保険・年金論（第3回）リスクプーリング

統計基礎（第５回）
分布関数、平均と分散
いろいろな確率分布
早稲田大学大学院商学研究科
２０１５年５月１３日
大塚忠義
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Agenda
第５回分布関数、平均と分散
いろいろな確率分布
• 確率関数
• 分布関数、密度関数
• 平均
• 分散
• いろいろな確率分布
2
確率関数
・関数の表現
y  f ( x)
xが定まれば、計算式によりyが一意に定
まる
・確率関数
P(X=x)  f ( x)
・確率のモデル化：ある事象の確率変数が
定まると確率関数を用い、その事象が発
生する確率を求めることができる
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分布関数(1)
累積確率分布関数：（略して）分布関数
確率変数X（整数）がｘ以下である確率
k
F ( x)  P( X  x)   f ( xi )
i 1
x ：１以上の整数、 xi：
k：
より小さい確率変数
の数
F (0)  0
F ( )  1
P ( a  X  b)  P ( X  b)  P ( X  a )
 F (b)  F (a)
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分布関数(2)
一般化：連続型で確率変数X は実数
-  X＜
F ( x)  P( X  x)  
x

F ( )  


f (t )dt
f (t )dt  1
P(a  X  b)  F (b)  F (a )

b

f (t )dt  
a

b
f (t )dt   f (t )dt
a
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確率密度関数
確率密度関数：（略して）密度関数
・連続型の確率変数に対応する確率関数
・確率関数を一般化することによって解析
学を活用できるようにする
・密度関数は分布関数の導関数である：
分布関数を微分＝密度関数
密度関数を積分＝分布関数
dF ( x)
f ( x) 
dx
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密度関数
7
分布関数
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平均、期待値(1)
確率事象をモデル化するために必要な作業
１．確率事象を数値化し、確率変数とする
２．確率変数から確率を導き出す分布関数
または密度関数を定める
３．分布関数の特徴を要約する分布の代表
値（母数という）を求める
平均、分散：分布の代表値
⇐分布関数の特徴を要約した尺度
⇐基本統計量を同じ意味合い
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平均、期待値(2)
一般社会の平均の概念
X : 確率事象
xi : i番目の根本事象
n：根本事象の数
1 n
 =  xi
n i 1
※等確率であることが前提
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平均、期待値(3)
確率論における平均の一般化
X : 確率事象
xi : i番目の根本事象
P( X  xi )  f ( xi ) : Xに対する確率関数
n：根本事象の数
n
 = xi P( X  xi )
i 1
※事象が発現する確率を考慮した：加重平均
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平均、期待値(4)
連続型の表現する平均の一般化

＝ xf ( x)dx

確率変数X の平均はE ( X )と示す
E ( X )＝
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平均、期待値の性質
確率変数X の任意の関数をg ( x)とする

E ( g ( X ))＝ g ( x) f ( x)dx

a, b : 定数
E (aX  b)  aE ( X )  b
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分散(1)
V ( X )またはVar ( X ：分散
)
Var ( X )    E (( X   ) )
2
2
n
  ( xi   ) P ( X  xi )
2
i 1

  ( x   ) f ( x )dx
2

Var ( X )  E ( X )  
2
2
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分散(2)
a, b : 定数
Var (aX  b)  a Var ( X )
2
  Var ( X ：標準偏差
)
確率変数の標準化
確率変数X が平均分散 を持つとする
2
X 
確率変数Z 
の平均E (Z )  0、分散Var (Z )  1

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正規分布
N ( , )
2
1
(x  )
f ( x) 
exp(
)
2
2
2
N (0,1)
2
2
1
x
f ( x) 
exp( )
2
2
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Question?
お疲れ様でした
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