線形代数学４．行列式吉村裕一 4.1 面積、体積(1) 2 平面 R 上の二点A,Bをとるとき、座標原点Oと結ぶ線分OA、OBの位置ベクトルを以下のように表す。  a1  OA  a    a2   b1  OB  b    b2  今Sの面積を a, b の関数と考え、 a1 b1 a b  a2 b2 と表し、以下のような性質を持つ (ⅰ) a b   a b (ⅱ)任意のλに対して  a b  a b   a b (ⅲ) a  c (ⅳ) b  a b  c b, a b c  a b  a c 1  0  e1    , e 2   に対し 0  1  e1 e 2  1 4.1 面積、体積(2) 行列式の表し方 b  任意の a   1  b   1  に対し b2  a2  a a  a1e1  a2e2 , b  b1e1  b2e2 であるので a b  a1e1  a2e 2  a1b1 e1 e1 e1   e1 e1 e1 e2   e2 e1  1 b1e1  b2e 2 e1  a1b2 e1 e 2  a2b1 e 2 e1  a2b2 e 2 e2  a1b2  a2b1 よって a1 b1 a2 b2  a1b2  a2b1 と求まる。３次の行列式についても同様にして求めることができる。 4.2 行列式（1）・行列式の定義 n次正方行列Aに対する行列式を次のように定義する a11  a1n det A  a21  a2 n  a1  a 2  an an1  ann この行列式は次の性質をみたす関数として定義する１ (交代性)任意のi≠jに対し２ (多重線形性)任意のiに対し a1  a i  a j  a n   a1  a j  a i  a n a1  ai  bi  an   a1  ai  an   a1  bi  an ３ (単位の定義)単位行列Iに対し det I  1 4.2 行列式（2）主な定理 (ⅰ) n個の列ベクトルのどれか２つが等しければ、行列式は０である。 n (ⅱ) λをスカラーとするとき det(A)   det A ai  a jでお (ⅲ) 任意のスカラーλと任意のi≠jに対し aを i きかえても行列式の値は変わらない。 (ⅳ)ｎ次行列式はAの関数として唯１つ存在しその形は 1 2  n ai11ai2 2  ain n det A   sgn  i i  i ( i1in ) n 1 2 (ⅴ) dett A  det A 備考 1 2  n  は(1 sgn   i1 i2  in  2 ･･･ n)をi 1 i2  in  に並べ替えるのに必要なだけ(－１)のべきを作ったもの例： 1 2   1 2 0 1         sgn    1  1 sgn   1  1   2 1 1 2      1 2 3    13  1　sgn   3 2 1 4.2 行列式（3） (ⅵ) n個のn次元ベクトルa1 ,  行列式の定義の条件のうち , an の関数 f a1 ,  , an  が１ (交代性)任意のI≠jに対し f a1 ,  , ai ,  , aj ,  , an    f a1 ,  , aj ,  , ai ,  , an  ２ (多重線形性)任意のIに対し f a1 ,  , ai  bi ,  , an   f a1 ,  , ai ,  , an   f a1 ,  , bi ,  , an  をみたしているとき、 f a1 ,  , an   det a1  an  f e1 ,  , en  が成立する。 4.2 行列式（3）サラスの方法 4.3 行列式とその性質(１) 余因子定義：行列式detAにおいてaij を交差点とする行ベクトルと列ベクトルを除いて作る小行列を a11  a1 j  a1n  ain  ann  Dij  ai1  aij 赤枠部分を除いて作った行列   anj とし、それに（i,j)に対応する符号(1) i j an1 をかけたものを Δij  (1)i  j Dij とおき、detAの（i,j)-余因子（または余因数）といいこれを用いてdetAを以下のように表せる。 det A  ai1Δi1  ai 2Δi 2   ainΔin (i  1,, n) det A  a1 j Δ1 j  a2 j Δ2 j   anj Δnj ( j  1,, n) 4.3 行列式とその性質(2) 余因子を並べて作った行列を   adjA Δij とおき、Aの余因子行列という。また、detA≠0ならAは正則であり、逆行列 A 1 を次のように表すことができる。 A 1  1 t adj A  det A また、連立一次方程式  a11 a  21    an1  a1n   x1   b1   a2 n                     ann   xn  bn  において、係数行列Aの行列式が0でないならば解xは以下の式より求まる。 xi  det a1  a i 1 b a i 1  a n  (i  1,, n) det A a1 , , an ：Aの列ベクトル b b1,, bn  t 4.4 行列の積と行列式(1) 定理 (1) ２つのn次正方行列A、Bに対し detAB  det A  det B (2) Aが正則ならdetA≠0 (3) Aを(m,n)-行列､Bを(n,m)-行列としたとき(m,m)-行列AB の行列式は (i) m>nならば det(AB)=0 (ii) m<nならば det(AB)=  Al1 ,, lm Bl1 ,, lm  l1 lm 4.4 行列の積と行列式(2) グラムの行列式 m個のｎ次元ベクトルa1 ,  , amにたいして次の行列式をグラムの行列式という。  a1 t a1  a1 t a m       t t a m  a1  a m  a m    a1 ,  , am が一次独立であるためにはグラム行列式が0でなければいけない。宿題 1．次の行列式を計算せよ。 2 1 1 1 2 1 (i ) 1 1 2 1 1 1 1 2 1 3  2 1 1 7 1 1 (ii) 1 3 5 5 3 2 4  3 2 1 2．次の行列は正則かどうか調べ正則であるならば逆行列を調べよ。  3 1 2   A  3 2 1  4 2 3   3．行列式を用いて次の方程式を解け  x  2y  z  6  3x  4 y  2 z  19  4 x  2 y  3z  5 