離散型の確率分布確率分布の期待値と分散  基準化確率変数、歪度及び尖度  二項分布  ベルヌーイ分布  確率変数の期待値  期待値(Expected Value):確率をウェートとする確率変数の加重平均値。 n   E ( X )   xi p( xi ) i 1 確率変数の分散  確率変数Xの期待値からの偏差の2乗の期待値を分散（Variance）という。 n  2  V ( X )   ( x1   ) 2 p( xi ) i 1   2 と S 2 との違いは確率の要因が入っているか否かである。なお、Sと同様、  を標準偏差（Standard deviation）という。期待値の性質 A.  B.  C.  D.  E.  E (c )  c E (cX  b)  cE ( X )  b, とくに E ( X   )  0 V ( X )  E( X   )2  E( X 2 )   2 E ( X  c) 2 を最小にする c は, c = である V (cX  b)  c2V ( X ), 即ち,  2cxb  c2 x2 基準化確率変数の期待値と分散  確率変数Ｘの期待値が μ，標準偏差が σのとき Z X   を基準化確率変数という。Zの期待値、分散は Z  E(Z )  0,  Z2  V (Z )  1 基準化確率変数の歪度と尖度  実数のデータにもとづく歪度,尖度と同様に, X の確率分布の歪みと尖りを示す測度を基準化確率変数 Z を使って以下のように定義する。 1  E ( Z 3 )  E ( X   )3 /  3  2  E (Z 4 )  E ( X   )4 /  4 二項分布(Binomial distribution) 1回の試行  AとBという二つの結果しか得られない  ｎ回の独立な試行を繰り返し  Aがｋ回起こる確率をｐとする(k=1.2…n) k n k  各点に対する確率 P( X  k )n Ck p (1  p) Bi (n, p) で表す   確率関数と分布関数  確率関数 P( X  k )n Ck p (1  p) k x  分布関数 x  P( X  k )   k 0 k 0 Ck p (1  p) k n n k nk パラメータ：ｎとｐ  ｎが試行の回数, pがｋ回起こる確率.  ベルヌーイ試行(Bernoulli trials)：同じ条件でかつ独立にｎ回繰り返すこと.  二項分布でn=1の場合をベルヌーイ分布という。即ち、 P( x)  p x q1 x ｘ＝0または1 二項分布の期待値と分散   期待値：   np 分   np(1  p) 散： 2 二項分布の確率関数二項分布（n=10, p=0.5) f(x) 0.30000 0.25000 0.20000 0.15000 0.10000 0.05000 0.00000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 二項分布の確率関数と分布関数二項分布（n=10, p=0.5) f(x) f(x) F(x) 1.20 1.00 0.80 0.60 0.40 0.20 0.00 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x 例題：P103,② 解説：打ち上げが成功する回数Xは、p=0.95, ｎ=4の二項分布に従う。 4 4 k 3 k 3 P( X  3)   P( X  k )   4 Ck 0.95k 0.054k 4 C3 0.9530.051 4 C4 0.9540.050  0.986 ベルヌーイ分布(Bernoulli Distribution)     n=1のとき、二項分布はベルヌーイ分布となり、 Bi(1,p)で示す。ベルヌーイ試行は以下の３つの条件を満たす試行である。試行結果は成功あるいは失敗のいずれかである。各試行は独立である成功確率p（失敗確率q=1-p）は試行を通じて一定である。ベルヌーイ分布の確率関数と分布関数ベルヌーイ試行に対し、次の確率変数Xを定義する。  1 , 成功 p=成功確率 0 , 失敗 q=1-p=失敗確率   X { x 1 x 確率関数： p q  分布関数: F(0)=1-p, F(1)=1  期待値＝p, 分散＝pq  練習問題  市場のメロンの95%は成熟しているが、残り5%は未熟とする。いま、任意に１つのメロンを買ったとき、それが成熟している確率はいくらか。また、任意に５つのメロンを買ったとき、３つ以上成熟している確率を求めてみよう。