比熱の量子論（アインシュタインの議論）調和振動子のエネルギー準位： 1 E n   ( n  ) 2 はプランク定数問題1．占有数nの平均値 n=0,1,2,...  1 n exp[     ( n  ) ]  2  n  n 0 1 exp[     ( n  )]  2 n 0 β=1/kT  n  1 e   1 を求めよ。問題２前問の<n>の結果を使って、もし振動子が全て同じ振動数ω0を持つ場合の内部エネルギーから、比熱Cを求めよ。 U  3N0  n  比熱Cの高温極限と低温極限を求めよ。 1 比熱の量子論解答 <n> 問題１．占有数の期待値は、  n  1よりも大きい値をとれる 1 e   1 E ボゾン型になる。μ=0 問題２． U  3N0 C 1 3Nk e 0  1 e 0 C  3Nk ( 0 ) 0 (e  1) 2 2 高温でβ～0, C=3Nk、低温で C  3Nk (0 )2 e 0 0 0 0 T 2 比熱の補足磁性体の比熱の場合エネルギーに上限がある。 -> 比熱は高温で0になる。後で計算する。固体の格子振動（前の計算）では、エネルギーに上限がない。 -> 比熱は高温で一定になる。 3 比熱の量子論振動数に分布がある場合これまでの議論は、振動数が一定だった。実際には振動数はいろいろ。 D(ω) フォノン（格子振動）のモードの状態密度 D(ω)dω：振動数がω～ω+dωの間にあるモードの数。すると、エネルギーは、いろいろな振動数の場合の和となり、  U   D( ) ( )d 0 ここでε(ω)は、振動数ωのフォノンのエネルギー.   (ω)  exp( )  1 4 フォノンの状態密度D(ω)はどんな関数か？前回議論した、１次元格子振動で、 2 K ka  sin M 2 「第１ブリルアンゾーン」k:-π/a からπ/aまで。ω 周期的境界条件より、１次元でk=2π/L (L=Na) ごとに１個のモード。３次元だと、(2π)3/Vに１個。 (V=L3) -π/a 半径kからk+dkの間の球殻には、 V/(2π)3 x 4πk2 dk 波数kと振動数ωの関係は、ω=vk を使うと、状態密度は、 3V  2 D(ω)  2 2 v 3 k π/a 0 5 3V  D(ω)  2 3 2 v 2 状態密度を使う。問題１：ωの最大値をωDとする。 D  0 D(ω)d  3N の規格化から、 ωDを求めよ。  でvを消去して、 D D (ω) 問題２ D U   D() (ω)dω 0 を使って書け。   (ω)  exp( )  1 より比熱Cはどのようになるか。高温と低温での関数形を求めよ。 6