  x  v  y  f  x, y  dxdy
   u  x  v  y  f  x  f  y  dxdy
 


 




x
 
u  x  f x  x  dx
y



v  y  f y  y  dy
XとYの相関係数は0でも独立とは限らない
相関係数は0だが独立でない分布の密度関数の
レベル曲線の例
多変数の密度関数
X1,..., X n
n次元の確率変数
絶対連続のときは、同時密度関数
f  x1,..., xn 
1
 2  
n
2
を使って期待値、分散、条件付
期待値などを計算できる。
  x  μ T  1  x  μ  
exp  



2


n次元正規分布(多変量正規分布)の密度関数
μ

平均ベクトル
分散共分散行列(非負定符号)
例ポートフォリオ選択
I
持っているお金・・二つの株に投資するか預金する
1円の1年後の金額投資額
Ia1 a2
預金 1+r 確実な額
a1
株1 X1 確率変数
a2
株2 X2 確率変数
このときの1年後の価値
a1 X 1  a2 X 2   I  a1  a2 1  r 
 1  r  I  a1  X 1  1  r    a2  X 2  1  r  
Y
 a1Z1
 a2 Z 2
Y  a1Z1  a2 Z2
期待値
分散
M  Y  a1E  Z1   a2 E Z2 


2

S  E Y  a1Z1  a2 Z 2   Y  a1 E  Z1   a2 E  Z 2  


2


2

 E a1  Z1  E  Z1   a2  X 2  E  Z 2  


2
2
2
2

 E a1  Z1  E  Z1   2a1a2  Z1  E  Z1   Z 2  E  Z 2   a2  Z 2  E  Z 2  


2
 a12 E  Z1  E  Z1    2a1a2 E  Z1  E  Z1   Z 2  E  Z 2  


2
2

 a2 E  Z 2  E  Z 2  


 a12Var  Z1   2a1a2Cov  Z1 , Z t   a2 2Var  Z 2 
投資家の効用
1
2
u M , S   M   S
2
期待値は大きいほうがいいが、分散は
小さいほうがいい
 0
大きいほどリスクが嫌い
投資家の行動
1
2
max a1 ,a2 u  M , S   M   S
2
M  Y  a1E  Z1   a2 E  Z2   Y  a11  a2 2
2
S 2  E Y  a1Z1  a2 Z 2   Y  a11  a2 2  


2

 E a1  Z1  1   a2  Z 2  2  


2
2
2
2

 E a1  Z1  1   2a1a2  Z1  1  Z 2  2   a2  Z 2  2  


2
2
2



 a1 E  Z1  1   2a1a2 E  Z1  1  Z 2  2    a2 E  Z 2  2  




 a12Var  Z1   2a1a2Cov  Z1 , Z 2   a2 2Var  Z 2 
2
 a12 12  2a1a2  1 2  a2 2 2 2
Y  a11  a2 2
1
  a12 12  2a1a2  1 2  a2 2 2 2 
2
a1とa2 で微分して0と置く
1   a112  a2 1 2   0
2   a2 2  a11 2   0
2
1   a   a2 1 2   0
2
1 1
2   a2 22  a11 2   0
a1とa2 について解く
1 1 2 2  2  1 2
a1 
  12 2 2 1   2 
1 2 12  1 1 2
a2  a1 

  12 2 2 1   2 
1
分母は正(相関係数の絶対値は1以下)
1 1 2  2  1 2
a1 
  12 2 2 1   2 
2
1 2 1  1 1 2
a2  a1 
2
2
2

  1  2 1   
1
2
a1 1 2  2 1 2

2
a2 21  11 2
2
二つの株の相対比率は、βに依存しない
株の混ぜ合わせ方は同じで、 βの大きい
人は預金を小さい人は株を持つ
すべて株1に投資したとき a1  I , a2  0
平均
M1  Y  a11  a22  Y  I 1
分散
S12  a1212  2a1a2 1 2  a22 22  12 I 2
すべて株2に投資したとき a1  0, a2  1
平均 M 2  Y  I 2
標準偏差
S2   2 I
全資産を株1にα株2に1－αの割合で投資したとき
a1   I , a2  1    I
平均
M  Y  a1E  Z1   a2 E  Z 2 
  Y  I 1   1   Y  I 2     M 1  1    M 2
分散
S   S1  1    S2 
2

2

    2 1     1 2  1     2 I   1  1     2  I 2
2
2
1
 2 1   1     1 2  0
2
2
2
2
M, S
平均
 M1, S1 
 M , S 
 M  1    M , S  1    S 
1
1
 M 2 , S2 
標準偏差
安全資産
1
2

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