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20150416
信号処理システム特論
AD変換
信号処理のシステム例
抵抗、コイル、
コンデンサ、‥‥
x(t )
y (t )
アナログシステム
加算器、乗算器、
メモリ、‥‥
⇒LSI化（小型化）
x(t )
AD変換
x[n]
標本化
（サンプリング）
ディジタル
システム
DA変換
y (t )
y[n]
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ＡＤ変換の流れ
x(t )
標本化（サンプリング）：
一定の周期 Ts でアナログ信号
x(t) の値を取り出すこと
最高周波数
fm
量子化：アナログ信号などの連
続量を整数などの離散値で近似
的に表現すること
t
0
サンプリング周波数
標本化
x(nTs )
0
fs > 2 fm
Ts = 1 / f s
x[n]
量子化
n
0
n
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サンプリング定理
サンプリング定理Ａ：入力信号の情報を完全に保存する
ためには、その信号に含まれる最高周波数の２倍以上
でサンプリングしなければならない。
サンプリング定理Ｂ：上記の条件を満たせば、入力信号
を完全に復元できる。
定理Ａはサンプリング周波数の必要条件，
Ｂは十分条件。
電話のサンプリング周波数は８kHz
⇒ 4kHz以上の信号（音声）は再現できない。
ＣＤのサンプリング周波数は44.1kHz
⇒ 22.05kHz以上の信号は再現できない。
アンチエイリアシングフィルタ
サンプリング定理を満たすように，入力信号の帯域を
fs/2以下に制限するためのフィルタ
⇒ 急峻な特性を得るには，
複雑なアナログ回路の設計が必要
（高度な知識＆コストを要求）
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量子化と符号化
量子化：アナログ信号などの連続量を整数などの
離散値で近似的に表現すること
符号化：量子化した信号に0と1を割り当てること
ちなみに，ディジタル信号処理を論ずる際，
「符号化」は基本的に気にしない
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ＡＤ変換時の情報損失（誤差）
アナログ信号
標本化
誤差は生じない（標本化定理）
量子化
誤差発生＝量子化誤差
ディジタル信号
0
1
1
0
0
1
1
1
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量子化誤差（１）
 信号を離散化してディジタル表現する際，
１つの数値を表現するビット数によりその精度に制約を生じる。
例）１バイト（8ビット）でデータを表現する場合は、
２の８乗＝２５６通りのうちの１つを表すことになる。
量子化誤差はランダム
⇒ホワイトノイズ
0～fs/2に一様に分布
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信号とノイズのスペクトル
信号のスペクトル
Fs/2
Fs
量子化ノイズ
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量子化誤差（２）
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理想ＡＤ変換の量子化ノイズ
q = 1 LSB
(LSB=Least Significant Bit)
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時間関数として表した量子化ノイズ
e(t ) = st , − q / 2 s < t < + q / 2 s
2
+q / 2s
s
q
e 2 (t ) = ∫
( st ) 2 dt =
q −q / 2 s
12
量子化ノイズのrms値 = e 2 (t ) =
q
12
12
量子化雑音とＳＮ比
SNR = 20 log10
FSの入力サイン波のrms値
量子化ノイズのrms値
q2 N
sin( 2πft )
FSの入力サイン波： v(t ) =
2
q2 N
FSの入力サイン波のrms値 =
2 2
量子化ノイズのrms値 = e 2 (t ) =
q
12
3
q2 N / 2 2
SNR = 20 log10
= 20 log10 2 N + 20 log10
2
q / 12
= 6.02 N + 1.76dB, （帯域幅はDC～fs/2）
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ビットに関する補足
ＡＤ変換時のビット数と、
計算機内部では２４ビット、３２ビット、とビット数を増やしたり，
浮動小数点で行うので注意。
桁落ちや切り捨てなどの演算誤差の影響を抑えるため
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代表的なAD変換
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逐次比較型
★ 4ビットAD変換
入力0～15Vを16段階で量子化
10V入力 ⇒ 1010
（アナログ）（ディジタル）
16
逐次比較型の特徴
・回路が簡単
・高分解能を実現可能
（ＤＡ変換の性能にもよるけど・・・）
・高分解能化により変換速度が低下
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オーバーサンプリング型
信号に含まれる最高周波数 fm,
標本化周波数を fs とする。
基本方式：fs=2fm
オーバーサンプリング方式：fs=2fm×M
M: 2以上の整数
サンプリング定理で必要とされる周波数を遙か
に上回る周波数でサンプリング
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fs/2
fs
信号帯域のノイズ成分
⇒ オーバーサンプリングし
た方が小さい
オーバーサンプリング
ノイズの総電力は同じ
Mfs/2
Mfs
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M: オーバーサンプリング係数
オーバーサンプリング型の特徴
・信号帯域内の量子化誤差が減少
・アンチエイリアシングフィルタは簡易でＯＫ
⇒ ディジタル化後に高次フィルタで除去
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ΔΣ型
● 微分効果で量子化誤差を低減（高周波域に追いやる）
● 量子化器は簡単な1ビット構成
入力：アナログ
+
-
+
+
積分器
量子化器
（1bit AD）
出力：ディジタル
DA
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入力：アナログ
+
-
+
+
積分器
量子化器
（1bit AD）
出力：ディジタル
DA
等価回路
離散時間
信号
+
-
積分
+ 量子化ノイズ
+
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入力信号の流れ
s
+
-
s’
積分
s
s
sz-1
微分効果
N : 量子化ノイズ
量子化ノイズの流れ
-N’ z-1
-
積分
-Nz-1
+ N’
+
微分効果
N’
N’ z-1
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ΔΣ型～微分の効果～
微分は高周波帯域の強調（低周波の抑制）
d
sin(ωt ) = ω cos(ωt )
dt
d2
2
=
−
ω
ω
t
sin(
)
sin(ωt )
2
dt
ノイズシェーピング
ΔΣ方式の量子化ノイズ
MFs/2
MFs
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M: オーバーサンプリング係数
ΔΣ型の特徴：
・信号帯域内の量子化誤差が減少
・アンチエイリアシングフィルタは簡易でＯＫ
⇒ ディジタル化後に高次フィルタで除去
・量子化器は1ビットでＯＫ
（量子化の閾値設定が簡単）
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各ＡＤ変換器の比較
方式
サンプリング
レート(Hz)
分解能
（bit)
特徴
用途
二重積分型
10～1k
12～22
高精度
測定器
ΔΣ型
100～100k
18～24
高分解能
音声処理
逐次比較型
10k～1M
8～16
低消費電力
高分解能・低速
マイコン
パイプライン型
10M～150M
8～14
フラッシュ型
（並列比較型）
10M～10G
6～12
映像処理
高速・大規模
高速測定器
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ＡＤ変換時の注意事項１
○ 処理結果に重大な影響を与える（比較的多いミス）
⇒ 測定結果をグラフ化して、視覚的に確認
○ 最大値より小さな値でクリップされる場合もある
（マイクアンプやＰＣのドライバなどで多い）
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ＡＤ変換時の注意事項２
○ 処理結果に重大な影響を与える
例）信号間の相関を計算する場合，
信号の二乗和を取ってパワーを計算する場合など
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