WebInv Introduction

在庫方策最適化
東京海洋大学
久保幹雄
1
在庫とは？
サプライ・チェインの血液
在庫はサプライ・チェインいたるところに存在




調達地点 ->部品在庫，原料在庫
工場内->仕掛品在庫
倉庫->流通在庫
小売店，自動販売機 ->完成品在庫
押し出し型
引っ張り型
調達
2
在庫の分類と在庫方策最適化
輸送中在庫（ストラテジック）
作り置き在庫（タクティカル）
ロットサイズ在庫（タクティカル）
サイクル在庫（オペレーショナル）
安全在庫

安全在庫配置（タクティカル）

在庫方策（オペレーショナル）
3
在庫方策最適化
オペレーショナルレベルの意思決定
日々の運用のための方策のパラメータの
最適化
品切れ費用
安全在庫費用
古典：新聞売り子モデル
サイクル在庫費用
発注（生産）固定費用
古典：経済発注量モデル
4
新聞売り子問題の例
コピー用紙の在庫
某研究室ではコピー用紙を適切に管理す
ることが義務づけられている．コピー用紙
の消費量は 1日あたり平均 100，標準偏
差 100 の切断正規分布と推定されており，
発注は翌日配送の文房具屋に頼むので
1日のリード時間がかかるものとする．品
切れ費用が 100円，在庫費用が 1円とす
るとき，在庫が何枚を切ったとき発注すれ
ば良いだろうか?
5
リード時間
小売店が商品を注文したとき，商品が卸売
業者（もしくはメーカー）から到着するまで
にかかる時間
リード時間内の（ランダムな）需要をまかな
うための在庫->安全在庫
6
平均100，標準偏差100の
切断正規分布の密度関数
確率密度
0.0045
0.004
NORMDIST(x,平均,標準偏差，FALSE)
0.0035
0.003
0.0025
0.002
0.0015
0.001
0.0005
0
0
100
200
300
400
500
600
700
7
需要量
サービスレベルと臨界率
サービスレベル：品切れを起こさない確率
品切れ費用，在庫費用から計算されるパ
ラメータ「臨界率」と一致させるのが最適
臨界率 
品切れ費用
100

 0.99
品切れ費用 在庫費用 100 1
8
サービスレベルと密度関数
確率密度
品切れを起こさない確率=0.99
0.0045
0.004
需要がこの線より左側になる
確率（＝面積）が0.99にする！
0.0035
0.003
0.0025
0.002
0.0015
0.001
0.0005
0
0
100
200
３３３
300
400
500
600
700
9
需要量
576
553
530
507
484
461
438
415
392
369
346
323
300
277
254
231
208
185
162
139
116
93
70
47
24
10
622
599
０．９９
1
分布関数の逆関数
Excel の関数 NORMINV(0.99,100,100) を用いる．
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
３３３
0
サービスレベルと安全在庫係数
安全在庫係数
2.5
NORMINV(サービスレベル,0,1)
2
1.5
1
0.5
0
60
65
70
75
80
85
90
95
100
11
サービスレベル
基在庫レベル
基在庫レベル：在庫ポジションがこれを切ったら
発注する．
在庫ポジション  手持ち在庫  輸送中在庫 バックオーダー
輸送中在庫：発注してまだ到着していない在庫
バックオーダー：お客に待ってもらっている量
基在庫レベル  需要の平均リード時間 
安全在
庫係数 標準偏差 リード時間
333=100×1+2.33×100×SQRT(1)
12
経済発注量モデルの例
研究室のビール在庫
某研究室ではビールを冷蔵庫で適切に管
理することが義務づけられている．ビールは
新鮮さが第一だの先生のモットーにより，１
日あたりのビールの劣化は，１本あたり 10
円で，発注は近所のコンビニに出前を頼む
ので１回あたり３００円かかる．また，研究室
には大酒のみが多いため１日に１０本のペー
スで消費されるものとする．最適な（研究室
費を無駄にしない）発注方策を考えよ．
13
経済発注量モデル
発注量
需要
在庫
サイクル時間
時間
14
最適経済発注量の公式
発注固定費用＝３００円/回
需要の平均＝１０本/日
在庫費用＝１０円/本・日
2 固定費用 需要量
最適発注量
在庫費用
2  30010
最適発注量 
 24.5
10
15
経済発注量（Economic Ordering
Quantity ：EOQ)モデル
d (個/日): １日あたりの品目の需要量
Q (個): 発注量（変数）
[生産現場ではロットサイズ]
K (円): 発注１回あたりの固定費用
[生産現場では段取り費用
h ( 円/(日・個) ）: 品目１個あたり・１日あたりの在庫保
管費用
目的：
無限期間における最適な（発注費用＋在庫保管費用を
最小にする）発注方策（いつ，どれだけ発注するのか）を
決める．
条件：
品切れは許さない．
注文した品目はすぐに（リード時間0で）到着する．初期在庫は 0
とする．
在庫レベル
d：傾き＝－需要のスピード
Q
h×面積
サイクル時間 (T 日) = [
]
T 日間の総費用 = 発注費用 +在庫保管費用
=
f(Q)= １日あたりの費用 =
時間
EOQモデル
最小化 f(Q)



∂f(Q)/∂Q =
∂2f(Q)/∂Q2 =
f(Q) は [ ] 関数.
Q* =
f(Q* )=
練習問題（易）
Find the optimal ordering quantities when
d =10 items/day
K =300 yen
h=10 yen/day・item.
Check the dimension of the EOQ formula.
Q[個] 
 
  
 
 
 
 

練習問題（中）
Consider EOQ model in a factory. When
the inventory is zero, production of Q
items starts at a rate of p (items/day)
(p ≧d).
The set-up cost is K (yen) and every
time production starts at a level p, we
incur a cost of α×p (α>0).
What is the optimal production rate?
バックオーダーを考慮した場合
上で説明した研究室のビール在庫の問
題と同じ場面を考えよう．ただし今回は，
ビールが切れたときには隣の研究室から
1本あたり 40円の借り賃を支払い借りてく
ることができるものとする．なお，借りてき
たビールは後日同じものを買ってきて返却
するものとする．このとき，最適な発注量
は何本になるだろうか?
21
バックオーダーを考慮
臨界率 
品切れ費用
40

 0.8
品切れ費用 在庫費用 40  10
在庫
1-臨界率=0.2
臨界率=0.8
時間
バックオーダー
22
バックオーダーを考慮した場合
の最適発注量
発注固定費用＝３００円/回
需要の平均＝１０本/日
在庫費用＝１０円/本・日
品切れ費用= ４０円/本・日
臨界率=0.8
練習問題（難）
この公式を導け．
2 固定費用 需要量
最適発注量
在庫費用 臨界率
2  30010
最適発注量 
 27
10 0.8
23
鞭効果，牛追い鞭効果
サプライ・チェイン・マネジメントを理解するため
の鍵となる概念
使い捨てオムツの代表的メーカーとして知られる
P & G 社は，顧客需要のばらつきだけでは説明
しきれないほど小売店からの注文がばらついて
いることに気づいていた．
Hewlett-Packard 社では，顧客需要のばらつき
を大きく上回る注文のばらつきを経験していた．
さらに，その部品の注文のばらつきは，コン
ピュータ本体の注文のばらつきを大きく上回って
いた
24
発注方策の分類
連続補充方策
常に在庫ポジションをモニタリングする方法



基在庫方策
(Q,R)方策
(s,S)方策
定期発注方策
在庫ポジションを定期的に調べる方法
25
基在庫方策
基在庫レベル＝在庫ポジションの目標値
在庫ポジション
=実在庫量+輸送中在庫量-バックオーダー量
基在庫方策：在庫ポジションをモニタリングして，
基在庫レベルを切ったら，基在庫レベルになるよ
うに発注（もしくは生産）を行う方法
26
基在庫方策
基在庫レベル
＝在庫ポジション
リード時間
時間
27
(Q,R)方策，(s,S)方策
発注（生産）固定費用を考慮した方策
(Q,R)方策：在庫ポジションをモニタリングして，
発注点 R になったら一定量（最適発注量） Q だ
け発注
(s,S)方策：在庫ポジションをモニタリングして，s
になったら在庫ポジションが S になるように発注
->一度に大量の需要が発生する場合に有利
->sを発注点 R に，SをR+Qに設定
28
(Q,R)方策と(s,S)方策
R+Q
(s,S)
(Q,R)
在庫ポジション
実在庫
R
リード時間
時間29
定期発注方策
在庫ポジションを定期的にチェックし，在庫
ポジションが基在庫レベルを切っていたら，
基在庫レベルになるように発注（生産）
発注
月
火
水
木
需要発生
月曜に発注した量が到着（リード時間＝１日）
30
多段階モデル
情報分散型管理
各在庫地点ごとに独自に在庫方策を適用
情報中央集権管理
サプライ・チェイン全体で在庫最適化
->エシェロン在庫
調達
31
エシェロン在庫の概念
エシェロン（梯形）在庫：自分の在庫ポジションの
他に，自分より下流（顧客需要側）のすべての在
庫地点の在庫ポジションを加えたもの
32
エシェロン在庫費用
エシェロン在庫費用＝
自分の在庫費用－上流の地点の在庫費用
エシェロン在庫
実在庫
33
直列多段階（２段階）モデル
3
メーカー
2
卸
h’3 =0
h’2
1
小売店
h’1
第２段階（卸）
2
需要 d
第１段階（小売店）
2
T=2
ノコギリ型にならない！
T=1
34
第２段階のエシェロン在庫
エシェロン在庫
2
第２段階（エシェロン在庫）
1
h’2
需要 d
h’1
各在庫点からみて下流（需要側）
の在庫をすべて含めた在庫
第１段階
2
2
T=2
T=1
35
エシェロン在庫費用
3
メーカー
2
卸
h’3 =0
h’2
第２段階（卸）の
のエシェロン在庫費用
h2 = h’2－h’3 = h’2
1
小売店
需要 d
h’1
第１段階（小売店）
のエシェロン在庫費用
h1 = h’1－h’2
• 下流（需要側）に行くにしたがって在庫費用は増加
（品目に付加価値がつくから）
• 外部（メーカー）の在庫費用は0 とする．
• エシェロン在庫費用＝
各在庫点とそこに供給する上流の在庫点との在庫費用の差
36
通常の在庫費用と
エシェロン在庫費用の関係
エシェロン在庫費用(4日分）
第２段階（卸）＝2×4× h2
＝[
]
第１段階（小売店）＝4 h1
＝[
]
通常の計算法(4日分）
第２段階（卸）＝4 h’2
第１段階（小売店）＝4 h’1
2
1
T=2
T=1
37
入れ子方策（nested policy）
入れ子方策：ある在庫点が発注を行うなら，かな
らずその下流の在庫点も発注を行う．
直列多段階モデルにおいては，入れ子方策の中
に最適方策がある．
２のべき乗方策の下では，
上流のサイクル時間≧下流のサイクル時間
を満たせばよい．
38
入れ子方策でない方策
第２段階（卸）
エシェロン在庫
２段階（卸）が発注して
いないときに発注
第１段階（小売り）
2
2
0に近づけると在庫減少
39
２段階直列モデルの定式化
２のべき乗・入れ子方策
需要量d，第 i段階の在庫点の発注固定費用Ki，
エシェロン在庫保管費用hi，サイクル時間（変数）Ti
gi=hi d/2 を導入（記号の簡略化のため）
２のべき乗・入れ子方策
最小化 Σi Ki/Ti + gi Ti
条件
Ti = B 2k
kは・・・-2,-1,0,1,2,・・・,
i=1,2
Ti ≧ Ti-1
i=2
２のべき乗方策
Ti ≧ 0
i=1,2 入れ子方策
（２のべき乗方策の下）
40
２段階直列モデルの最適解
Lagrange緩和(1)
需要量 10
第 1段階の在庫点の発注固定費用K1=３００
エシェロン在庫保管費用h1＝5=(10-5), g1=h1 d/2=25
第 2段階の在庫点の発注固定費用K2=１００（他のビール
と一緒に注文するので安い）
エシェロン在庫保管費用h2＝5=(5-0), g2=h2 d/2=25
入れ子条件より0以下
２のべき乗・入れ子方策
0以上のLagrange乗数
最小化
条件
i=1,2
Σi
Ki/Ti + gi Ti +(-Ti +Ti-1）λ
Ti = B 2k
kは・・・-2,-1,0,1,2,・・・,
Ti ≧ Ti-1
Ti ≧ 0
i=2
i=1,2
41
２段階直列モデルの最適解
Lagrange緩和（2）
２のべき乗・入れ子方策を緩和（外した）式
０以下の項を目的関数に加えて制約を外した
->下界（最適値以下の値）を算出する！
最小化 Σi Ki/Ti + gi Ti +(-Ti +Ti-1）λ
i=1,2
条件 Ti ≧ 0
->２つのEOQモデルに分解
第1段階：最小化 K1/T1 + (g1 +λ) T1
第2段階：最小化 K2/T2 + (g2 －λ) T2
T 1
K1
g1  
T 2
K1
g2  
42
２段階直列モデルの最適解
Lagrange緩和（3）: Excelによるλの推定
B1
=SQRT(300/(50+B1))
λ（Lagrange乗数）
0
2
4
6
8
10
12
12.5
13
14
15
T1
3.464102 3.333333 3.216338 3.110855 3.015113
2.9277 2.847474 2.828427 2.809757 2.773501 2.738613
T2
2 2.085144 2.182179 2.294157 2.425356 2.581989 2.773501 2.828427 2.886751 3.015113 3.162278
=SQRT(500/(100-B1))
4
Section2-3.xls
3.5
3
2.5
T1
T2
2
1.5
1
0.5
0
0
5
10
15
20
43
１倉庫・多小売店モデル
入れ子方策が悪くなる例
小売店１発注費用1
需要＝2 エシェロン在庫費用=1
倉庫
発注費用 =1 需要＝2+ε
小売店2 発注費用 K（大きな数）
需要＝ε(小さな数) エシェロン在庫費用=1
エシェロン在庫費用=1
最適方策：小売店1，倉庫が毎日発注，小売店2は約
->１日あたり K に比例した費用
K /
日に１回発注
入れ子方策1：小売店2を約 K /  日に１回；入れ子方策より倉庫も約
K /  日に１回；小売店１むけの倉庫における在庫費用は， K /  に
比例
入れ子方策2：小売店2，倉庫が毎日発注；小売店2の在庫費用は K に比例
44
例題1（需要のばらつきがない場
合）
部品工場->工場->卸->小売店
需要：平均100
品切れ費用1000
小売店
卸
工場
部品工場
リード時間
在庫保管費
用
エシェロン在庫
保管費用
基在庫
レベル
エシェロン基在庫
レベル
１日
４０
１０
１００
１００
１日
３０
１０
１００
２００
２日
２０
１０
２００
４００
３日
１０
１０
３００
７００
45
基在庫方策
基在庫レベル
(1箱=100）
リード時間
(1矢印=1日）
輸送中在庫
(1箱=100)
部品
実在庫
10円×200
エシェロン在庫 10円×400
工場
卸
20円×100
小売
30円×100 40円×0
10円×200 10円×100 10円×0
合計=7000円の在庫費用
46
定期発注方策
基在庫レベル
(1箱=100）
輸送中在庫
(1箱=100)
部品
リード時間
(1矢印=1日）
10円×300
工場
卸
小売
20円×200 30円×200 40円×100
合計=17000円の在庫費用
47
まとめ
在庫管理の古典理論


新聞売り子モデル
経済的発注量モデル
基在庫方策
常に在庫をモニタリングして，基在庫レベルを
切ったら発注
固定費用を考慮
(Q,R)方策，(s,S)方策
定期発注方策
決まった時刻に在庫をチェックして，基在庫レベ
ルになるように発注
48

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