No.5

5.5.2
行列式の余因子展開
n 次正方行列 A = (aij ) に対し，

大きな行列式の計算を，小さな行列式の計算に帰着させる方法を説明する．
n 次正方行列 A = (aij ) の第 i 行と第 j 列を取り除いて出来る n − 1 次正方行列 A(i,j) の行列
式に (−1)i+j を掛けたものを A の (i, j) 余因子といい，∆ij で表す：
∆11

∆12

e = t(∆ij ) = (∆ji ) =  .
A
 .
 .
∆21
∆22
..
.
...
...
..
.

∆n1

∆n2 
.. 

. 
∆1n
∆2n
...
∆nn
∆ij = (−1)i+j det A(i,j) .
を A の余因子行列という．通常とは添え字の付き方が逆であることに注意せよ．このとき余因子
これは行列 A の第 j 列を基本ベクトル ei で置き換えた行列の行列式に他ならない：
j
↓
A = (a1 , . . . , aj , . . . , an )
展開の公式より，
e = AA
e = (det A)In
AA
j
⇒
↓
∆ij = det(a1 , . . . , ei , . . . , an ).
が成り立つことがわかる．よって余因子による逆行列の公式が得られた．
このことを念頭に置けば，行列 A の第 j 列ベクトル aj を aj = a1j e1 + · · · + anj en と書き直
定理 5.5.4 (逆行列の余因子による表示) (1) 正方行列 A が正則であるための必要十分条件は
し，行列式の性質 (D1)–(D3) を用いて det A = det(a1 , . . . , aj , . . . , an ) を分解することにより，次
det A ̸= 0 が成り立つことである．
の公式が成り立つことがわかる．
(2) det A ̸= 0 ならば，A の逆行列は
定理 5.5.2 (行列式の余因子展開) j = 1, 2, . . . , n に対し，
A−1 =
det A = a1j ∆1j + a2j ∆2j + · · · + anj ∆nj
1 e
A
det A
によって与えられる．
が成り立つ．これを det A の第 j 列に関する余因子展開という．同様にして第 i 行に関する余因
子展開
5.6
det A = ai1 ∆i1 + ai2 ∆i2 + · · · + ain ∆in
(i = 1, 2, . . . , n) も成り立つ．
5.6.1
j
l
↓
列を第 j 列で置き換えた行列には平行な列があるので，その行列式 det(a1 , . . . , aj , . . . , aj , . . . , an )
定理 5.6.1 (行列式による線形独立性の判定) ベクトルの組 a1 , . . . , an ∈ Rn が線形独立であるこ
は 0 である（性質 (D6)）．これを先ほどと同様にして，第 l 列について分解すれば次の公式を得る．
とと，det(a1 , . . . , an ) ̸= 0 となることは同値である．
(
しかし，m > n のとき，a1 , . . . , an ∈ Rm を連結させた行列 A = a1
)
. . . an は m × n 行
列であるので，その行列式を考えることはできない．このとき A から n 個の行ベクトルを選び出
して連結させれば n 次正方行列となるので，その行列式を考えることができる．このような行列
( )
式は m
n 個あるが，その中に 0 で無いものがあることと，a1 , . . . , an が線形独立であることが同
定理 5.5.3 j ̸= l ならば，
0 = a1j ∆1l + a2j ∆2l + · · · + anj ∆nl
が成り立つ．行に関しても同様にして，i ̸= k ならば，
値となることが証明できる．
0 = ai1 ∆k1 + ai2 ∆k2 + · · · + ain ∆kn .
この結果を使うと，行列式による階数の特徴付けができる．この講義では，行列
A に基本変形
(
)
Ir ∗
を施し，
となったとき，左上に最大限大きく作った単位行列のサイズ r を行列 A の階
O O
数と定めた．一方，前期の講義で，行列 A の線形独立な行ベクトルの最大数と，線形独立な列ベ
が成り立つ．
5.5.3
線形独立性，階数と行列式
Rn の n 個のベクトル a1 , . . . , an の線形独立性は行列式で判定できる．
今の議論では det A = det(a1 , . . . , aj , . . . , an ) を第 j 列について分解することを行った．A の第 l
↓
行列式の応用
逆行列の公式
クトルの最大数は等しく，それが A の階数である，という事実を説明した．こちらを階数の定義
に採用することも多い．
今示した 4 個の公式から，余因子を用いて逆行列の計算ができることがわかる．
今，m × n 行列 A から r 個 (r ≤ m, n) の行と列を選び出して作られる r 次正方行列の行列式
( ) (n)
を A の r 次小行列式という．このようなものは m
r × r 個ある．先ほどの考察により，A の列
33
練習問題 18
ベクトルの中に，r 個の線形独立なベクトルが存在し，しかも r + 1 個の線形独立なベクトルが存
在しないことと，A の r 次小行列式の中に 0 でないものが存在し，しかも r + 1 次小行列式が全
レポート提出は 18-1., 18-2. だけでよい．
て 0 となることは同値である．以上により，次の結果が得られた．
18-1. 次の行列式を計算せよ．(1), (3) は因数分解した形で答えること．
2 1 0 1
a + b + c
−c
−b 1
2
3
0
(1) −c
(2) a+b+c
−a 0 1 2 1
−b
−a
a+b+c
3 0 1 2
a
x 1 1 1 b
a
b
1 x 1 1
a
−b
(4) (3) a −b a
1 1 x 1
−b a
1 1 1 x
b
1
1
1
1 a
b
c
d
(5) c
d
a b
c + d d + a a + b b + c
定理 5.6.2 (小行列式による階数の特徴付け) 行列 A の 0 ではない小行列式の最大次数は A の階
数に等しい．
5.6.2
線形変換と行列式
この講義では，正方行列の列ベクトルのなす平行体の『符号付き面積・体積』の考察から行列式
を導入した．ここでは正方行列 A より定まる線形変換
f (x) = Ax
(5.4)
と行列式の関係を考える．
簡単のため，A を２次正方行列とし，v 1 , v 2 ∈ R2 の張る平行四辺形 D = {sv 1 +tv 2 | 0 ≤ s, t ≤ 1}
を考える．線形変換 (5.4) によるこの平行四辺形の像 f (D) = {sAv 1 + tAv 2 | 0 ≤ s, t ≤ 1} は平行
四辺形（または線分，一点）なので，その符号付き面積は
det(Av 1 , Av 2 ) = det(A(v 1 , v 2 )) = det A × det(v 1 , v 2 )

よる面積拡大率である．３次以上の場合も同様である．また，一般の図形についても，小さな平行
四辺形の和集合で近似して極限をとれば，同様の結果が成り立つことがわかる．
Ax
(x ∈ Rn )
4
4
3
−9

18-2. 余因子行列を計算することにより，行列 −1
であるが，det(v 1 , v 2 ) は元の平行四辺形 D の符号付き面積である．よって | det A| はこの変換に
命題 5.6.3 (線形変換による体積拡大率) n 次正方行列 A より定まる Rn 上の線形変換
−2

3
1

18-3. 小行列式を計算することにより，行列 −2 2
4 4
f (x) =
によって，図形の（n 次元）体積は | det A| 倍される．
1
2
−b
a b a


0  の逆行列を求めよ．
−1


−1 の階数を求めよ．
3
18-4. 楕円は，適当な線形変換による円の像である．半径 r の円の面積が πr2 であることを既知と
x2
y2
して，楕円 2 + 2 = 1 (a, b > 0) の面積を求めよ．
a
b
34

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