WebInv Introduction

在庫方策最適化
東京海洋大学
久保 幹雄
1
在庫とは?
サプライ・チェインの血液
在庫はサプライ・チェインいたるところに存在




調達地点 ->部品在庫,原料在庫
工場内->仕掛品在庫
倉庫->流通在庫
小売店,自動販売機 ->完成品在庫
押し出し型
引っ張り型
調達
2
在庫の分類と在庫方策最適化
輸送中在庫(ストラテジック)
作り置き在庫(タクティカル)
ロットサイズ在庫(タクティカル)
サイクル在庫(オペレーショナル)
安全在庫

安全在庫配置(タクティカル)

在庫方策 (オペレーショナル)
3
在庫方策最適化
オペレーショナルレベルの意思決定
日々の運用のための方策のパラメータの
最適化
品切れ費用
安全在庫費用
古典:新聞売り子モデル
サイクル在庫費用
発注(生産)固定費用
古典:経済発注量モデル
4
新聞売り子問題の例
コピー用紙の在庫
某研究室ではコピー用紙を適切に管理す
ることが義務づけられている.コピー用紙
の消費量は 1日あたり平均 100,標準偏
差 100 の切断正規分布と推定されており,
発注は翌日配送の文房具屋に頼むので
1日のリード時間がかかるものとする.品
切れ費用が 100円,在庫費用が 1円とす
るとき,在庫が何枚を切ったとき発注すれ
ば良いだろうか?
5
リード時間
小売店が商品を注文したとき,商品が卸売
業者(もしくはメーカー)から到着するまで
にかかる時間
リード時間内の(ランダムな)需要をまかな
うための在庫->安全在庫
6
平均100,標準偏差100の
切断正規分布の密度関数
確率密度
0.0045
0.004
NORMDIST(x,平均,標準偏差,FALSE)
0.0035
0.003
0.0025
0.002
0.0015
0.001
0.0005
0
0
100
200
300
400
500
600
700
7
需要量
サービスレベルと臨界率
サービスレベル:品切れを起こさない確率
品切れ費用,在庫費用から計算されるパ
ラメータ「臨界率」と一致させるのが最適
臨界率 
品切れ費用
100

 0.99
品切れ費用 在庫費用 100 1
8
サービスレベルと密度関数
確率密度
品切れを起こさない確率=0.99
0.0045
0.004
需要がこの線より左側になる
確率(=面積)が0.99にする!
0.0035
0.003
0.0025
0.002
0.0015
0.001
0.0005
0
0
100
200
333
300
400
500
600
700
9
需要量
576
553
530
507
484
461
438
415
392
369
346
323
300
277
254
231
208
185
162
139
116
93
70
47
24
10
622
599
0.99
1
分布関数の逆関数
Excel の関数 NORMINV(0.99,100,100) を用いる.
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
333
0
サービスレベルと安全在庫係数
安全在庫係数
2.5
NORMINV(サービスレベル,0,1)
2
1.5
1
0.5
0
60
65
70
75
80
85
90
95
100
11
サービスレベル
基在庫レベル
基在庫レベル:在庫ポジションがこれを切ったら
発注する.
在庫ポジション  手持ち在庫  輸送中在庫 バックオーダー
輸送中在庫:発注してまだ到着していない在庫
バックオーダー:お客に待ってもらっている量
基在庫レベル  需要の平均リード時間 
安全在
庫係数 標準偏差 リード時間
333=100×1+2.33×100×SQRT(1)
12
経済発注量モデルの例
研究室のビール在庫
某研究室ではビールを冷蔵庫で適切に管
理することが義務づけられている.ビールは
新鮮さが第一だの先生のモットーにより,1
日あたりのビールの劣化は,1本あたり 10
円で,発注は近所のコンビニに出前を頼む
ので1回あたり300円かかる.また,研究室
には大酒のみが多いため1日に10本のペー
スで消費されるものとする.最適な(研究室
費を無駄にしない)発注方策を考えよ.
13
経済発注量モデル
発注量
需要
在庫
サイクル時間
時間
14
最適経済発注量の公式
発注固定費用=300円/回
需要の平均=10本/日
在庫費用=10円/本・日
2 固定費用 需要量
最適発注量
在庫費用
2  30010
最適発注量 
 24.5
10
15
経済発注量(Economic Ordering
Quantity :EOQ)モデル
d (個/日): 1日あたりの品目の需要量
Q (個): 発注量(変数)
[生産現場ではロットサイズ]
K (円): 発注1回あたりの固定費用
[生産現場では段取り費用
h ( 円/(日・個) ): 品目1個あたり・1日あたりの在庫保
管費用
目的:
無限期間における最適な(発注費用+在庫保管費用を
最小にする)発注方策(いつ,どれだけ発注するのか)を
決める.
条件:
品切れは許さない.
注文した品目はすぐに(リード時間0で)到着する. 初期在庫は 0
とする.
在庫レベル
d:傾き=-需要のスピード
Q
h×面積
サイクル時間 (T 日) = [
]
T 日間の総費用 = 発注費用 +在庫保管費用
=
f(Q)= 1日あたりの費用 =
時間
EOQモデル
最小化 f(Q)



∂f(Q)/∂Q =
∂2f(Q)/∂Q2 =
f(Q) は [ ] 関数.
Q* =
f(Q* )=
練習問題 (易)
Find the optimal ordering quantities when
d =10 items/day
K =300 yen
h=10 yen/day・item.
Check the dimension of the EOQ formula.
Q[個] 
 
  
 
 
 
 

練習問題 (中)
Consider EOQ model in a factory. When
the inventory is zero, production of Q
items starts at a rate of p (items/day)
(p ≧d).
The set-up cost is K (yen) and every
time production starts at a level p, we
incur a cost of α×p (α>0).
What is the optimal production rate?
バックオーダーを考慮した場合
上で説明した研究室のビール在庫の問
題と同じ場面を考えよう.ただし今回は,
ビールが切れたときには隣の研究室から
1本あたり 40円の借り賃を支払い借りてく
ることができるものとする.なお,借りてき
たビールは後日同じものを買ってきて返却
するものとする.このとき,最適な発注量
は何本になるだろうか?
21
バックオーダーを考慮
臨界率 
品切れ費用
40

 0.8
品切れ費用 在庫費用 40  10
在庫
1-臨界率=0.2
臨界率=0.8
時間
バックオーダー
22
バックオーダーを考慮した場合
の最適発注量
発注固定費用=300円/回
需要の平均=10本/日
在庫費用=10円/本・日
品切れ費用= 40円/本・日
臨界率=0.8
練習問題(難)
この公式を導け.
2 固定費用 需要量
最適発注量
在庫費用 臨界率
2  30010
最適発注量 
 27
10 0.8
23
鞭効果,牛追い鞭効果
サプライ・チェイン・マネジメントを理解するため
の鍵となる概念
使い捨てオムツの代表的メーカーとして知られる
P & G 社は, 顧客需要のばらつきだけでは説明
しきれないほど小売店からの注文がばらついて
いることに気づいていた.
Hewlett-Packard 社では,顧客需要のばらつき
を大きく上回る注文のばらつきを経験していた.
さらに,その部品の注文のばらつきは,コン
ピュータ本体の注文のばらつきを大きく上回って
いた
24
発注方策の分類
連続補充方策
常に在庫ポジションをモニタリングする方法



基在庫方策
(Q,R)方策
(s,S)方策
定期発注方策
在庫ポジションを定期的に調べる方法
25
基在庫方策
基在庫レベル=在庫ポジションの目標値
在庫ポジション
=実在庫量+輸送中在庫量-バックオーダー量
基在庫方策:在庫ポジションをモニタリングして,
基在庫レベルを切ったら,基在庫レベルになるよ
うに発注(もしくは生産)を行う方法
26
基在庫方策
基在庫レベル
=在庫ポジション
リード時間
時間
27
(Q,R)方策,(s,S)方策
発注(生産)固定費用を考慮した方策
(Q,R)方策:在庫ポジションをモニタリングして,
発注点 R になったら一定量(最適発注量) Q だ
け発注
(s,S)方策:在庫ポジションをモニタリングして,s
になったら在庫ポジションが S になるように発注
->一度に大量の需要が発生する場合に有利
->sを発注点 R に,SをR+Qに設定
28
(Q,R)方策と(s,S)方策
R+Q
(s,S)
(Q,R)
在庫ポジション
実在庫
R
リード時間
時間29
定期発注方策
在庫ポジションを定期的にチェックし,在庫
ポジションが基在庫レベルを切っていたら,
基在庫レベルになるように発注(生産)
発注
月
火
水
木
需要発生
月曜に発注した量が到着(リード時間=1日)
30
多段階モデル
情報分散型管理
各在庫地点ごとに独自に在庫方策を適用
情報中央集権管理
サプライ・チェイン全体で在庫最適化
->エシェロン在庫
調達
31
エシェロン在庫の概念
エシェロン(梯形)在庫:自分の在庫ポジションの
他に,自分より下流(顧客需要側)のすべての在
庫地点の在庫ポジションを加えたもの
32
エシェロン在庫費用
エシェロン在庫費用=
自分の在庫費用-上流の地点の在庫費用
エシェロン在庫
実在庫
33
直列多段階( 2段階)モデル
3
メーカー
2
卸
h’3 =0
h’2
1
小売店
h’1
第2段階(卸)
2
需要 d
第1段階(小売店)
2
T=2
ノコギリ型にならない!
T=1
34
第2段階のエシェロン在庫
エシェロン在庫
2
第2段階(エシェロン在庫)
1
h’2
需要 d
h’1
各在庫点からみて下流(需要側)
の在庫をすべて含めた在庫
第1段階
2
2
T=2
T=1
35
エシェロン在庫費用
3
メーカー
2
卸
h’3 =0
h’2
第2段階(卸)の
のエシェロン在庫費用
h2 = h’2-h’3 = h’2
1
小売店
需要 d
h’1
第1段階(小売店)
のエシェロン在庫費用
h1 = h’1-h’2
• 下流(需要側)に行くにしたがって在庫費用は増加
(品目に付加価値がつくから)
• 外部(メーカー)の在庫費用は0 とする.
• エシェロン在庫費用=
各在庫点とそこに供給する上流の在庫点との在庫費用の差
36
通常の在庫費用と
エシェロン在庫費用の関係
エシェロン在庫費用(4日分)
第2段階(卸)=2×4× h2
=[
]
第1段階(小売店)=4 h1
=[
]
通常の計算法(4日分)
第2段階(卸)=4 h’2
第1段階(小売店)=4 h’1
2
1
T=2
T=1
37
入れ子方策(nested policy)
入れ子方策:ある在庫点が発注を行うなら,かな
らずその下流の在庫点も発注を行う.
直列多段階モデルにおいては,入れ子方策の中
に最適方策がある.
2のべき乗方策の下では,
上流のサイクル時間≧下流のサイクル時間
を満たせばよい.
38
入れ子方策でない方策
第2段階(卸)
エシェロン在庫
2段階(卸)が発注して
いないときに発注
第1段階(小売り)
2
2
0に近づけると在庫減少
39
2段階直列モデルの定式化
2のべき乗・入れ子方策
需要量d,第 i段階の在庫点の発注固定費用Ki,
エシェロン在庫保管費用hi,サイクル時間(変数)Ti
gi=hi d/2 を導入(記号の簡略化のため)
2のべき乗・入れ子方策
最小化 Σi Ki/Ti + gi Ti
条件
Ti = B 2k
kは・・・-2,-1,0,1,2,・・・,
i=1,2
Ti ≧ Ti-1
i=2
2のべき乗方策
Ti ≧ 0
i=1,2 入れ子方策
(2のべき乗方策の下)
40
2段階直列モデルの最適解
Lagrange緩和(1)
需要量 10
第 1段階の在庫点の発注固定費用K1=300
エシェロン在庫保管費用h1=5=(10-5), g1=h1 d/2=25
第 2段階の在庫点の発注固定費用K2=100(他のビール
と一緒に注文するので安い)
エシェロン在庫保管費用h2=5=(5-0), g2=h2 d/2=25
入れ子条件より0以下
2のべき乗・入れ子方策
0以上のLagrange乗数
最小化
条件
i=1,2
Σi
Ki/Ti + gi Ti +(-Ti +Ti-1)λ
Ti = B 2k
kは・・・-2,-1,0,1,2,・・・,
Ti ≧ Ti-1
Ti ≧ 0
i=2
i=1,2
41
2段階直列モデルの最適解
Lagrange緩和(2)
2のべき乗・入れ子方策を緩和(外した)式
0以下の項を目的関数に加えて制約を外した
->下界(最適値以下の値)を算出する!
最小化 Σi Ki/Ti + gi Ti +(-Ti +Ti-1)λ
i=1,2
条件 Ti ≧ 0
->2つのEOQモデルに分解
第1段階:最小化 K1/T1 + (g1 +λ) T1
第2段階:最小化 K2/T2 + (g2 -λ) T2
T 1
K1
g1  
T 2
K1
g2  
42
2段階直列モデルの最適解
Lagrange緩和(3): Excelによるλの推定
B1
=SQRT(300/(50+B1))
λ(Lagrange乗数)
0
2
4
6
8
10
12
12.5
13
14
15
T1
3.464102 3.333333 3.216338 3.110855 3.015113
2.9277 2.847474 2.828427 2.809757 2.773501 2.738613
T2
2 2.085144 2.182179 2.294157 2.425356 2.581989 2.773501 2.828427 2.886751 3.015113 3.162278
=SQRT(500/(100-B1))
4
Section2-3.xls
3.5
3
2.5
T1
T2
2
1.5
1
0.5
0
0
5
10
15
20
43
1倉庫・多小売店モデル
入れ子方策が悪くなる例
小売店1 発注費用1
需要=2 エシェロン在庫費用=1
倉庫
発注費用 =1 需要=2+ε
小売店2 発注費用 K(大きな数)
需要=ε(小さな数) エシェロン在庫費用=1
エシェロン在庫費用=1
最適方策:小売店1,倉庫が毎日発注,小売店2は約
->1日あたり K に比例した費用
K /
日に1回発注
入れ子方策1:小売店2を約 K /  日に1回;入れ子方策より倉庫も約
K /  日に1回;小売店1むけの倉庫における在庫費用は, K /  に
比例
入れ子方策2:小売店2,倉庫が毎日発注;小売店2の在庫費用 は K に比例
44
例題1(需要のばらつきがない場
合)
部品工場->工場->卸->小売店
需要:平均100
品切れ費用1000
小売店
卸
工場
部品工場
リード時間
在庫保管費
用
エシェロン在庫
保管費用
基在庫
レベル
エシェロン基在庫
レベル
1日
40
10
100
100
1日
30
10
100
200
2日
20
10
200
400
3日
10
10
300
700
45
基在庫方策
基在庫レベル
(1箱=100)
リード時間
(1矢印=1日)
輸送中在庫
(1箱=100)
部品
実在庫
10円×200
エシェロン在庫 10円×400
工場
卸
20円×100
小売
30円×100 40円×0
10円×200 10円×100 10円×0
合計=7000円の在庫費用
46
定期発注方策
基在庫レベル
(1箱=100)
輸送中在庫
(1箱=100)
部品
リード時間
(1矢印=1日)
10円×300
工場
卸
小売
20円×200 30円×200 40円×100
合計=17000円の在庫費用
47
まとめ
在庫管理の古典理論


新聞売り子モデル
経済的発注量モデル
基在庫方策
常に在庫をモニタリングして,基在庫レベルを
切ったら発注
固定費用を考慮
(Q,R)方策,(s,S)方策
定期発注方策
決まった時刻に在庫をチェックして,基在庫レベ
ルになるように発注
48