統計解析第10回 12章標本抽出、13章標本分布

統計解析第10回
１２章標本抽出、１３章標本分布
今日学ぶこと
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標本抽出
標本分布
不偏推定量
中心極限定理
標本抽出の必要性
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標本が壊れやすい
標本が無限個ある
測定できない
とにかく数が多い
→無作為抽出
練習問題
母数と推定量
母集団：対象となるもの全体
標本：対象からデータを取るために
抜き出したもの
母数：母集団の平均、分散など
推定量：標本のデータをもとに推定した
平均、分散など
例：日本人の平均年齢
母集団：日本人
標本：日本各地でランダムに
選ばれた１００人
母数：日本人の平均年齢
推定量：選ばれた１００人をもとに
推定された平均年齢
不偏推定量
推定量の平均が母数に等しい
標本平均は母集団平均の不偏推定値
標本分布の例
変なルーレット
•1が出る確率1/2
•2が出る確率1/3
•3が出る確率1/6
出る値の期待値と分散を求めてみよう
期待値 = 1×1/2 + 2×1/3 + 3×1/6 = 5/3
分散 = 12×1/2 + 22×1/3 + 32×1/6 – (5/3)2
= 5/9
?
標本分布の例(2)
ルーレットを2回だけ回せるお客は
出る値の平均と分散を推定できるだろうか？
１回
目
２回
目
2回の
平均
2回の
分散
確率
平均
1
1
1
1
0
1/4
3/2
2
1
2
3/2
1/4
1/6
1
3
2
1
1/12
2
1
3/2
1/4
1/6
2
2
2
0
1/9
2
3
5/2
1/4
1/18
3
1
2
1
1/12
3
2
5/2
1/4
1/18
3
3
3
0
1/36
??
2
5/2
3
分散
0
確率
1/4
1/4
1
1/3
1/6
0
1/9
1/4
0
1/9
1/36
??
平均の期待値は？
分散の期待値は？
1/4+1/2+1/3+2/9+5/18+1/12=5/3
？
平均と分散の不偏推定量
母数の平均の不偏推定量 = 標本の平均
分散の不偏推定量は標本の分散ではない
標本の分散は過少推定値になっている
n
母数の分散の不偏推定値 
 標本の分散
n 1
標本分布の例(2)
ルーレットを2回だけ回せるお客は
出る値の平均と分散を推定できるだろうか？
平均
確率
1
3/2
2
分散の
不偏推定量
0
5/12
4/3
2
5/2
0
1/4
?
1/9
1/9
?
3
0
1/36
1/4
1/3
1/6
？
5/36+2/9+1/36=7/18
分散の不偏推定量の期待値は？
中心極限定理
変量Xが平均μ、分散σ2の確率分布に従うならば
xのn個の平均はだいたい平均μ、分散σ2/nの正規分布に従う
例えば
X～N(μ, σ2)
ならば
y=x1+x2+x3
は平均μ、分散σ2/3の正規分布に従う
実際にやってみよう
変なルーレット
•1が出る確率1/2
•2が出る確率1/3
•3が出る確率1/6
を3回まわすときの
合計の確率分布表を作ろう
合計点
確率
3
1/8
5
6
8
9
10
11
?
3/8
4
7
3回の合計の
期待値
と
分散
を求めよう
点×確率点2×確率
12
?
9/8

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