力学 II 追試験問題（平成25年度） x x b ba = - ) ( ) ( ) ( ) ( N II dt d I N II

力学 II
追試験問題（平成２５年度）
問 1 質点に対して慣性空間に固定された定点 O から中心力が働いて運動している．質点の位置ベ
クトルを r ，r 方向の単位ベクトルを e r ，中心力を f ( r ) er と表す．
(1) 質点に働く力の点 O のまわりのモーメントを求めよ．
(2) つぎのことを示せ．
(i)
質点の点 O のまわりに持つ角運動量が保存される．
(ii) 質点が一定の平面内で運動する．
問 2 図に示すように中心を O とする半径 a の中空円筒の
内面を，中心を C とする半径 b, 質量 m, 慣性モーメント I
O

の円柱がすべることなく転がる．このときの円柱の運動につ
いて，つぎの問いに答えよ．
a
A

(1) 円柱が転がった時に OC が鉛直となす角を  とし，こ
の時，円柱上の点 A が A に移動したとする．CA が鉛直
となす角を  とするとき ( a  b)  b がなりたつこと
C
b
A
を示せ．
(2) 接触点に働く摩擦力を F とするとき，円柱の重心の運動方程式と回転の運動方程式を ,  に
よって表せ．
(3)  が十分に小さいとき，円柱の重心が O のまわりに振れる運動の周期を求めよ．
問 3 剛体の運動をその慣性主軸による座標系で表示するとき，オイラーの運動方程式が成り立つ．
dω1
 ( I 2  I 3 ) ω2 ω3  N 1
dt
dω2
I2
 ( I 3  I1 ) ω3 ω1  N 2
dt
dω3
I3
 ( I1  I 2 ) ω1ω2  N 3
dt
I1
主軸（第 3 軸： 軸）のまわりに軸対称の剛体が，慣性空間に固定された点 O で固定されていて，
剛体は点 O からの束縛力以外には力を受けない．つぎの問いに答えよ．ただし， I 3  I1 が成り立
つものとする．
(1) ω3  n （一定）となることを示せ．
(2) ω1 , ω2 を求め，角速度ベクトル ω が剛体の主軸（ 軸）のまわりに  軸となす角を維持しな
がら円運動を描くことを示せ．
F
解答
問1
(1) 質点に点 O から中心力 f (r) が働いているものとする．O のまわりの力のモーメントは r 方
向の単位ベクトルを er とすると
z
N  r  F  r  [ f ( r ) er ]  0
(2) (i) dl / dt  N  0 より，l =一定となり，角運動量の大き
V
l
さと方向は一定である．
f (r )
r
m
O
(ii) l は r と V に直交していることから，l は r と V で張
y
られる平面の法線ベクトルである．l が一定ならば，質点の O
からの位置ベクトル r と速度 V を含む平面も不変であり，質
x
点は，力の中心 O を含む一定の面内で運動している．
問2
(1) 円柱の公転角が  で自転角が  である．円筒と円柱は接触点ですべりがなく転がるから
a  b(   )
時間微分して ( a  b)  b ．
［別解］接触点 Aは瞬間中心であり，点 Aからみた C の速
度は b ，点 O からみた C の速度は ( a  b) ．両者は一致す
るから ( a  b)  b ．
O
(2) 円柱の重心の運動方程式

m ( a  b)    mg sin   F
a
A
回転の運動方程式

I    F b
C
(3) F,  を消去すると
A
a  b  

 m ( a  b)  b2 I     mg sin 
  
mg b2
sin 
( a  b)( mb2  I )
 が微小の場合，これは単振動の式となるから， T  2
( a  b)( mb2  I )
mg b2
（参考）例えば円柱の慣性モーメント I  mb2 / 2 を代入すれば
T  2
3 ( a  b)
2g
となり，長さ l  ( 3 / 2)( a  b) の単振り子に相当する．
C

b
A
F
(1) 剛体は固定点 O からの束縛力以外には力を受けない．軸対称（ I1  I 2 ）であり，O のまわり
の力のモーメントが 0 であるから
問3
dω1
 ( I1  I 3 ) ω2ω3
dt
dω2
I1
 ( I 3  I1 ) ω3ω1
dt
dω3
I3
0
dt
I1
第 3 式を積分すると










n
O


 3=一定=n
(2) 第 1 式，2 式より
dω1 I1  I3
n ω2

dt
I1
dω2 I3  I1
nω1

dt
I1







I I
d ω1 I1  I 3 dω2

n
  3 1
2
dt
I1
dt
 I1
2
3
2

n  ω1


これを解いて
1 O
I I

ω1  a cos  3 1 n t   
 I1

I I

ω2  a sin  3 1 n t   
 I1

ω と  のなす角
を描く．








n
a

2

tan   a / n ．剛体からみた角速度 ω は  軸のまわりに角度を維持しながら円運動

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