ディジタル信号処理 Digital Signal Processing 第１３講 sampling theorem 標本化（サンプリング）定理 連続時間信号の標本化 4.1 標本化定理(sampling Theorem) • • • • • 標本化 サンプルホールド回路 サンプラ 標本化周波数 帯域制限 などについて学び • 標本化定理 を理解する 関連情報１ ディジタル通信における標本化，量子化，符号化 • 標本化：一定の時間間隔で入力のアナログ信号の振幅を取 り出すことをいい、標本化回路の出力は、パルス振幅変調 （ＰＡＭ）波である。 • 量子化：標本化回路の出力の振幅を所定の幅ごとに区切っ てそれぞれの領域を１個の代表値で表し、アナログ信号の 振幅をその代表値で近似することを量子化とう。量子化ス テップの数が多いほど量子化雑音は小さくなる • 符号化：符号化とはディジタル量に符号を設定することをいう。 量子化された信号の各区間に，00･･･000から11･･･111を割 り当てる。 関連情報２ 音声信号処理における標本化，量子化，符号化 標本化 量子化：標本の値 を区分けする （電圧値を整数値 にする） 量子化誤差 細かく区切れ ば誤差は少 なくなる ８つの区分に量子化し た例 符号化の例：各 区分を３ビット で表現 A/D変換 アナログ信号を，時間的にも振幅的にも離散なディジ タル信号に変換したい • • • • • A/D変換器（D/A変換器）が用いられる 時間方向に離散化・・・標本化 振幅方向に離散化・・・量子化 実際のA/D変換器は，量子化も行っている 標本化の部分は，サンプルホールド回路が受け 持っている A/D変換器とサンプルホールド回路 サンプリング＝標本化 • 連続的なアナログ信号を，一定時間間隔で①取り 込み（sampling），②保持し（hold），③振幅を量子 ④符号化：二進数値にする 化（quantization ：2進数値に直す） • ①～②をサンプル＆ホールド回路で，③を狭義の A/Dコンバータが受け持つ ④まで受け持っている • ①において，一瞬だけ回路を閉じて，アナログ値を 取り入れるスイッチをサンプラという。 • スイッチを閉じる間隔をωs（またはｆs）で表し，サン プリング角周波数（サンプリング周波数）という。 A/D変換器に用いられる サンプルホールド回路の動作原理 手動スイッチ？ • スイッチＳがONの状態では、出力電圧Ｖaは入力電圧Ｖinに 等しい。スイッチＳがOFFの状態では、入出力間が遮断され るが、コンデンサＣにはスイッチＳがOFFになる直前までの 入力電圧が保持されたままになっているので、Ｃの電圧が出 力電圧Ｖaとなる。 • 入力の電圧のサンプリングは、ＳがONの状態のときに行わ れる。 • コンデンサへの充放電時間は、入力電圧が変化する時間よ りも十分短いことが必要である。 FETスイッチを用いたサンプルホールド回路 離散時間信号の表現 • ｘ*(t)＝ｘ(t)δT(t) • δT(t)はすべての時刻で１となる関数 →サンプラ関数 フーリエ変換してスペクトラムを求めると １ ∞ X*(ω)＝ －Σ Ｘ(ω-nωs) T n=-∞ • この式から，離散時間信号のスペクトラムX*(ω)は，もとのア ナログ信号のスペクトラムＸ(ω)をωsの整数n倍ずらして，そ れらを重ね合わせたものであるといえる。 • ｎ＝0以外のスペクトラム成分をエイリアス（alias）という。 • エイリアスが発生することをエイリアシング（aliasing）という。 ω≧σ に 帯域制 限されて いる ωs/2<σ の場合は，ス ペクトラムが重なり合う エイリアシング歪み （aliasing distortion） ωs/2≧σなら， スペクトラムは 重ならない 離散時間信号のない部 分を補って連続信号を つくる 関連情報 alias：エイリアス • (英)偽名、別名、通称 • アナログ信号をディジタルデータに変換するとき，サ ンプリング周波数の1/2以上の周波数の成分が混 じっていると，周期的なノイズが生じる。これをエイリ アスという。テレビの画面に細かい規則正しい模様 を表示した時に本来存在しない縞状の模様(モアレ) が見える現象などがこれにあたる。 折り返し雑音 • 折り返し雑音（英: Folding noise）またはエイリアシング（英: Aliasing）とは、統計学や信号処理やコンピュータグラフィック スなどの分野において、異なる連続信号が標本化によって 区別できなくなることをいう。エイリアス（aliases）は、この文 脈では「偽信号」と訳される。信号が標本化され再生されたと き、元の信号のエイリアスとなって生じる歪みのこともエイリ アシングまたは折り返し雑音、折り返し歪みという。 • デジタル写真を見たとき、ディスプレイやプリンタ機器、ある いは我々の眼や脳で再生（補間）が行われている。再生され た画像が本来の画像と違っている場合、そこには折り返し歪 みが生じている。空間折り返し歪み（spatial aliasing）の例と して、レンガの壁をピクセル数の少ない画像にしたときに生じ るモアレがある。このようなピクセル化に際しての問題を防ぐ 技法をアンチエイリアスと呼ぶ まとめると ナイキストレート，ナイキスト周波数 • ナイキストレート：標本化周波数の下限 ωs＝２σ • ナイキスト周波数：ωsで標本化したときの信号帯域 の上限 σ＝ ωs/2 帯域制限フィルタ （アンチエイリアシングフィルタ，LPF） • サンプラの前段に入れる 内挿フィルタ（低域通過フィルタ） 離散時間信号から連続信号をつくる • ｘ*(t)を帯域制限フィルタに入力したとき，ｘ*(t)が得ら れる • このｘ*(t)を理想低域通過フィルタに入力したときの 出力をｙ(t)とする ｙ(t)をフーリエ変換するとＹ(ω)になるとすれば， Ｙ(ω)＝Ｈ(ω)Ｘ*(ω) Ｙ(ω)＝Ｘ(ω) となる・・・・・元のアナログ信号のスペクトラムが再現 できる ○ 標本化定理：アナログ信号を完全に再現できる離散時間信号 を作るには，原信号の持つ周波数成分をサンプリング周波数 の1/2以下に制限しなければならない。 ○ 帯域制限信号：原信号の周波数をサンプリング周波数の1/2以 下になるように高域遮断フィルタを入れて作った信号をいう。 標本化定理（サンプリング定理）のポイント • サンプリングされる元のアナログ信号に含まれる最 高の周波数はサンプリング周波数の２分の１以下で なければならない • 原信号に含まれる最高の周波数がサンプリング周 波数の１／２を超えている場合に生じるスペクトラム の重なり現象をaliasingという • aliasingを生じないようにするためには，フィルタを 用いて原信号の高調波成分を遮断すればよい • これを anti-aliasing filterという サンプリング定理について調べよう • 人名・・・ナイキスト，シャノン，染谷 • 時代・・・この定理が重要だったのか • 定理を簡単にいうと aliasing 現象について調べよう どんな現象・・・音声では ・・・画像では 質問はありませんか？ • ここまで • ごきげんよう
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