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１０．固有値とその応用
1
固有値と固有ベクトル
2
行列による写像から固有ベクトルへ
m ´ n 行列 A によって線形写像
m ´
n
f A : Rn  Rm
が表せることを見てきた。ここでは、２次元平面の行列に
よる写像を調べる。
2 1
2
2
A

f
:
R

R
とし、写像 A
を考える。
1 2 
A
まず、単位ベクトルの像を求める。
u   2 1   x 
 v   1 2  y 
  
 
u1   2 1  1   2 u2   2 1  0   1 
 v   1 2  0   1  ,  v    1 2  1    2 
   
     2 
 1 
3
y
2 1
A

1 2 
v
f A : R2  R2
u
u
x
この事から、線形写像の性質を用いると、
次の格子上の点全ての写像先が求まる。
4
y
2 1
A

1 2 
v
f A : R2  R2
u
x

 b1, b2
このように、写像 f A によって、基底 Ae1, Ae2 
の座標系が得られる。この座標系の事を、斜交座標系と
呼ぶこともある。
ここで、これらの写像を重ねてみる。
5
y
v
このように、ほとんど
のベクトルは、
写像後に方向を変える。
u
x
6
行列 A に対して、変換後もベクトルの方向を変えない
ものがある。そのようなベクトルを行列 A に対する
固有ベクトルと言う。（正確な定義は後で与える。）
例えば、下の計算からわかるように、
1
 2 1  に対しては、   1 等が固有ベクトルである。
 1  
A

  1
1 2 
 2 1   1   2  1  1 
1 2  1  1  2   1

  
  
2 1  1 2  1 3
1 2 1  1  2  3

  
  
7
y
v
2 1
A

1 2 
に対して、
u
1
 1
  は写像元と
写像先が同一。
x
8
y
v
2 1
A

1
2

 に対して、
1
1
  は写像元と
写像先が同じ方向。
u
x
この場合は３倍
だけ変化する。
この倍率のことを
固有値という。
9
固有関係式
ここでは、行列 A に対して固有ベクトル
すべき関係を示す。
ベクトルの方向が
等しいことを意味する。
x0
が満た
固有値には、
慣用的に  の
文字が用いられる。
Ax   x
行列 A による
ベクトルの写像
ベクトルのスカラー倍
ここで、  はスカラーであり、固有値と呼ばれる。
この式が、固有値と固有ベクトルにおける
一番重要な関係式である。この関係式を本講義では、
固有関係式と呼ぶ。
10
線形写像に対する固有値、固有ベクトル
定義（線形写像に対する固有値、固有ベクトル）
線形空間 V から V 自身への線形写像を
f : V  V とする。
スカラー  に対して固有関係式、
f ( x)   x
を満たす 0 でないベクトル x V があるとき、
スカラー  は写像 f の固有値であるといい、
ベクトル x は固有値  に属する（写像 f の）
固有ベクトルという。
１．零ベクトル 0 は任意のスカラー  に対して、
固有関係式をみたすが、固有ベクトルではない。
２．固有値は、一般には複数あるが、dimV 個以下である。
３．一つの固有値に属する固有ベクトルは１つとは限らない。
11
行列に対する固有値と、固有ベクトル
 次正方行列 Α は、線形写像 f A : R  R
を定めてい
た。ここで、線形写像 f に対する固有値と固有ベクトルと同様
に、行列に対する固有値と固有ベクトルを定める。
n
n
定義（行列に対する固有値、固有ベクトル）
n  nの正方行列を A とする。
スカラー
 （実数または複素数）に対して、
Ax   x
固有関係式
を満たす 0 でないベクトル x  R n があるとき、
スカラー は行列 A の固有値であるといい、
ベクトル x は固有値  に属する（行列 A の）
固有ベクトルという。
正方行列に対してしか、固有値や固有ベクトル
は定義されないので注意すること。
12
固有空間
13
固有ベクトルから固有空間へ１
2 1
A
の固有値に 

1 2 
1
がある。
1
を満たすベクトルとしては、  1
Ax  1x
2
 1
 2  や   等がある。
 
1
y
v
の他にも、
実は、１次元空間（直線上）の
全てのベクトルが固有ベクト
ルになる。
y
u
x
v
u
x
14
固有ベクトルから固有空間へ２
2 1
A

1
2


とし、   3 とする。
1
Ax  3 x を満たすベクトルとしては、 1
2
 1
 2  や  1 等がある。
  y 
v
の他にも、
実は、１次元空間（直線上）の
全てのベクトルが固有ベクト
ルになる。
y
u
x
v
u
x
15
固有空間
定義（線形写像の固有空間）
 が線形写像 f : V  V の固有値であるとき、
V  {x V | f ( x)   x}
を写像 f の固有値  の固有空間という。
言い換えると、固有空間 V は  の固有値
に属する固有ベクトル全体に零ベクトル
えた集合のことである。
0 を加
16
行列の固有空間
定義（行列の固有空間）
n 次正方行列 A の固有値を
 とするとき、
n
V  {x  C | Ax   x}
を行列 A の固有値 の固有空間という。
言い換えると、固有空間 V は  の固有値
に属する固有ベクトル全体に零ベクトル 0 を加
えた集合のことである。
例 A  2 1
1 2 


間
V1
の固有値 l 1 = 1, l 2 = 3
V2 は、次のようになる。
に対する固有空
 1
 V  k 1 | k  R 

V1  k   | k  R  2  1
 

  1

17
固有空間の性質
（固有空間の性質）
線形写像 f : V  V の固有値 
は V の部分空間である。
の固有空間 V
証明略
18
固有ベクトルの一次独立性
（固有ベクトルの一次独立性）
線形写像 f : V  V の相異なる固有値 l 1, l 2, L , l r
に対して、各固有値 l i に属する固有ベクトルを x i と
する。このとき、 {x , x , L , x }は一次独立である。
1
2
r
証明
固有値の数
r
に関する帰納法で示す。
基礎 r = 1
このときには、
のとき。
x1 ¹ 0
であるから命題が成り立つ。
19
帰納
r > 1 とする。
r - 1 個の固有ベクトル
{x 1, x 2, L , x r - 1} が一次独立と
仮定する。（帰納法の仮定）
k1x 1 + k2x 2 + L + kr x r = 0
L (1)
とおいて、係数の組 {k1, k2, L , kr } を調べる。
線形性と固有値の定義より、
f (k1x 1 + k2x 2 + L + kr x r ) = f (k1x 1 ) + f (k2x 2 ) + L + f (kr x r )
= k1 f (x 1 ) + k2 f (x 2 ) + L + kr f (x )
= k1l 1x 1 + k2l 2x 2 + L + kr l r x r
また線形性より、
f (0 ) = 0
20
よって、（１）の両辺に線形写像 f
を適用すると、次式が得られる。
k1l 1x 1 + k2l 2x 2 + L + kr l r x r = 0
L (2)
一方、（１）によって得られる式
kr x r = - k1x 1 - k2x 2 - L - kr - 1x r - 1
L (1)'
を（２）に代入する。
k1 (l 1 - l r )x 1 + k2 (l 2 - l r )x 2 + L + kr - 1 (l r - 1 - l r )x r - 1 = 0
帰納法の仮定より、 {x 1, x 2, L , x r - 1}は一次独立なので、
k1 (l 1 - l r ) = k2 (l 2 - l r ) = L = kr - 1 (l r - 1 - l r ) = 0
また、 l 1, l
, L , l r は相異なるスカラーであったので、
li - lr ¹ 0
2
よって、
k1 = k2 = L = kr - 1 = 0
L (3)
21
よって、 (1) ' より
kr x r = 0
\ kr = 0
(Q x r ¹ 0 )
以上より、（３）と合わせて、
k1 = k2 = L = kr = 0
であり、 {x 1, x 2, L , x r } は一次独立。
QED
22
固有値の求め方
23
固有値の求め方（重要）
ここでは、固有値の求め方を示す。なお、固有ベクトルは、固
有値を求めた後で求められる。固有値を求めるためには、固
有多項式と固有方程式の概念が重要である。
固有多項式の定義を与える前に、慣用的な単位ベ
クトルの表記を与える。（主に工学系では、Iを用いる。）
n
（単位行列）
次元の単位行列は、
é1
ê
ê
ê
I = ê
ê
ê
êO
êë
Où
ú
ú
1
ú
ú
O
ú
ú
1ú
ú
û
とも表す。
24
固有多項式と固有方程式
（特性多項式と特性方程式）
定義（固有多項式と固有方程式）
A = [aij ] を n 次の正方行列とする。
スカラー  の n 次の多項式
l
j A (l ) = det (A - l I )
=
a11 - l
a12
a 21
a 22 - l
M
L
a1n
O
an 1
ann - l
を行列 A の固有多項式（あるいは特性多項式）という。
また、方程式
det (A - l I ) = 0
を行列 A の固有方程式（あるいは特性方程式）という。
25
固有値と固有方程式
（固有値と固有方程式）
 が行列 A の固有値であるための必要十分条件は、
の解であること
 が固有方程式 det (A - l I ) = 0
である。
証明
Ax = l x
Û Ax - l x = 0
Û A x - l Ix = 0
Û (A - l I )x = 0
Û det (A - l I ) = 0
が自明でない解 x (¹ 0 ) を持つ。
が自明でない解 x (¹ 0 ) を持つ。
が自明でない解 x (¹ 0 ) を持つ。
が自明でない解 x (¹ 0 ) を持つ。
スカラー
QED
26
例１
次の行列の固有値を求めよ。
（１）
2 1
A

1
2


解）
この行列に対する固有多項式は、
 A  det( A   I )
2 1

1
2
 (2   )(2   )  1
 3  4   2
よって、固有方程式
3  4    0
2
を解く。
(1   )(3   )  0
   1,3
以上より、行列 A の
固有値は、
1  1, 2  3
である。
と表せる。
27
例２
次の行列の固有値を求めよ。
（２）
1 2
A

3 4
解）
この行列に対する固有多項式は、
 A  det( A   I )
1  2

3
4
 (1   )(4   )  6
 2  5   2
と表せる。
よって、固有方程式
2  5    0
2
を解く。
5  33
 
2
以上より、行列 A の
固有値は、
5  33
5  33
1 
, 2 
2
2
である。
28
よって、固有方程式
例３
次の行列の固有値を求めよ。
（３）
2 1 1 
A  1 2 1 
1 1 2 
 (1   )2 (4   )  0
 A  det( A   I )
2 1
1
1
2 1
1
2
 (2   )3  2  3(2   )
 4  9  6 2   3
と表せる。
3
を解く。
解）
この行列に対する固有多項式は、
1
4  9  6    0
2
   1, 4
以上より、行列 A の
固有値は、
1  1 (2重根）,
2  4（単純根）
である。
固有方程式の解 i が mi 重根
であるとき、固有値i の
代数的重複度が mi であると
29
いう。
練習
次の行列に対して、固有方程式を解き、固有値を求めよ。
（１）
 2 3
A

1
4


（２）
1 0 1


B  1 2 1 
 2 2 3 
30
固有ベクトルの求め方（重要）
固有値がわかれば、各固有値に属する固有ベクトルを定
義に基づいて求めることができる。
具体的には、固有値 i に対する固有ベクトルは、
同次連立一次方程式
(A - l i I )x i = 0
の非自明解を求めればよい。
（実は、この方法によって、固有空間も求まる。）
31
例１
次の行列の固有ベクトルを求めよ。
（１）
2 1
A

1 2 
解）
この行列の固有値は、
1  1, 2  3
である。
1  1
éx 11 ù
に対する固有ベクトル x 1 = êêx úú
ë 21 û
を求める。
(A - l 1I )x 1 = 0
é2 - 1 1
ù
ê
úx = 0
ê1
ú 1
2
1
êë
ú
û
é1 1ùéx 11 ù é0ù
\ êê úúêx ú= êê úú
ê ú
êë1 1úûë 21 û êë0úû
é1 1ùéx 11 ù é0ù
úê ú= ê ú
Û êê
úx
êú
êë0 0úûêë 21 úû êë0úû
Û x 11 + x 21 = 0
é- 1ù
éx 11 ù
\ êx ú= x 21 êê úú
êë 21 úû
êë 1 úû
よって、任意定数 k 1 を
用いて
é- 1ù
x 1 = k1 êê ú
ú
1
êë ú
û
と表せる。よって、例えば
é- 1ù
ê ú
ê1 ú
êë úû
32
が 1  1 の固有ベクトル。
2
éx 12 ù
 3 に対する固有ベクトル x 2 = êêx úú
ë 22 û
を求める。
(A - l 2I )x 2 = 0
よって、任意定数 k 2 を
用いて
é1ù
é2 - 3 1
ù
ê
úx = 0
ê1
ú 2
2
3
êë
ú
û
と表せる。よって、例えば
é- 1 1 ùéx 12 ù é0ù
úê ú= ê ú
\ êê
úêx ú ê ú
êë 1 - 1úûë 22 û êë0úû
é- 1 1ùéx 12 ù é0ù
úê ú= ê ú
Û êê
úêx 22 ú ê0ú
0
0
êë
úûë û êë úû
Û - x 12 + x 22 = 0
x 2 = k 2 êê úú
êë1úû
é1ù
êú
ê1ú
ëê ûú
が   3 の固有ベクトル。
2
é1ù
éx 12 ù
\ êx ú= x 22 êê úú
êë 22 úû
êë1úû
33
例２
次の行列の固有ベクトル
を求めよ。
（３）
2 1 1 
A  1 2 1 
1 1 2 
解）この行列の固有値は、
(A - l 2I )x 2 = 0
é2 - 4
1
1
ê
ê
2- 4
1
ê 1
ê
ê 1
1
2êë
1  1 (2重根）,
2  4（単純根）
ù
ú
ú
úx 2 = 0
ú
4ú
ú
û
である。
2  4 に対する固有ベクトル
を求める。
éx ù
ê 12 ú
x 2 = êêx 22 ú
ú
ê ú
êëx 32 ú
û
34
é- 2
ê
ê
ê1
ê
ê1
êë
é1
ê
ê
® ê0
ê
ê0
êë
1
- 2
1
1
1
3
1 ùú
ú
1 ú®
ú
- 2úú
û
- 2ùú
ú
- 1ú®
ú
- 3úú
û
é1
ê
ê
ê1
ê
ê- 2
êë
é1 0
ê
ê
ê0 1
ê
ê0 0
ëê
é- 2 1
ùé ù
1
ê
úêx 12 ú
ê
úê ú
ê 1 - 2 1 úêx 22 ú= 0
ê
úê ú
ê1
úêx 32 ú
1
2
ú
ëê
ûë û
éx ù
ê 12 ú
\ êêx 22 ú
ú=
ê ú
êëx 32 ú
û
ただし、
k2
- 2ùú
ú
- 2 1 ú®
ú
1
1 úú
û
- 1ùú
ú
- 1ú
ú
0 úú
û
1
é1 1 - 2ù
ê
ú
ê
ú
ê0 - 3 3 ú
ê
ú
ê0 3 - 3ú
êë
úû
ìï x 12 - x 32 = 0
Û ïí
ïï x 22 - x 32 = 0
î
é1ù
é1ù
éx ù
ê
ú
êú
32
ê ú
ê
ú
êx ú= x 1 = k ê1ú
32 ê ú
2 êú
ê 32 ú
ê
ú
êú
ê ú
x
ê
ú
ê1ú
êë 32 ú
û
êë1ú
êë ú
û
û
は任意定数。
35
1  1
éx ù
ê 11 ú
に対する固有ベクトル x 1 = êêx 21 úú
ê ú
êëx 31 úû
を求める。
(A - l 1I )x 1 = 0
é2 - 1
1
1
ê
ê
2- 1
1
ê 1
ê
ê 1
1
2êë
ù
ú
ú
úx 2 = 0
ú
1ú
ú
û
é1 1 1ù
ê
ú
ê
ú
ê1 1 1ú®
ê
ú
ê1 1 1ú
êë
ú
û
é1 1 1ù
ê
ú
ê
ú
ê0 0 0ú
ê
ú
ê0 0 0ú
êë
ú
û
36
(A - l 1I )x 1 = 0
éx ù
ê 11 ú
êx ú=
ê 21 ú
ê ú
êëx 31 ú
û
Û x 11 + x 21 + x 31 = 0
é- 1ù
é- 1ù
é- 1ù
é- 1ù
é- x - x ù
ê
ú
ê ú
ê
ú
ê
ú
31 ú
ê 21
ê
ú
ê
ú
ê
ú
ê x
ú= x 1 + x 0 = k 1 + k ê 0 ú
ú 31 ê ú 11 ê ú 12 ê ú
21
21 ê
ê
ú
ê ú
ê ú
ê ú
ê ú
ê
ú
ê1 ú
ê1 ú
ê0 ú
ê0 ú
êë x 31
ú
û
êë ú
êë ú
êë ú
êë ú
û
û
û
û
ただし、 k11, k12 は任意定数。
このことより、 1  1
に対する固有空間は、
  1

 1


V1  k11  1   k12  0  | k11 , k12  R 
 0



1
 
  

であり、その次元は、 dimV1  2 である。
固有空間の次元を、
幾何的重複度という。
37
練習
次の行列に対して、固有ベクトル、固有空間を求めよ。
（１）
（２）
 2 3
A

1 4 
1 0 1


B  1 2 1 
 2 2 3 
38
固有値の性質
39
固有値の性質１（複素数の固有値）
（複素数の固有値）
行列の要素がすべて実数であっても、固有値は
複素数になることがある。
例
é0 - 1ù
ú の固有値を求める。
A = êê
ú
1
0
êë
ú
û
固有多項式は、
j A (l ) =
-l
- 1
1
-l
= l2+1
よって、固有方程式l
2
+ 1 = 0 より、
l = i, - i
40
固有値の個数
n 次正方行列 A に対する固有方程式
a11 - l
a12
a 21
a 22 - l
M
an 1
L
a1n
= 0
O
ann - l
は n 次の代数方程式だから、代数的重複度まで含めると
複素数の範囲で丁度 n 個の解がある。
41
練習
次の行列の固有値を求めよ。
（１）
（２）
é3 - 1ù
ú
A = êê
ú
2
1
êë
ú
û
écos q - sin qù
ú
B = êê
ú
sin
q
cos
q
êë
ú
û
（３）
é0
ù
1
0
ê
ú
ê
ú
C = ê- 1 0 0ú
ê
ú
ê0
ú
0
1
êë
ú
û
42
固有値とトレース、固有値と行列式
固有値とトレース、固有値と行列式には次のような関係がある。
（固有値とトレース、固有値と行列式）
l 1, l 2, L , l n を A の固有値とする。
このとき、次が成り立つ。
（I)
l1+ l2 + L + ln
= a11 + a 22 + L + ann
= t rA
（II)
l 1 gl 2 gL gl n = A
この関係があるので、トレースのことを
固有和ということもある。
これら２つの式は、固有値の値のチェックに利用するこ
43
とができる。
証明
固有多項式を計算する。
a11 - l
a12
a 21
j A (l ) =
L
a 22 - l
M
O
an 1
= (- 1)n gl
n
a1n
定数項は、
行列式そのもの
になることに注
意する。
ann - l
+ (- 1)n - 1 gtr (A )gl
行列式の定義より、 l
l
n
n
、
l
n- 1
n- 1
+L + A
の部分は、
n
Õ (a
ii
- l ) = (a11 - l )g(a22 - l )gL g(ann - l )
i= 1
の展開からしか生成できないことがわかる。
44
一方、固有値は固有方程式の根だから、固有多項式は、
次のようにも表現できる。
j A (l ) = (- 1)n g(l - l 1 )g(l - l 2 )gL g(l - l n )
= (- 1)n l
n
よって、 l
+ (- 1)n - 1 (l 1 + L + l n )l
n- 1
n- 1
+ L + (l 1l 2 L l n )l
0
の項の係数と、定数項を比較して次式を得る。
l 1 + l 2 + L + l n = tr A
l 1 gl 2 gL gl n = A
QED
45
例１
2 1
A
 の固有値は、 l 1 = 1, l 2 = 3 である。
1
2


trA  2  2  4( 1  2 )
A  4 1  3( 12 )
46
例２
2 1 1 
B  1 2 1 
1 1 2 
の固有値は、
l 1 = 1, l 2 = 1, l 3 = 4 である。
代数的重複度を考えて、同じ値を持つ
固有値を２つにしている。
trB  2  2  2  6( 1  2  3 )
B  8 11 (2  2  2)  4( 123 )
47
例3
é0 - 1ù
ú の固有値は、 l 1 =
C = êê
ú
1
0
êë
ú
û
i, l 2 = - i である。
trC  0  0  0( 1  2 )
C  0  (1)  1( 12 )
48
固有値と正則行列
（固有値と正則行列）
行列 A が正則であるための必要十分条件は、
0を固有値として持たないことである。
証明
A が0を固有値として持つ。 Û A x = 0x となる
固有ベクトルx
¹ 0
が存在する。
Û 同次連立一次方程式 A x = 0
が非自明解 x
¹ 0 を持つ。
Û A は正則でない。
よって、対偶をとることによって、
A は正則 Û
A が0を固有値として持たない。
QED
49
相似な行列
50
相似な行列
定義（相似な行列）
n 次の正方行列 A に対して、 n 次の正則行列 P
の逆行列 P - 1 を用いて
とそ
B º P AP
- 1
と表した行列 B
を A
と相似な行列という。
- 1
P AP
正則行列と、
その逆行列で
サンドイッチ状にする。
51
相似な行列の性質１
（相似な行列間の行列式の相等）
相似な行列は行列式が等しい。
すなわち、 A を正方行列、 P を正則行列とすると、
A = P - 1A P
証明
-1
P AP = P
= A P
= A
-1
-1
A P
スカラーなので
交換可
P
P-1 P = 1
に注意する。
QED
52
相似な行列の性質２
（相似な行列間のトレースの相等）
相似な行列はトレースが等しい。
すなわち、 A を正方行列、 P を正則行列とすると、
- 1
tr A = tr( P A P )
証明
t r( P - 1A P ) = t r(( P - 1A )(P ))
= t r((P )( P - 1A ))
= t r((P P
= t r( IA )
= t rA
- 1
)(A ))
トレースの性質で、
tr (A B ) = tr( BA )
を思い出す。
QED
53
相似な行列の性質３
（相似な行列間の固有多項式の相等）
相似な行列は固有多項式が等しい。
すなわち、 A を正方行列、 P を正則行列とすると、
j A (l ) = j
証明 j
P
P - 1A P
(l )
- 1
(
l
)
=
det
(
P
AP - l I)
AP
- 1
= det (P - 1A P - l P - 1IP )
= det (P - 1A P - P - 1l IP )
= det (P - 1(A - l I )P )
= P - 1 AP - l I P
= det (A - l I )
= j A (l )
QED
54
相似な行列の性質４
（相似な行列間の固有値の相等）
相似な行列は固有値が等しい。
証明
固有多項式（固有方程式）が等しいので、明らかに
成り立つ。
QED
55
例
3 2
2 1

正方行列を A  
とし、正則行列を P 
とする。



1 2 
7 5 
まず、
P の逆行列 P 1 を求める。
 5 2
P 

 7 3 
1
56
次に相似な行列
1
P AP
を求めておく。
 5 2   2 1   3 2 
P AP  
 1 2  7 5 

7
3




 5 2  13 9 

 17 12 

7
3



1
 31 21 



40

27


57
まず、行列式について、
2 1
A
 4 1  3
1 2
1
P AP 
31
21
40 27
 837  (840)  3
次にトレースについて，
2 1
trA  tr 
 22  4

1 2 
 31 21 
tr  P AP   tr 
 31  27  4

40 27 
1
58
最後に、固有多項式と固有値について。
2
1
 A ( )  det( A   I ) 
  2  4  3
1
2
31  
21
P 1 AP ( )=det  P AP   I  
  2  4  3
40 27  
1
よって、 A, P 1 AP
固有値は   1,3
の両方ともに、
59
固有値の応用（行列の対角化）
60
正則行列による対角化
固有値や固有ベクトルを利用すると、正方行列
を対角化することができる。まず、必要な記法や概
念を説明する。そのあとで、行列 A に対する固有
値や固有ベクトルをから行列A を対角行列に変
換する方法を与える。また、対角化された行列によ
る応用をいくつか示す。
61
対角行列（重要）
定義（対角行列）
n
次正方行列 A に対して、対角成分以外が全
て0である行列を対角行列という。
すなわち、
ìï a i
aij = ïí
ïï 0
î
ここで、 a i
Î C
i= j
i¹ j
である。
62
対角行列のイメージ
n
a1
a2
O
n
O
an
63
対角化可能
定義（対角化可能）
A を
次の正方行列とする。
A に相似な対角行列 D が存在するとき、
すなわち、正則行列 P によって、
D = P - 1A P
が対角行列になるとき、
行列 A
は正則行列 P で対角化可能であるという。
n
A
逆行列と、正則行列でサンドイッチ
にすることで、対角化する。
実は、 P としては、固有ベクトルを
並べたものにすればよい。
このとき、対角成分として、固有値
が並ぶ。
64
幾何学的重複度と代数的重複度
定義（幾何学的重複度と代数的重複度）
n 次の正方行列 A の全ての異なる固有値を
l 1, l 2, L , l r とする。
（１）固有値 l i に対する、固有空間V l i = {x | A x = l ix }
の次元 dimV l i を固有値 l i に対する
幾何学的重複度（geometric multicilicity)といい
m g (l i )
とかく。
（2）固有値を用いることで、固有多項式
は
j (l ) = (- 1)n g(l - l 1 )m1 g(l - l 2 )m 2 gL g(l - l r )mr
と表せる。このとき、 m i を各固有値 l i に対する
代数的重複度（algebric multicilicity)といい
とかく。
m a (l i )
65
幾何的重複度と代数的重複度の関係
（幾何的重複度と代数的重複度）
n 次の正方行列 A の固有値を l とする。
また、固有値 l に関する幾何的重複度を m g (l )
とし、代数的重複度を m a (l )とする。このとき、
次の式が成り立つ。
m g (l ) £ m a (l )
証明略
この式より、幾何的重複度を、固有値全てに対
して総和をとっても、 n にならないことがあると
いうことがわかる。（なお、代数的重複度を固有値
全てに対して総和をとれば n である。）
66
対角化の判定法
（対角化可能性）
n 次の正方行列を A とし、A の相異なる固有
値を l 1, l 2, L , l r とする。このとき、A が対角化
可能であるための必要十分条件は、次式を満たす
ことである。
m g (l i ) = ma (l i )
i = 1,2, L , r
証明略
67
対角化手順の概略(重要）
これまでの議論より、 n 次の正方行列 A の対角化手順
が構成できる。
（１） A の固有方程式 j A (l ) = 0 を解き、
固有値 l i を求める。
（２）各固有値 l i 毎に、固有ベクトル x i を求める。
（３）全ての固有ベクトル x i を順番に並べて行列
P = éêx 1 L
ë
xn ù
ú
û
を定義する。
（４）（３）の行列 P の逆行列P - 1 を求める。
（５）
P
A P を計算すると対角行列 D A となる。
- 1
68
対角化手順中の注意１（固有値の代数的重複度）
（１） A の固有多項式j A (l ) を求め、n 次の固有多方程式
j (l ) = 0 を解く。
A
もし、実数で対角化を行いたいにもかかわらず、固有方程式の
解に実数でなもの（複素数）が現れたら、実数では対角化できない。
各固有値 l
i
とその代数的重複度 m a (l i ) を求める。
j A (l ) = (l 1 - l )ma (l 1 ) g(l 2 - l )ma (l 2 ) gL g(l k - l )ma (l k )
k
å
m a (l i ) = n
i= 1
が成り立つ。
対角化手順中の注意２（固有空間と幾何学的重複度）
（２）各固有値l i 毎に、固有空間 V l i = {x i | A x i = l i x i }
を求める。
固有空間は、同次連立一次方程式 (A - l i I )x i = 0
の解空間であるので、連立一次方程式を解くことで、
求められる。
幾何的重複度 m g (l i ) = dimV l i
も求める。
すべての固有値 l i に対して、
m a (l i ) = m g (l i )
であれば対角化可能。さもなければ、対角化不可能。
対角化可能ならば、固有空間の要素である
固有ベクトル x i Î V l i を求める。
対角化手順の注意３(対角行列と固有値）
（３）～(５）
固有値がすべて非零なら、
変換の行列 P は正則行列であり、逆行列が存在する。
71
対角行列の各成分は、対応する固有値となる。
すなわち、固有値 l i の固有ベクトルを x i とし、変換行列を
P = éx x L x ù とすると、次式が成り立つ。
êë 1
2
k
ú
û
él 1 0 L
ê
ê0 l
2
ê
- 1
DA = P A P = ê
O
êM
ê
ê0 0 L
êë
0ù
ú
0 úú
ú
Mú
ú
l k úú
û
例
2 1
A

1
2


の固有値は、 l 1 = 1, l 2 = 3 である。
（各固有値の代数重複度はそれぞれ１）
また、l 1 = 1 に対する固有空間 V l は、
1
ìï é 1 ù
ü
ïï
ï
dim
V
V l 1 = í k êê ú
|
k
Î
R
ý
l1
ú
ïï ê- 1ú
ïï
ï
îï ë û
þ
また、l 2 = 3 に対する固有空間V l 2 は、
Vl 2
ìï é1ù
ü
ï
ïý
= ïí k êê ú
|
k
Î
R
ú
ïï ê1ú
ï
ï
ïþ
îï ë û
=1
dimV l 2 = 1
72
よって、全ての固有値で、代数的重複度と幾何的重複度が等しい。
よって、対角化可能。
固有ベクトルをならべて正則行列P を作る。
ここでは、
é 1 1ù
ú
P º êê
-ê 1 1ú
ú
ë
û
とする。このとき、P - 1は
P-1
1 éê1 - 1ù
ú
= ê
2 êë1 1 ú
ú
û
73
ここで、
2 1
1
A
P
AP
と相似な行列

1 2 
を求める。
1 1 1  2 1   1 1
P AP  
2 1 1  1 2   1 1
1 1 1  1 3
 
2 1 1   1 3
固有値が並んでいる
1 2 0
ことに注意する。
 
変換の行列 P に
2  0 6 
おける固有ベクトルの
1 0 

順序が対角行列中の

0 3
固有値の順序として
現れる。
1
74
練習
次の行列を対角化せよ。
（１）
é2 1 1ù
ê
ú
ê
ú
ê1 2 1ú
ê
ú
ê1 1 2ú
êë
úû
é0
ù
1
0
ê
ú
ê
ú
- 1 0 0ú
（２） ê
ê
ú
ê0
ú
0
1
êë
úû
75
対角行列の累乗
D を n 次の対角行列とする。すなわち、
éd1 0 L 0 ù
ê
ú
ê0 d
ú
M
2
ê
ú
D = ê
ú
êM
O 0ú
ê
ú
ê0 L 0 d ú
nú
êë
û
とする。また、 k を自然数とする。このとき、行列 D
の k 乗 D k は次式で与えられる。
éd1k 0 L 0 ù
ê
ú
ê
ú
k
Mú
ê0 d2
k
ú
D = ê
êM
ú
O
0
ê
ú
ê
kú
êê0 L 0 dn ú
ú
ë
û
76
同値な行列の累乗
（１）
（２）
 P AP   P A P
 PAP   PA P
k
1
1
1 k
証明 1
k
P AP    P 1 AP  P 1 AP 

（１）
 P 1 A  PP 1  A  PP 1  AP
 P 1 AIAIA
k
k
1
P
1
AP 
P 1 AP
AP
 P 1 Ak P
（２）も同様。
QED
77
行列の累乗
これまでの議論より、対角化可能な行列では以下の
手順で累乗を求めることができる。
（１）行列A を対角化して、対角行列
éd1 0 L
ê
ê0 d
2
ê
P - 1A P = D = ê
êM
O
ê
ê0 L 0
êë
0ù
ú
Mú
ú
ú
0ú
ú
dn ú
ú
û
を求める。
（２）両辺の
k 乗を求める。
k
P - 1A k P = (P - 1A P )
éd1k 0
ê
ê
0 d1k
ê
= Dk = ê
êM
ê
ê
êê0 L
ë
L
O
0
0ù
ú
ú
Mú
ú
0ú
ú
ú
dnk ú
ú
û
78
- 1
P
（3）両辺の左から P を右から
を掛ける。
P P - 1A k P P - 1 = P D k P - 1
éd1k 0
ê
ê
k
0
d
ê
1
k
\ A = P ê
êM
ê
ê
êê0 L
ë
L
O
0
0ù
ú
ú
Mú
úP - 1
0ú
ú
kú
dn ú
ú
û
79
例
2 1
A
とし、 Ak を求めてみる。

1 2 
é 1 1ù
ú
P = êê
ú
êë- 1 1ú
û
このとき、
よって、
とする。
P
- 1
1 éê1 - 1ù
ú
= ê
2 êë1 1 ú
ú
û
1 0 
P AP  

0
3


1
k
k
1 0 
1
 P AP   0 3


1 0 
1 k
P A P  
k
0
3


80
1 0  1
A  P 
P
k
0 3 
 1 1 1 0   1 1 1 

 0 3k   2 1 1  

1
1


 

1  1 1  1 1
 
2  1 1 3k 3k 
1 3k  1 3k  1
  k

2 3  1 3k  1
 3k  1 3k  1 
 2

2

 k
k
 3  1 3  1
 2
2 
k
81
練習
次の行列を求めよ。
k
（１）
é2 1 1ù
ê
ú
ê
ú
ê1 2 1ú
ê
ú
ê1 1 2ú
êë
úû
n
é0
ù
1
0
ú
（２） ê
ê
ú
ê- 1 0 0ú
ê
ú
ê0
ú
0
1
êë
úû
82

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