バンドの絵格子なしの場合 E 格子があると、ゾーン境界でギャップができる。 E このエネルギーはとれない 0 0 -1 -π/a 0 k π/a 0 0 k E∝k2（自由電子）のグラフで、ブリルアンゾーンに全部折り返した 1 バンドの絵：もっと模式的に描くと E E 第3バンド第2バンド第1バンド 0 0 ｋ k バンドへの電子の詰まり方により、金属、半導体、絶縁体の性質を持つ。 2 絶縁体、半導体、金属 E 絶縁体 E 半導体 E 電子 k ホール k 金属電子が１つのバンドを満たしてない。 k 余分な電子がない。下のバンドに電子が足りない。ホールがある。実際のバンドはもっと複雑。半導体は他にも種類がある。 3 ここから、磁性体、統計力学の復習 4 磁性原子の持つ磁気モーメントにより、物質が磁性を示す。例磁気モーメントの方向が揃うと強い磁性を示す磁気モーメントの方向がランダムだと、磁性は弱くなる。 5 なぜ原子は磁気モーメントを持つか？古典的に考えると、電荷が円運動すれば、磁気モーメントを持つ。    -B   磁気モーメント＝定数 e B  2mc x 軌道角運動量ボーア磁子スピンも磁気モーメントを持つ     -2B s 6 磁性を議論する時の基本的な量 H:磁場（外からかける） M:磁化 χ：帯磁率 F MH F: ヘルムホルツの自由エネルギー M  H 7 いろいろな磁性体：常磁性(paramagnetic) 常磁性：磁場Hをかけると、磁化Mが磁場の方向を向く。 H=0で、磁化M=0. 隣同士の磁気モーメントの相互作用が弱い。 χ=C/T キュリーの法則。 H 磁場なし磁場あり 8 いろいろな磁性体強磁性(ferromagnetic)：磁場がゼロでも、全体の磁化が残る。（ヒステリシス現象） Fe,Co, Niなど。隣同士の磁気モーメントの相互作用が強い。強磁性フェリ磁性 C  T  TC 反強磁性 (anti-ferromagnetic) T>Tcで常磁性 T<Tcで強磁性キュリー・ワイスの法則高温では、常磁性になる。（H=0で、M=0) 9 常磁性体の簡単なモデル：独立な磁気モーメントの場合磁場Hの方向に、gμBm (m=J, J-1, ..., -J)の磁気モーメントが単位体積中にn個ある。異なる磁気モーメントは独立とする。問題１：この系のエネルギーEを書け。問題２：この系の分配関数Zを書け。問題３：磁化Mを求めよ。磁場Hが小さい時の関数形を書け。磁場Hが大きい時はどうなるか？問題４：磁場Hが小さい時、帯磁率χの温度依存性が、 χ=C/Tであることを示せ。 10 解答分配関数とは。 E Z   exp( ) kT 全ての状態磁場Hの方向に、gμBm (m=J, J-1, ..., -J)の磁気モーメントが単位体積中にn個ある。異なる磁気モーメントは独立とする。問題１：この系のエネルギーE(n個の磁気モーメント gμBmi, i=1,...n を使って書く。） n E   g B H  mi i 1 11 解答続き問題２：この系の分配関数Zを書け。 J J J E g B H n Z   exp( )    ..  exp( mi )  kT kT i 1 全ての状態 m1   J m2   J mn   J g B H a kT Z とおくと、 J J   m1   J m2   J J n ...  exp(a  mi )  mn   J i 1 J J   m1   J m2   J 1   n sinh( J  )a    J  2    exp(am)   a  m J   sinh  2   J ...  n  exp(am ) mn   J i 1 i n 12 統計力学の復習カノニカル分布 (T, V, Nが一定) の場合を考える。ボルツマン因子温度Tが一定の時、エネルギーEをとる確率は、 E ボルツマン因子に比例する。 exp(  kT 分配関数 Z  全ての状態 exp( E kT ) ) 高温では、どのエネルギーも同程度の確率（等分配則）低温では、低いエネルギーの状態が確率が高い。なぜ分配関数を考えるか？・いろいろな量の平均を出す時の、規格化因子（分母）になる。・物理量がZから出てくる。（微分する。） 13