DL - システム工学科 - 静岡大学

平成 17 年度卒業論文
移動の効果を取り入れた伝染病モデル
静岡大学システム工学科
竹内研究室所属
50113042 白井政和
Contents
1 導入
3
2 モデルの導出
4
3 モデル解析
7
3.1 S のみ移動モデル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
3.2 全体モデル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
3.3 移動率 α1 , α2 モデル (S のみ移動) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.4 移動率 α1 , α2 モデル (S,I 移動) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4 考察
14
5 Appendix
15
5.1 Appendix A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
5.2 Appendix B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5.3 Appendix C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5.4 Appendix D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1
6 参考文献
25
7 謝辞
26
2
Chapter 1
導入
伝染病モデルは今までも数多く研究されてきたが、都市間の人の移動の効果（例えば飛
行機などで感染者と接触して感染してしまうことなど）をモデルに取り入れた研究はな
い。
なぜこの効果が必要であるのかは、例えば発展途上国などでは人が都市間を移動する場合
には混雑した列車や飛行機を利用し、移動途中で感染が起きると、まだ感染が起きていな
い都市での伝染病の突発的な広がりやダイナミクスの変化が起きる可能性があるからで
ある。したがって伝染病の広がりのモデルを考える上で人の移動は重要な要素であるとい
える。
本論文では 2 つの都市を考え、人口を S （感受性人口）、I （感染人口）に分け、さらに移
動制限また都市間の移動率を変化させて様々な状況を考えて、伝染病の広がりを解析して
いく。
3
Chapter 2
モデルの導出
2 都市での SI モデルを考えていくための仮定を以下に示す。
仮定
・子供の増加数 a は単位時間あたり一定で S に加える。
・S の自然死亡率 b 一定
・I の回復率 d
・I の死亡率 c（自然死亡率＋伝染病での死亡率）
βS I
j j
・ Sj +I
(j = 1, 2) 都市 j の S と I が出会い感染率 β で感染する。
j
・都市 i から都市 j に確率 α で移動する。（i = j i, j = 1, 2）
γαS I
・ Sj +Ij jj (j = 1, 2) 移動中に S と I が出会い感染率 γα で感染する。
・移動中に出産、死亡はしない。
・移動中に I は回復しない
4
状態遷移図は次のようになる。
b
c
a
S1
β
d
都市１
I 1
γα
死亡
子供
b
c
a
α
β
I 2
α γα
α
d
S2
都市２
Figure 2.1: 遷移図
これらの仮定から次のモデルが成り立つ。
βS1I1
γαS2 I2
− bS1 + dI1 − αS1 + αS2 −
S˙1 = a −
S1 + I 1
S2 + I 2
βS1I1
γαS2 I2
− (c + d + α)I1 + αI2 +
I˙1 =
S1 + I 1
S2 + I 2
βS2I2
γαS1 I1
− bS2 + dI2 − αS2 + αS1 −
S˙2 = a −
S2 + I 2
S1 + I 1
βS2I2
γαS1 I1
− (c + d + α)I2 + αI1 +
I˙2 =
S2 + I 2
S1 + I 1
5
(2.1)
もし人の移動が無いとすれば（α = 0）、簡単な SI モデルになる。
βSI
S˙1 = a −
− bS + dI.
S+I
βSI
− (c + d)I.
I˙1 =
S+I
(2.2)
この (2,2) 式の基本再生産数（一人の感染者が感染期間中に感染させることの出来る数）は、
R0 =
β
.
c+d
(2.3)
¯ 0)、(S ∗, I ∗) の 2 つあり、
また (2,2) 式の平衡点は (S,
a(c + d)
a[β − (c + d)]
a
S¯ = , S ∗ =
, I∗ =
.
b
b(c + d) + c[β − (c + d)]
b(c + d) + c[β − (c + d)]
(2.4)
R0 で書き直すと、
S∗ =
a
a(R0 − 1)
, I∗ =
.
b + c(R0 − 1)
b + c(R0 − 1)
(2.5)
¯ 0) は R0 < 1 で大域安定で、endemic(S ∗, I ∗) は R0 > 1 で存在し、
平衡点 disease free(S,
かつ安定である。
6
Chapter 3
モデル解析
3.1
S のみ移動モデル
感受性人口 S だけが移動可能で、感染人口 I は移動出来ない場合。
βS1I1
− bS1 + dI1 − αS1 + αS2
S˙1 = a −
S1 + I 1
βS1I1
− (c + d)I1
I˙1 =
S1 + I 1
βS2I2
− bS2 + dI2 − αS2 + αS1
S˙2 = a −
S2 + I 2
βS2I2
− (c + d)I2
I˙2 =
S2 + I 2
平衡点と安定性は次のようになった。
7
(3.1)
Table 3.1: 安定性
平衡点
存在条件
安定性
P1∗ ( ab , 0, ab , 0)
always
R0 < 1
P2∗ (S ∗ , I ∗, S ∗, I ∗)
R0 > 1
R0 > 1
P3∗(S¯1 , 0, S¯2 , I¯2)
R0 > 1
不安定
P4∗(S¯1 , I¯1, S¯2 , 0)
R0 > 1
不安定
S ∗ , I ∗ は (2.4) 式によって定義されている。
a + αS¯2 ¯
a(b + 2α)
S¯1 =
, S2 =
, I¯2 = (R0 − 1)S¯2
b+α
b(b + 2α) + c(b + α)(R0 − 1)
(3.2)
S¯1 、S ∗、I ∗ は (2.4) 式によって与えることが出来る。この事は感受性人口だけの移動では
最終人口サイズ (S¯1, I¯1, S¯2 , 0)、(S ∗ , I ∗, S ∗, I ∗) は変わらないことを説明している。
3.2
全体モデル
両都市における感受性人口 S 、感染人口 I は自由に都市を移動できる場合で都市間の移
動率は α で共通。今までの基本再生産数とは異なるので、新たな基本再生産数を定義す
ると、
R0γ = R0 +
8
β
.
c+d
(3.3)
βS1I1
γαS2 I2
− bS1 + dI1 − αS1 + αS2 −
S˙1 = a −
S1 + I 1
S2 + I 2
I
I
βS
γαS
1 1
2 2
− (c + d + α)I1 + αI2 +
I˙1 =
S1 + I 1
S2 + I 2
βS2I2
γαS1 I1
− bS2 + dI2 − αS2 + αS1 −
S˙2 = a −
S2 + I 2
S1 + I 1
βS2I2
γαS1 I1
− (c + d + α)I2 + αI1 +
I˙2 =
S2 + I 2
S1 + I 1
(3.4)
平衡点と安定性は次のようになった。
Table 3.2: 安定性
Sγ∗ =
平衡点
存在条件
安定性
P1∗ ( ab , 0, ab , 0)
always
R0γ < 1
P2∗ (Sγ∗ , Iγ∗, Sγ∗, Iγ∗)
R0γ > 1
R0γ > 1
a(c + d)
a[β + γα − (c − d)]
, Iγ∗ =
.
b(c + d) + c[β + γα − (c − d)]
b(c + d) + c[β + γα − (c − d)]
(3.5)
R0 を用いると、
Sγ∗ =
a(R0γ − 1)
a
, Iγ∗ =
.
b + (R0γ − 1)
b + c(R0γ − 1)
(3.6)
平衡点は P1∗ (diseasef ree) と P2∗(endemic) の 2 点で、それぞれの安定性は Appendix
B 参照。
移動なしで両都市で伝染病が定着していない (R0 < 1) としよう。移動が十分に小さけ
れば (γα :小)、R0γ < 1 なので伝染病は定着しない。しかし移動が大きくなると R0γ > 1
となり伝染病が定着することになる。
9
次に移動なしで両都市にすでに伝染病が定着している (R0 > 1) としよう。この時次の
ような意味で移動は事態を深刻にすることが分かる。
1. γ = 0 の時、
Sγ∗ = S ∗ , Iγ∗ = I ∗
γ > 0 の時、
∂Sγ∗
∂γ
< 0,
∂Iγ∗
∂γ
=
abα
[b(c+d)+c[β+γα−(c+d)]]2
>0
よって Sγ∗ < S ∗ ,Iγ∗ > I ∗
つまり γ の増加に伴って感受性人口 S は減少し、感染人口 I は増加する。
2. γ = 0 の時、
Sγ∗ + Iγ∗ = S ∗ + I ∗
γ > 0 の時、
Sγ∗ + Iγ∗ =
∂
(Sγ∗
∂γ
a(β+γα)
c(β+γα)−(c−b)(c+d)
+ Iγ∗) =
−aα(c−b)(c−d)
[c(β+γα)−(c−b)(c+d)]2
<0
つまり γ の増加に伴って総人口は減少している。
3.
I∗
∂
( γ )
∂γ Sγ∗ +Iγ∗
=
Sγ∗
∗
∂Iγ
∂S∗
−Iγ∗ ∂γγ
∂γ
(Sγ∗ +Iγ∗ )2
>0
つまり総人口に対する感染人口 I の割合は γ の増加に伴って増加する。
以上をまとめると γ が大きいときには総人口が減少しているにも関わらず、総人口
に対する感染人口 I の割合が大きくなってしまっている。
10
3.3
移動率 α1, α2 モデル (S のみ移動)
都市間の移動率を変えた場合。今までのモデルは都市間の移動率は α で共通だったが、
このモデルは都市 1 から都市 2 の移動率を α1 、都市 2 から都市 1 への移動率は α2 とする。
また移動出来るのは感受性人口 S のみで、感染人口 I は移動出来ない。
βS1I1
− bS1 + dI1 − α1 S1 + α2S2
S˙1 = a −
S1 + I 1
βS1I1
− (c + d)I1
I˙1 =
S1 + I 1
βS2I2
− bS2 + dI2 − α2 S2 + α1S1
S˙2 = a −
S2 + I 2
βS2I2
− (c + d)I2
I˙2 =
S2 + I 2
平衡点と安定性は次のようになった。
Table 3.3: 安定性
平衡点
存在条件
安定性
a(b+2α2 )
a(b+2α1 )
P1∗ ( b(b+α
, 0, b(b+α
, 0)
1 α2 )
1 α2 )
always
R0 < 1
P2∗ (S1 , I1, S2, I2)
R0 > 1
R0 > 1
P3∗(S˜1 , 0, S˜2 , I˜2)
R0 > 1
不安定
P4∗(Sˆ1 , Iˆ1, Sˆ2 , 0)
R0 > 1
不安定
11
(3.7)
S1 =
S2 =
S˜2
Sˆ1
a[b + c(R0 − 1) + 2α2 ]
, I1 = (R0 − 1)S1
[b + c(R0 − 1) + α1 + α2 ][b + c(R0 − 1)]
a[b + c(R0 − 1) + 2α1 ]
, I2 = (R0 − 1)S1
[b + c(R0 − 1) + α1 + α2 ][b + c(R0 − 1)]
a + α2 S˜2
S˜1 =
b + α1
a(b + 2α1 )
=
, I˜2 = (R0 − 1)S˜2
b(b + α1 + α2 ) + c(b + α1 )(R0 − 1)
a(b + 2α2 )
=
, Iˆ1 = (R0 − 1)Sˆ1
b(b + α1 + α2 ) + c(b + α2 )(R0 − 1)
a + α1 Sˆ1
Iˆ2 ==
b + α2
感受性人口 S のみの移動では、基本再生産数 R0 で伝染病が定着するか、絶滅するか決
まる。都市間の移動率を変えたにもかかわらず、モデル (3.4) のようなことは起こらない。
よって都市内での感染率 β が高いと伝染病は定着して、β を抑えることが出来れば伝染病
は絶滅する。
12
3.4
移動率 α1, α2 モデル (S,I 移動)
最後に都市間の移動率を変えて両都市の感受性人口 S 、感染人口 I の両方が移動できる
場合。
βS1I1
γα2 S2I2
− bS1 + dI1 − α1 S1 + α2 S2 −
S˙1 = a −
S1 + I 1
S2 + I 2
βS1I1
γα2 S2I2
− (c + d + α1 )I1 + α2 I2 +
I˙1 =
S1 + I 1
S2 + I 2
βS2I2
γα1 S1I1
− bS2 + dI2 − α2 S2 + α1 S1 −
S˙2 = a −
S2 + I 2
S1 + I 1
βS2I2
γα1 S1I1
− (c + d + α2 )I2 + α1 I1 +
I˙2 =
S2 + I 2
S1 + I 1
(3.8)
平衡点と安定性は次のようになった。
Table 3.4: 安定性
平衡点
存在条件
安定性
a(b+2α2 )
a(b+2α1 )
P1∗ ( b(b+α
, 0, b(b+α
, 0)
1 α2 )
1 α2 )
always
2β < H
P2∗ (S, I, S, I)
不明
不明
H = 2c + 2d + α1 + α2 −
(α1 + α2 )2 + 4α1 α2 γ(2 + γ).
(3.9)
endemic の平衡点の存在、安定条件は求められていない。しかしシュミュレーション
で今までのモデルのように、disease free 平衡点の安定条件の不等号を反対にするような
(2β > H) パラメータで行うと、endemic な平衡点は存在し安定であることが分かった。
よって γ を大きくすると、disease free の平衡点の安定性条件は崩れやすくなる。つまり
全体モデルの結果と同じである。
13
Chapter 4
考察
都市間の移動率を変化させても感受性人口だけの移動では安定性に変化はなく、一つの
都市での SI モデルと同じ結果である。さらに感受性人口も感染人口も移動できるように
し、γ を大きくすると disease free 平衡点の安定条件は崩れ平衡点は endemic になり、伝
染病は定着する。そういった意味では全体モデルと変わらない結果となった。
つまり本研究で人の移動は伝染病の拡がりを変えてしまうかもしれない要素の一つであ
ることが分かった。
最後に今後の課題としては、endemic の平衡点の値、安定条件の決定でこのモデルは全
て解析できる。
14
Chapter 5
Appendix
5.1
Appendix A
(3.1)Model のヤコビ行列は次のようになる。


S1 I1 2
S1 I1 2
β( S1 +I1 )
α
0

 −β( S1 +I1 )




S1 I1 2
S1 I1 2
)
β(
)
−
(c
+
d)
0
0
β(


S1 +I1
S1 +I1


J=

S2 I2 2
S2 I2 2


)
−
b
−
α
−β(
)
+
d
α
0
−β(


S2 +I2
S2 +I2


S2 I2
S2 I2 2
β( S2 +I2 ) − (c + d)
0
0
β( S2 +I2 )
P1 の安定性を調べる。
disease free(P1) のヤコビ行列は、
15


−β + d
α
0
 −b − α





β − (c + d)
0
0
 0



J (P1 ) = 

 α

0
−b
−
α
−β
+
d




0
0
0
β − (c + d)
固有値は λ1 ,2 = (c + d)(R0 − 1), λ3 = −b, λ4 = −(b + 2α) である。
よって disease free(P1) は R0 < 1 の時、安定である。
次に P2 の安定性を調べる。


A B 
J (P2 ) = 

B A
行列 A, B は

S1∗ I1∗ 2
 −β( S1∗ +I1∗ )
A=
−b−α
S1∗ I1∗
S1∗ +I1∗
S1∗ I1∗
S1∗ +I1∗

+d
β(
)2 − (c + d)

α 0 
B=

0 0


B
 A + B − λI

det(A − B) = 

A + B − λI A − B − λI


B
 A + B − λI

=

0
A − B − λI
β(
)2
S∗ I ∗
−β( S ∗1+I1∗ )2
1
1



= det(A + B − λI)det(A − B − λI)
つまり J (P2 ) の固有値を求めることは、det(A + B), det(A − B) の固有値をそれぞれ求め
ることである。
16

S∗ I ∗ 2
 −β( S ∗ +I ∗ )
A+B =
−b
S∗ I ∗
∗I∗
2
−β( SS∗ +I
∗)

+d
S∗ I ∗
−β( S ∗ +I ∗ )2
−β( S ∗ +I ∗ )2 − (c + d)


∗ ∗
I
2
R0 < 1 ならば、−β( SS∗ +I
∗ ) − (c + d) < 0
よって tr(A + B) < 0 が得られた。そして
I∗
S∗
I∗
S∗
2
2
2
)
+
b][β(
)
−
(c
+
d)]
−
β(
)
[β(
)2 + d]
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
S +I
S +I
S +I
S +I
∗
I∗
I
= cβ( ∗
)2 − b[β( ∗
)2 − (c + d)]
∗
∗
S +I
S +I
det(A + B) = −[β(
>0
つまり行列 A+B の固有値は負の実部を持つ。さらに、


S∗ I ∗ 2
S∗ I ∗ 2
−β( S ∗ +I ∗ ) + d

 −β( S ∗ +I ∗ ) − b − 2α
A−B =

∗
∗
∗
∗
I
S I
2
2
)
−β(
)
−
(c
+
d)
−β( SS∗ +I
∗
S ∗ +I ∗
tr(A − B) < 0, det(A − B) > 0 は簡単に証明できる。
よって P2 の固有値は負の実部を持ち、存在すれば安定である。
最後に P3 , の安定性を調べる。


−β + d
α
0
 −b − α





β − (c + d)
0
0
 0



J (P3 ) = 

¯
¯
I2
S2
2
2
 α

)
−
b
−
α
−β(
)
+
d
0
−β(


S¯2 +I¯2
S¯2 +I¯2


¯
¯
−β( S¯2S+2I¯2 )2 − (c + d)
0
0
−β( S¯2I+2 I¯2 )2
R0 > 1 ならば不安定で、つまり存在すれば不安定である。同じように P4 についても言
える。
17
5.2
Appendix B
P1∗ の安定性から調べる。


−β + d
α
γα

 −b − α




β − (c + d + α)
0
α + γα

 0

J (P1 ) = 



 α
−γα
−b − α
−β + d




0
α + γα
0
β − (c + d + α)
この行列の固有値は
λ1 = β + γα − (c + d), λ2 = β − (c + d + 2α + γα), λ3 = −b, λ4 = −(b + 2α)
である。よって R0γ < 1 の時、安定である。P2∗ のヤコビ行列は次のようになる。


A B 
J (P2∗) = 

B A
行列 A, B は、


1 2
)
R0γ
− Rβ2
0γ
−b−α
+d

 −β(1 −
A=

β
1 2
− R2 − (c + d + α)
β(1 − R0 )
γ
0γ


γα
1 2
− R2 
 α − γα(1 − R0γ )
0γ
B=

γα
1 2
γα(1 − R0 )
α + R2
γ
0γ
Appendix A と同様に行列 A + B, A − B の固有値を調べればよい。

1 2
)
R0γ
 −(β + γα)(1 −
A+B =
(β + γα)(1 −

−b
1 2
)
R0γ
18
− β+γα
R20γ
+d
(c + d)( R10 − 1)
γ



1 2
)
R0γ
 −(β − γα)(1 −
A−B = 
(β − γα)(1 −
− b − 2α
1 2
)
R0γ
−(β −
γα) R12
0γ

+d
(β − γα) R12 − (c + d + 2α)


0γ
初めに行列 A + B を考える。明らかに det(A + B) < 0 で、(2.1) 式の第二式から、
(β + γα)
1
− (c + d) = 0,
R0γ
R0γ > 1 より
(β + γα)
1
− (c + d) < 0
R20γ
det(A + B) = [b + (β + γα)(1 −
+ (β + γα)(1 −
1
1 2
) ][(c + d) − (β − γα) 2 ]
R0γ
R0γ
1
1 2
) [(β + γα) 2 − d]
R0γ
R0γ
= c[b + (β + γα)(1 −
> [b + (β + γα)(1 −
= c(β + γα)(1 −
(5.1)
1
1 2
) ] + b[d − (β − γα) 2 ]
R0γ
R0γ
1 2
) ] − bc
R0γ
1 2
)
R0γ
>0
tr(A + B) < 0, det(A + B) > 0 より行列 (A+B) の固有値は負の実部を持つ。
次に行列 (A-B) を考える。
tr(A − B) = −β((1 −
1 2
1 2
1
) ) + [γ(1 −
) − 4]α − b + [(β − γα)
− (c + d)]
R0γ
R0γ
R0γ
また 0 < γ < 1, R0γ > 1, (5.1) より、
19
tr(A − B) < [(β + γα)
1
− (c + d)] < 0.
R0γ
次に det(A − B) を考える。
1
1
= (β − γα + 2γα) 2
2
R0γ
R0γ
(β − γα) = (2R0γ − R0γ )(c + d)
(c + d) = (β + γα)

1 2
)
R0γ
 −(β − γα)(1 −
A−B = 
(β − γα)(1 −
− b − 2α
1 2
)
R0γ
−(β −
γα) R12
0γ
(5.2)
(5.3)

+d
(β − γα) R12 − (c + d + 2α)
0γ



C≡


−(c + 2α)
c+d
(β − γα)(1 −
1 2
) )
R0γ
(β − γα) R12 − (c + d + 2α)


0γ
よって
det(A − B) = det(c)
= (b + 2α)(c + d + 2α) − (b + 2α)(β − γα)
+ (c + 2α)(β − γα)(1 −
1
R20γ
1 2
)
R0γ
det(A − B) の固有値を考える場合、次の２通りを考えればよい。
1.R0γ < 2R0 .
(5.2), (5.4) で書き換えると、
det(A − B) = det(c)
= (b + 2α)(2γα
1
+ 2α)
R0γ
+ (β − γα)(b + 2α)
1
1
1 2
(1 −
) + (β − γα)(c + 2α)(1 −
)
R0γ
R0γ
R0γ
20
(5.4)
(5.4) より、det(A − B) > 0
2.R0γ > 2R0
(5.4) で書き換えると、
det(A − B) = det(c)
= (b + 2α)d + (c + 2α)[b + β(1 −
− (b + 2α)(β − γα)
1 2
1 2
) + 2 − γ(1 −
) α
R0γ
R0γ
1
]
R20γ
(5.3), R0γ > 1, 0 < γ < 1 より、det(A − B) > 0
1, 2 より R0γ > 1 ならば det(A − B) > 0
よって平衡点 P2∗ は R0γ > 1 ならば安定。
5.3
Appendix C
P1∗ のヤコビ行列は、
disease free(P1) のヤコビ行列は、


−β + d
α2
0

 −b − α1




0
β − (c + d)
0
0



J (P1 ) = 


 α1
0
−b − α2
−β + d 




0
0
0
β − (c + d)
21
固有値の１つが λ = β − (c + d) である。
|λI − P1∗ | =
λ + b + α1
β −d
−α2
0
0
λ − β + (c + d)
0
0
−α1
0
λ + b + α2
β−d
0
0
0
λ − β + (c + d)
一列で展開し整理すると、
|λI − P1∗ | = (λ − β + (c + d))2 [(λ + b + α1 )(λ + b + α2 ) + α1 α2 ]
λ1 > 0 つまり R0 < 1 の時、平衡点 P1∗ は安定である。
P2 のヤコビ行列は

1 2
)
R0

−β R12
0
− b − α1
+d
α2
0

 β(1 −




β R12 − c − d
0
0
β(1 − R10 )2


0


J (P1 ) = 

1
1

0
β(1 − R0 )2 − b − α2 −β R2 + d 
α1


0


1 2
1
β R2 − c − d
0
0
β(1 − R0 )
0
行列 A, B1, B2 を次の様におく。


1 2
1
 β(1 − R0 ) − b −β R20 + d 
A=

β R12 − c − d
β(1 − R10 )2
0


 α1 0 
B1 = 

0 0
22


 α2 0 
B2 = 

0 0
よって行列 J (P2∗) は、


B2 
 A − B1
J (P2∗ ) = 

B1
A − B2
|λI − P2∗ | =
λI − A + B1 + B2
B2
0
λI − A
よって行列 J (P2∗) の固有値は、行列 A, A − B1 − B2 を調べればよい。


1 2
1
 β(1 − R0 ) − b −β R20 + d 
A=

β R12 − c − d
β(1 − R10 )2
0


 β(1 −
A − B1 − B2 = 
1 2
)
R0
− b − α1 − α2
β(1 −
1 2
)
R0
−β R12
0
β R12
0
+d 

−c−d
tr < 0, det > 0 の条件で簡単に R0 > 1 のとき安定という事は証明できる。
P3 のヤコビ行列は、


−β + d
α2
 0


 0 β − (c + d) 0
J (P1) = 

 α1
0
∗


0
0
∗
0


0


∗


∗
固有値の１つが λ1 = β − (c + d) であることが分かる。R0 > 1 の時考えているので、不
安定。
P4∗ も同様に求まるので省略。
23
5.4
Appendix D
disease free(P1) のヤコビ行列は、


−β + d
α2
−γα2

 −b − α1




0
β
−
(c
+
d
+
α
)
0
α
+
γα


1
2
2


J (P1 ) = 


 α1
−γα
−b
−
α
−β
+
d
1
2




0
β − (c + d + α2 )
0
α1 + γα1
|λI − P1∗ | =
λ + b + α1
β−d
−α2
γα2
0
λ − β + (c + d + α1 )
0
−α2 − γα2
−α1
γα1
λ + b + α2
β−d
0
−α1 − γα1
0
λ − β + (c + d + α2 )
この固有方程式の安定条件は行列Ｄの安定条件と同じである。


α2 + γα2

 β − (c + d + α1 )
D=

α1 + γα1
β − (c + d + α2 )
行列Ｄの最大の固有値は、
1
(2β − 2c − 2d − α1 − α2 +
2
(α1 + α2 )2 + 4α1 α2 γ(2 + γ))
よって実部が負になればよいので、
2β < 2c + 2d + α1 + α2 −
(α1 + α2 )2 + 4α1 α2 γ(2 + γ) = H
24
Chapter 6
参考文献
[1]Spreading Disease with Transport-Ralated Infection,
JING’AN CUI, YASUHIRO TAKEUCHI, YASUHISA SAITO, J.Theor.Biol.(in press)
25
Chapter 7
謝辞
本研究を進めるにあたり、適切なご指導を頂いた竹内康博教授、齋藤先生また劉さんに深
く感謝します。また同研究室の先輩方にも親切な助言を頂き心より感謝します。
26

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