No.4

5.4
行列式の性質 (2)
この公式は，特別な形の行列式の計算を，小さな行列式の計算に帰着できることを主張しているが，
特に重要なのは，q = 1 のときである．このとき
前回の講義で，行列式の成分表示と，行列式と似た性質を持つ関数の形を見た．復習としてここ
a11
0
..
.
0
に書いておく．
n 次正方行列 A = (aij ) の行列式は
det A =
∑
sgnσ aσ(1),1 · · · aσ(n),n
σ∈Sn
と表される．
a12
a22
..
.
an2
...
...
..
.
a1n
a11
a2n
a21
.. = ..
.
.
ann
an1
...
0
a22
..
.
an2
...
...
..
.
...
0
a22
a2n
.
.. = a11 ..
.
an2
ann
...
..
.
a2n
..
.
...
ann
が成り立つ．
行列式の性質 (D1) – (D3) を満たすような関数 F (a1 , . . . , an ) は
F (a1 , . . . , an ) = det(a1 , . . . , an )F (e1 , . . . , en )
5.5
と表される．
5.5.1
今回は，これらの公式を用いて，行列式の様々な性質を解説する．
行列式の余因子展開とクラメルの公式
クラメルの公式
(
n 次正方行列 A = a1
まず，転置行列の行列式について述べる．行列 A = (aij ) の転置行列 tA とは，行と列，つまり
...
)
an を係数行列とする連立 1 次方程式
縦と横を逆にした行列 (aji ) のことであった．

定理 5.4.1 (転置行列の行列式) 転置によって行列式は不変である：
det(tA) = det A

x1
 . 
. 
b ∈ Rn , x = 
 . 
xn
Ax = b,
転置は行と列の役割を入れ替えるので，この定理から次のことがわかる．
を考える．A に逆行列が存在すれば，この方程式はただ一つの解 x = A−1 b を持つが，この解を
命題 5.4.2 行列の性質 (D1) – (D3), (D5) – (D7) は，列のみならず行に関しても成り立つ．
行列式で書くことが出来る．
積の行列式については，次が成り立つ．
定理 5.5.1 (クラメルの公式) A が正則なら，連立 1 次方程式 (5.3) の解は
定理 5.4.3 (積の行列式) サイズの等しい二つの正方行列 A, B の積の行列式は，それらの行列式
j
の積である：
↓
det(AB) = (det A)(det B)
xj =
これを使えば，逆行列の行列式がどうなるかがすぐにわかる．
と表される．
系 5.4.4 (逆行列の行列式) 正方行列 A が正則，つまり逆行列を持つなら det A ̸= 0 であり，
det(A−1 ) =
1
det A
が成り立つ．
もう一つ，先ほどの公式を使うと簡単に証明できる公式を述べておく．
命題 5.4.5 A, B をそれぞれ p, q 次の正方行列とし，X, Y をそれぞれ p × q, q × p 行列とした
とき，
(
A
det
O
X
B
)
(
= (det A)(det B),
A
det
Y
O
B
(5.3)
)
= (det A)(det B)
が成り立つ．
32
det(a1 , . . . , b, . . . , an )
det A
(j = 1, 2, . . . , n)
練習問題 17
17-1. 次の行列の行列式を求めよ．
(
(1)
3 5
2 4
)(
)
5 −3
−7 4
(
1
2
(2)
2
3

)2014
(3)
3

−1

3
−1
−2 4

1 2
−3 1
17-2. 次の行列式を計算せよ．
(1)
1
2
2
0
0
3
0
0
4
1
5
7
8
−5 4
3 −2
(2)
−1
2
0
1
1
a
a2
0
3 1 1
−1 4 1
1 2 3
0
a2
a
1
0
a2
a
1
0
a2
a
1
1
0
(3)
17-3. クラメルの公式を用いて次の連立 1 次方程式の解を求めよ．但し a, b, c, d は，互いに相異な
る 0 ではない数とする．




2x + y + z = 1
 ax + by + cz = d
(1)
(2)
x + 2y + z = 0
a2 x + b2 y + c2 z = d2



 3
x + y + 2z = 0
a x + b3 y + c3 z = d3
33

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