第6章標本分布母集団と標本：基本概念母集団パラメーターと標本統計量標本比率の標本分布基本概念母集団：無限母集団、有限母集団標本（Sample）標本調査（Sample Survey）単純無作為抽出（Simple Random Sampling） IIDデータ: ｎ個のXがなるべく独立的、同一分布 Independently and Identically Distributed 母集団特性値と標本変動母集団特性値（Population Parameter）：母集団のある一つの性質を表す数量ｎ：標本の大きさ（size) ｘ：標本ごとに変化する変数（標本変動）母集団特性値は一定であるのに対して標本は変数である標本統計量標本統計量：母集団の特性値についての推測のため標本から求められるもの標本比率： pˆ  x n 標本平均： x 標本分散： S 2 確率変数標本分布標本分布：標本統計量は確率変数であり、ある確率分布を持っている。この標本統計量の確率分布をその統計量の標本分布（Sampling Distribution)という。標本比率の標本分布の例内閣支持率を仮に40％とする（ｐ＝0.4） 5人に聞く(n=５）支持という回答の可能性が6の通り 5 x P( xi )5 Cx  0.4  0.6 x x pˆ P ( pˆ ) x pˆ  n 0 1 2 3 0 0.2 0.4 0.6 0.078 0.2592 0.346 0.2304 4 5 0.8 1 0.0768 0.0102 標本比率の標本分布二項分布の特性値 E( X )  np V ( X )  npq ｎが大きいとき、ｘの分布は近似的正規分布である。Ｘの分布は近似的 N (np, npq) である。但し、 q  1 p 標本比率  x Pn 不偏推定量：  x 1 1 E ( p)  E ( )  E ( x)  np  p n n n 一致推定量：  x 1 1 pq V ( p)  v( )  2 v( x)  2 npq  n n n n まとめ  標本比率 p の標本分布はｎが大きいとき pq ) である。従って近似的に N ( p, n  Z  p p pq / n は、近似的にN(0,1)に従う。練習問題硬貨を10回投げたとき、表の出る比率の標本分布を作れ、そして、その期待値と分散を直接求め、   pq E ( p )  p, V ( p )  n となることを確かめよ。ただしP=1/2とする。解答Ｘ：表の出る回数、ｘが二項分布に従う。二項分布： p( x)10 Cx 0.5x 0.510 x  表の出る比率： P  x n  確率： P( P)  P( x) である表の出る比率の標本分布Ｘ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0  P  P ( P) 0.00 0.00 0.04 0.11 0.20 0.24 0.20 0.11 0.04 0.00 0.001 1 98 4 7 5 6 5 7 4 98 証明の結果期待値 10 E ( pˆ )   pˆ  P( pˆ )  0  0.001 0.1 0.0098     0.5  p i 0 分散 10 V ( pˆ )   ( pˆ  0.5) 2  P( pˆ )  (0  0.5) 2  0.001 (0.1  0.5) 2  0.0098     0.025  i 0 pq n