2004.12.10 YITP 京都
Random Matrix Theory
for Dirac Spectra
島根大学 総合理工
Shimane Univ.
西垣 真祐
S.M. Nishigaki
行列値の確率変数
LGT
U11 L L
U x,µˆ = M O
M
M L U
N c N c x,µˆ
dµ(U) = e
β ∑UUU +U +
det ( D/ (U) + m)
NF
∏ dU
x,µˆ
x,µˆ
RMT
€
H11 L L
H = M O M
M L H NN
dµ (H ) = e
−tr H 2
dH
LGT
dynamics
kinema
-tics
RMT
Kinematics = Global Symmetry Breaking
Part I: ランダム行列理論
準位統計
ランダム行列
準位相関の普遍性 SN 96, Akemann-Damgaard-Magnea-SN 97/98
Part II: Dirac準位統計
カイラル対称性 と Diracスペクトル
カイラル摂動理論
ε領域
カイラルランダム行列 Damgaard-SMN 98-01, Nagao-SMN 00/01
数値実験による検証
Pt I. ランダム行列理論
準位統計
準位統計
重原子核の高励起準位 (中性子線回折)
1950s
準位間隔
s
厳密値は計算不能
→ 統計的に扱う
準位間隔の分布
重原子核の高励起準位
強磁場下でH原子の準位
水晶塊の弾性モード準位
s
PWigner (s) = s e
π
2
- π4 s 2
“充分”複雑な系では
準位統計分布は系の詳細に依存しない
€
普遍性
準位統計
準位間隔の分布
可積分 :=
n自由度 → n個の 1自由度 ⇨
縦/横＝無理数
PPoisson (s) = e -s
Criteria
定理
「自由度2以上の力学系が古典的に完全可積分
⇒ 量子系の準位はPoisson」
Berry-Tabor 77
定理 (?)
「力学系が古典的にergodic
⇒ 量子系の準位はWigner」
Bohigas-Gianonni-Schmidt 86
半古典的証明
Müller-Heusler-Braun-Haake-Altland 04
普遍性の起源
磁場中のH原子の準位
非局在状態のオーバーラップ
⇒ 縮退を避ける
準位反撥
Prob(E,E’) ~|E -E’|β
β=1,2,4
Hの対称性による
この性質を抽象した単純な模型から
普遍的統計量を導く ランダム行列模型
Hamiltonianの離散的対称性
T反転
T=KC
c.c. unitary
T 2 = CC* =±1
T対称性
[H, T] = 0
[H, T]≠0
symm. C = UTU
⇒
antisymm. C = UTJU
Uで基底変換
H’ : R symm
H’ : H selfdual
L・S
H : C hermitian
S・B
Dirac演算子の離散的対称性
C共役
C = K C τ2
KC
[iD, C ] = 0
ps-real rep
real rep
基底変換
[iD, C ]≠0
T 2 =±1
iD’ : R symm
iD’ : H selfdual
iD : C hermitian
Chirality
{iD, γ5} = 0
none
even dim
odd dim
付加的な対称性
ランダム行列理論
ランダム行列理論
#
H = #
M
€
#
#
#
#
#
#
#
#
#
H 11
L
#
H 21
H 31
# → H = H 41
H 51
H
#
61
O
M
次元による, sparseな行列
€
H 12
H 22
H 32
H 42
H 52
H 13
H 23
H 33
H 43
H 53
H 14
H 24
H 34
H 44
H 54
H 15
H 25
H 35
H 45
H 55
H 16
H 26
H 36
H 46
H 56
H 62 H 63 H 64 H 65 H 66
M
M
M
M
M
L
L
L
L
L
L
O
正規分布する独立乱数の配列
Hamiltonianの集団
ランダム行列理論
H = H+ = (Hij) ∈ R, C, H
β = 1, 2, 4 自由度/行列要素
P(H)dH = exp(-tr H2) ΠdβHij
•最小のエントロピー δS[P]=0
S=∫dH {-P(H) ln P(H) + a P(H) tr H + b P(H) tr H2 }
(平均値
・ 分散 を固定したとき)
•不変性 P(H) = P(UHU+)
基底の取替えで不変 ⇒ 固有ベクトルは非局在
•固有値分布 P({λ}) = Πi exp(-tr λi2) Πi>j|λi - λj|β
ランダム行列理論の技法
･ Loop (Schwinger-Dyson)方程式
･ 直交多項式法
･ SUSY(PQ)法
･ Replica法
･ Keldysh法 RMTのみに適用可
多種の準位相関関数を計算できる
RMT以外にも適用可
普遍性の起源が明瞭
直交多項式法
P(λ1 ,..., λ N ) = ∏ e
−V ( λi )
β=2
det[λ
(歪直交多項式法 β=1, 4 )
2
j−1 N
i
i. j=1
]
free fermions
i
N
2
= det[ψ j−1 (λi )]i. j=1 = ΨN ({λ})
2
ψ j (λ ) = e −V ( λ )/2 (λ j +L)
Fermi seaへの射影
N −1
€
K N (λ, λ ') ≡ ∑ ψi* (λ )ψi (λ ') =
i=0
€
ψ N (λ )ψ N −1 (λ ') − ψ N −1 (λ )ψ N (λ ')
λ − λ'
R (λ ,..., λ ) = Ψ ρˆ (λ )L ρˆ (λ ) Ψ = det K (λ , λ ) k
[ N i j ]i, j=1
k
N
1
k
N
k 1
∞
k
2
s /2
(−1)
2
dλ1 Ldλ k Rk (λ1 ,..., λ k ) = ∂ s
Det [1− K N ]
P(s) = ∂ s ∑
∫
−s
/2
λ
∈[−s
/2,s /2]
k=0 k!
準位密度
N=∞ Wigner半円則
N=11, 21, 51
平均準位密度はスペクトルの各所で異なる ⇒
局所的準位相関 ： 累積準位密度に変数変換して規格化 unfolding
λi a xi =
∫
λi
ρ (λ )dλ ,
xi+1 − xi = 1
直交多項式法を用いて 各種の準位統計関数が計算可能
2準位相関
準位間隔の分布
β=0 相関なし
β=1
β=2
β=4
exp(-s)
~ sβ
~ exp(-cβ s2)
幅s が k個の準位を
含む確率 E
含む確率 β (k ; s)
GOE
GUE
β=1
β=2
ランダム行列の普遍性
N有限 → P (s), ρ(λ), …はランダム系・行列測度の
詳細に依存
N=∞ → 微視的相関関数P (s), ρ(λ), …は普遍的
同一の
自発的
対称性破れ
exp(-tr H2)
exp(-tr V(H))
exp(-tr (H+A)2)
…
Anderson
Gauss Anderson
P∞(s) , ρ∞(λ)
Pt II. Dirac準位統計
main figure:
Jac Verbaarschot
“SUSY method in RMT and applications to QCD” hep-th/0410211
“RMT and chiral symmetry in QCD”
hep-ph/0003017
カイラル対称性とDiracスペクトル
/ ψ = ψ L+ Dµσ µ ψ L + ψ R+ Dµσ µ ψ R
ψD
ψ L →U Lψ L
ψ R →U Rψ R
€
NF フレーバー
U L ∈ SU(N F ) L
U R ∈ SU(N F ) R
独立に回転不変
強結合領域(NC , NF に依存)では自発的に
€ψ ψ = ψ R+ψ L + ψ L+ψ R ≠ 0
ψ L →Uψ L , ψ R →Uψ R
€
U ∈ SU(N F )V
実際には mq ≠0 → カイラル対称性は近似的
€
に破れる
カイラル対称性とDiracスペクトル
カイラル凝縮
Banks Casher 80
1
∫ d x ψ (x)ψ(x) = tr D/ + m =
4
=
€
V →∞
→
€
∫
∫
a −1
0
a
0
−1
1
∑ iλ + m =
n
2m
∑ λ2 + m 2
λ n >0 n
2m
dλ ρ (λ ) 2
λ + m2
€
2m
dλ ρ (λ ) 2
λ + m2
m→0
→ π ρ (0) a→0
→ π ρ (0) (continuum)
€
↓
カイラル対称性とDiracスペクトル
カイラル凝縮
π ρ (0)
Σ ≡ ψψ =
V
Δ = O(V −1 ) = O(L−d )
π ≠ 0
=
VΔ = 0
Δ = O(L−1 )
free
€
Δ : 準位間隔
カイラル対称性が破れるためには €
微小Dirac固有値の集積が必要
Dirac準位密度
自発的破れ相
臨界点
V
ψψ
π
カイラル対称相
€
SU(3), NF=0, staggered
V=44
Gockeler et al 99
Dirac準位密度 (微視的)
magnify
by scaling
SU(2), NF=0, staggered V=104
Berbenni et al 97
1 ζ
ρs (ζ ) = ρ
Δ Δ
Dirac準位密度 (微視的)
SU(3), NF=0, staggered V=44
Damgaard et al 98
・ ρ(0) でスケールされた微視的準位密度は結合定数 β に依らない
・ゲージ群 SU, SO, Sp に応じて３種類
微視的準位密度分布は kinematical , 対称性のみによる
Partial Quenching
probe
fermionic &
bosonic quarks
Dirac準位密度 ←→ PQ分配関数
Z({m f }, m | m˜ ) = ∫ [dA] e
€
−SYM [ A ]
/ + m)
det( D
∏ det( D/ + m f ) det( D/ + m˜ )
f
∂
1
log Z({m f }, m | m˜ )
= tr
/
∂m
m+ D
m= m˜
, ℑm
m→i
λ
→ ρ (λ )
微視的準位密度 ← Zgraded
€
{m f }
with very light “probe quarks”
カイラル摂動理論
Λ−1QCD << L では NG π粒子のみが Z
U = U RU
€
+
L
:
に寄与
SU(N F ) L × SU(N F ) R
SU(N F )V
の座標
+
ψ L Mψ R + c.c.
質量項 がある場合も
€
€
U → u RUu L+
€
カイラル変換 の下で基本理論が不変
+
M → u L Mu R
⇒ 有効理論もカイラル変換で不変： カイラル Lagrangian
2
+
€LchPT = fπ tr ∂ µU∂ µU − Σ ℜe tr MU +L
Weinberg 67
カイラル摂動理論
基本理論は質量Mとθ角を の形で含む
Z(M,θ ) = ∑ e iνθ
ν
= ∑e
ν
iνθ
∫ DAµ Dψ Dψ e
ν
-S[A µ ,ψ ,ψ ]
/ + M)
det(D
iθ / N f
ν
2
2
m
λ
+
m
=
Z(e
M)
(
)
∏ f∏ j f
f
j
⇒ 有効理論も然り
€
€
Z chPT (M ,θ ) =
∫
SU ( N f
(
2
+
DU
exp
−
f
tr
∂
U
∂
U
+ Σ ℜe tr e
π
µ
µ
)
iθ / N f
)
MU +L
ε領域
2
π
+
LchPT = f tr ∂ µU∂ µU − Σ ℜe tr MU +L
有限体積中で
fπ2 L−2
非0モード
€
€
Σm
0モード
fπ2 €
Z chPT
EC ≡ 2 >> m
⇒ ：0モード積分 ΣL
kinematicな領域
L << m€π−1
Leutwyler Smilga 92
ε領域 PQchPT
2
π
+
LchPT = f tr ∂ µU∂ µU − Σ ℜe tr MU +L
有限体積中で
fπ2 L−2
非0モード
€
€
Σm
λ
0モード
fπ2 €
Z chPT
EC ≡ 2 >> λm
⇒ ：0モード積分 ΣL
Dirac固有値
€ λ は mq とは無関係な自由パラメータ
自由場
λmin
€
1
= 4
ΣL
fπ2
EC = 2
ΣL
PQ€Ch Lの
0モード積分で
厳密に扱える
PQ Ch Lの
非0モードを
摂動で取入れ
Full
QCD
ChLの0モード積分 → 微視的Dirac固有値分布 のためには
• L >> ΛQCD−1
: NG domination
• mq << EC ⇔ L << mπ−1
• λmin<< EC ⇔ L >> fπ−1
: 0-mode domination in ChL
: 0-mode domination in PQChL
カイラルランダム行列
カイラルランダム行列
/ →
D
独立乱数の配列
m f
+
f
f
Z = ∫ dH dψ dψ exp−tr H H + ∑ (ψ R ψ L )
iH
f
€
+
m
iH
+
= ∫ dH e −tr H H ∏ det f
iH m f
f
€
H
N x (N+v) 行列
ψ Lf , ψ Lf
N+v ベクトル
ψ Rf , ψ Rf
N
NF 種類
ベクトル
iH + ψ Lf
f
m f ψ R
€
QCDの大域的対称性を共有
/ の要素 ∈
D
C
R
H
SU
Sp
SO
行列要素に反映
カイラル対称性は NF によらず常に破れる 半円則
フレーバー群 → ベクトル部分群
Vafa-Witten定理
€
指数定理 ν 個の0モード
熱力学極限 N→∞ で LLS = Re tr UM + ν log det U
RMT of type AIII (chGUE)
H ∈ GL(N,C)
m f iH *ji ψ f ,i
Z = ∫ dHdψ dψ exp−H ij* H ij + ∑ (ψ Rf ,iψ Lf ,i )
Lf ,i
iH ij m f ψ R
f
€
f ,i g,i
g, j f , j
f ,i f ,i
f ,i f ,i
= ∫ dψ dψ exp−(ψ R ψ L )(ψ L ψ R ) + ∑ m f ((ψ R ψ L ) + (ψ L ψ R ))
f
∫ dQdψ dψ exp{−Q Q + (iQ
= ∫ dQ e
det (Q − iM)det
*
fg
=
-tr Q + Q
N +ν
fg
fg
N
+ M fg )(ψ Lf ,iψ Rg,i ) + (iQ*fg + M fg )(ψ Rf ,iψ Lf ,i )}
(Q+ − iM)
Q ∈ GL(n,C)
€
€
Ψ j
f
€
f
Ψ i
€
H ij
€
Ψ j
f
j Ψ
g
g
i Ψ
Q fg
€
€
€
f
i
Ψ
g
i
Ψ
€
€
=
∫ dH ij e
−tr H 2
Gauss average
over disorder
€
jΨ
g
€
€
Ψ
g
Ψ j
f
j
f
Ψ i€
g
i €Ψ
€dQ fg e −tr Q 2
∫
flavored auxil. field
RMT of type AIII (chGUE)
H ∈ GL(N,C)
m f iH *ji ψ f ,i
Z = ∫ dHdψ dψ exp−H ij* H ij + ∑ (ψ Rf ,iψ Lf ,i )
Lf ,i
iH ij m f ψ R
f
€
f ,i g,i
g, j f , j
f ,i f ,i
f ,i f ,i
= ∫ dψ dψ exp−(ψ R ψ L )(ψ L ψ R ) + ∑ m f ((ψ R ψ L ) + (ψ L ψ R ))
f
∫ dQdψ dψ exp{−Q Q + (iQ
= ∫ dQ e
det (Q − iM)det
*
fg
=
-tr Q + Q
fg
N +ν
fg
N
+ M fg )(ψ Lf ,iψ Rg,i ) + (iQ*fg + M fg )(ψ Rf ,iψ Lf ,i )}
(Q+ − iM)
Q ∈ (GL(n,C) / U(n)) × U(n)
very massive at large N
⇒ fix by saddle point
N →∞
€
€
Z=
ν
∫ dU (det U)
e
N ℜe tr MU
€
U ∈ U(n)
Goldstone mfd
普遍性
同一の
自発的
対称性破れ
N→∞
exp(-tr H2)
exp(-tr V(H))
exp(-tr (H+A)2)
…
Anderson
Gauss Anderson
普遍的な
微視的相関関数
固有値分布
dµ (H ) = dH e
−tr H + H
Π f det ( H + H + m 2f )
/ ) = ±i EV(H + H )
EV( D
= {±i λ1 ,...,±i λ N , 0,..., 0}
€
{
{
− λ2i
}
}
Jacobian
2 β
j
dµ (λ ) = Π dλi e Π(λ + m ) λ
Πλ −λ
i
f
i> j
€
β
−zi
2
β (ν +1)/2−1
= Π dzi e Π( zi + m f ) zi
Π zi − z j
i
2
i
2
f
β (ν +1)−1
i
f
2
i
i> j
zi ≥ 0
Laguerre型
€
cf. Gaussian=Hermite型
準位密度
β=1
β=2
β=4
微視的準位密度・ 第1~4番目の準位の分布
ζ1
ζ2
NF=0,
ζ3
ζ4
C hermitian
Damgaard SN 01
微視的準位密度
NF = 3
C hermitian
最小準位分布
Damgaard SN 98
quark
mass
微視的準位密度
NF = 1
R symmetric
NF = 2
H selfdual
Nagao SN 00
格子実験による
Dirac準位統計の検証
Quenched
最小固有値の分布
2準位相関関数
SU(2), NF=0, staggered V=84
Berbenni et al 97
Dynamical Quarks
微視的準位密度
質量
SU(2), NF=4, staggered V=84
Berbenni et al 98, Akemann Kanzieper 00
€
µ ≡ mq ρ (0) / π
Dynamical Quarks
最小固有値の分布
SU(2), NF=4, staggered, V=84
Berbenni et al 98
Topology
最小固有値の分布
SU(2)
SU(3)
SU(3) adj
ν=0
ν=1
NF=0, overlap
V=44 Edwards et al 99
Topology
最小固有値の累積分布
SU(3), NF=0, overlap
best fit →
ψ ψ = (256 MeV)3
V=104
Bietenholz et al 03
(L = 1.23 fm)
Thousless energy
large
physical
size
1.23 fm
0.98 fm
一致は悪くなる
β=5.85 に対して Ec ~ 1.2 fm
small
physical
size
Topology
固有値の比
parameter
free!
: Damgaard-SN
prediction ’00
from chRMT
SU(3), NF=0, overlap V=204
Giusti Luscher et al 03
(L = 1.49 fm)
Finite Density
+
バリオン数化学ポテンシャル µ ψ ψ = µ ψ γ 0ψ 導入
/ →D
/ + µγ 0 非エルミート
D
€
/ + µγ 0 + m) が複素数
Boltzmann重み det(
€D
⇒ dynamical quarkの数値実験が困難
€
迂回策:
･phase quenched
･(擬)実表現 fermion
Finite Density
/ →D
/ + µγ 0
D
カイラルランダム行列で とした +
+
m
iH
+ µ
f
H
∏ detiH + µ m
f
f
−tr H
dH
e
∫
€
N ℜe tr MU −Nµ 2 tr [U ,B ][U + ,B ]
→ Z ChPT = ∫ dU e
Z ChRMT =
€ 複素固有値分布がPQ法で得られた
Splittorff-Verbaarschot 04
Osborn 04, Akemann 04
Stephanov 96
Finite Density
複素固有値の分布
SU(2), NF=2, staggered
Akemann et al 04
µ=0.001
V=64
Finite Density
複素固有値の分布
SU(2), NF=2, staggered
Akemann et al 04
µ=0.2
V=64
chiral
symmetry
kinematics
Dirac準位統計
有限体積から
低エネルギー定数Σ
の厳密測定
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