確率･統計Ⅰ

確率･統計Ⅰ
第6回ベルヌイ試行と二項分布
ここです！
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確率論とは
確率変数、確率分布
確率変数の独立性／確率変数の平均
確率変数の平均（続き）、確率変数の分散
確率変数の共分散、チェビシェフの不等式
ベルヌイ試行と二項分布
二項分布（続き）、幾何分布など
二項分布の近似、ポアソン分布、正規分布
正規分布とその性質
i.i.d.の和と大数の法則
中心極限定理
統計学の基礎1（母集団と標本、確率論との関係）
統計学の基礎2（正規分布を用いた推定・検定）
ベルヌイ試行と二項分布
1. ベルヌイ試行
2. 二項分布
・二項分布の公式
・例題
・パラメータによるグラフの変化
ベルヌイ試行
独立試行の繰り返しのことをベルヌ
イ試行という。
例1：一個のサイコロを繰り返し投げる
例2：一個の硬貨を繰り返し投げる
正確には…：
ベルヌイ試行
A) 試行結果は「成功」Ｓあるいは「失敗」Ｆの
いずれか１つである。
B) 成功確率 p は、試行を通じて一定である。
（したがって失敗確率 q=1-p も一定。）
C) 試行は独立である。すなわち、他の試行
結果によって p の値は変化しない。
繰り返す回数のことをベルヌイ試行の長さという
ベルヌイ試行
例
•サイコロ投げで、6の目が出るかどうか
•コイン投げ（表か裏か）
•無作為に選ばれた動物のオスかメスかを知る
•製品検査（良あるいは不良）
•マージャン（勝つか負けるか）
•カンニング（見つかるかどうか）
•小泉内閣を支持するか否か
•薬の投与によってある病気が治療するか否か
ベルヌイ試行と二項分布
1. ベルヌイ試行
2. 二項分布
・二項分布の公式
・例題
・パラメータによるグラフの変化
二項分布
・長さ n のべルヌイ試行（一回あたりの「成
功」確率pとする）で、「成功」の回数を X とす
る。
(回数以外の情報は捨てていることに注意）
・確率変数
X の分布を二項分布と呼ぶ。
X のとりうる値は、0,
1, 2, …, n
・二項分布のパラメータは、 n と p の2つ
B ( n , p ) と書く
二項分布
例：サイコロを3回投げ、1が出る回数を X とする。
X の確率分布は「成功」確率 p=1/6 の二項分布。
X
0
確率
5
 
6
3
 5
3  
 6
1
2
2
 5  1 
3    
 6  6 
1
 
 6
n=3, (1/6)がp, (5/6)がq=1-p
3
2
1
 
6
3
この3は?
二項分布
例：サイコロを3回投げ、1が出る回数を X とする。
たとえば、 X=2 となるのは
成功…○
1
失敗…×
2
3
○○×
1,2,3の３つから2つ
取る組み合わせ 3C2
○×○
×○○
の 3 とおりで、確率はどれも p2q
だから、P( X=2 ) = 3C2 ・ p2q = 3 p2q
二項分布
例2：サイコロを4回投げ、1が出る回数を X とする。
これだと、 X=2 となるのは
1,2,3,4 の4つから2つ
取る組み合わせ 4C2
1 2 3 4
○○××
○×○×
○××○
×○○×
×○×○
××○○
の 6 とおりで、確率はどれも p2q2
だから、P( X=2 ) = 4C2 ・ p2q2 = 6 p2q2
二項分布
一般に、 X が二項分布 B (n, p) に従う場合の
確率分布表
X
確率
0
nC0 p
1
0 qn
1qn-1
nC2 p
2qn-2
……
……
npq
n(n  1) 2 n  2
p q
2
nCn-1 p
n-1q1
n
nCn p
nq0
=
n 1
n-1
=
=
=
=
q
n
nC1 p
2
npn1q
pn
二項分布
確率変数 X が二項分布B(n, p)に従
うとき、P( X = r ) は次の公式で与え
られる：
P( X  r )n Cr  p q
r
n r
（問）これが確かに確率分布であることを確かめよ。
（二項係数の計算法）
 n
n!
n Cr  
 r   r!(n  r )!
 
n(n  1)  (n  r  1)

r!
例：
理論（文字）計算用
実際（数値）計算用
10  9  8
 10  3  4  120
10 C3 
3  2 1
二項分布
参考：パスカルの三角形
0
1
2
3
4
5
n 行目
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
nC0 nC1 nC2
… nCn
が順に並ぶ
二項分布（例題）
例題：不良品率が2%のとき、ランダムに
選んだ10個のうち不良品が2個の確率を
求めよ。
確率変数 X を「選んだ10個の中の不良品の個数」とすると、
X は B(10, 0.02) に従う。
よって
P( X  2)
2
8
10 C2 (0.02) (0.98)  0.0153
［演習］二項分布
[1] 偏りのないコインを投げて、表が出たら勝
ち、裏が出たら負けとする。
5回やって4回以上勝つのと、10回やって8
回以上勝つのとでは、どちらが困難だろう
か。
（どちらも勝率としては「8割以上」である。）
［演習］二項分布
[2] ある学生が「俺は試験ではいつも5問中3
問解ける」とうそぶいている。いっぽう、O
理科大学は、5問中3問解ければ合格でき
ると言われている。入試問題が実際に5問
だったとして、この学生がO理科大学に合
格できる確率はいくらだろうか。
（ちなみに本人は、直感的に「当然8割くら
いはいけるだろう」と思っていたりする）
［演習］二項分布
[3] 1発打って当たる確率が3割の人が、
(1) 10発打ったとき、実際に3割つまり3発以
上当たる確率
(2) 5発打ったとき、少なくとも1発当たる確
率
を求めよ。
［演習］二項分布
[4] ある部品が一定期間内に故障を起こさな
い確率を「精度」と呼ぼう。
(1) 精度が0.999の部品1000個のうち、どの
部品も故障しない確率を求めよ。
(2) 精度が0.999の部品10000個のうち、ど
の部品も故障しない確率を求めよ。
二項分布 B(n, p) のグラフ
p = 0.5
n=4
np=2
0.4
0.375
0.3
0.25
0.25
0.2
0.1
0.0625
0.0625
0
0
1
約3割
2
約4割
3
4
約3割
二項分布 B(n, p) のグラフ
p による変化
(n = 10)
np=1
np=2
np=3
np=4
np=5
0.45
0.4
0.35
p = 0.5
p = 0.4
0.3
0.25
0.2
p = 0.3
0.15
p = 0.2
0.1
p = 0.1
0.05
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
二項分布 B(n, p) のグラフ
n による変化
(p = 0.2)
np=0.1
0.45
0.4
n=5
n=10
n=15
n=20
n=25
n=30
n=35
n=40
n=45
n=50
0.35
0.3
0.25
np=10
0.2
0.15
0.1
0.05
～50は省略
0
0
5
10
15
20
50
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