確率･統計Ⅰ

確率･統計Ⅰ
第8回二項分布の近似、ポアソン分布、正規分布
ここです！
1.
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3.
4.
5.
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7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
確率論とは
確率変数、確率分布
確率変数の独立性／確率変数の平均
確率変数の平均（続き）、確率変数の分散
確率変数の共分散、チェビシェフの不等式
ベルヌイ試行と二項分布
二項分布（続き）、幾何分布など
二項分布の近似、ポアソン分布、正規分布
正規分布とその性質
i.i.d.の和と大数の法則
中心極限定理
統計学の基礎1（母集団と標本、確率論との関係）
統計学の基礎2（正規分布を用いた推定・検定）
二項分布の近似、
ポアソン分布、正規分布
1. 二項分布のポアソン近似
2. ポアソン分布
3. 二項分布の正規近似
4. ポアソン近似と正規近似の関係について
二項分布のポアソン近似
X を二項分布 B(n, p) に従う確率変数とする。
λ=np を一定にして n→∞ のとき、
P ( X  r )  n Cr p q
r
nr

「ポアソン分布」
と呼ぶ（後出）

r
r!
e

n がある程度大きく、しかも p が小さい場合に、左辺（二項分布）
を右辺の式（ポアソン分布）で近似できる。
目安としては、n≧100, p≦0.05
二項分布のポアソン近似の様子
p=0.01, n=300
∴λ=np=3
r
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
r
B (3 0 0 , 0 .0 1 ) (3 / r !)･e
0.0490
0.1486
0.2244
0.2252
0.1689
0.1010
0.0502
0.0213
0.0079
0.0026
0.0008
0.0002
0.0000
-3
0.0498
0.1494
0.2240
0.2240
0.1680
0.1008
0.0504
0.0216
0.0081
0.0027
0.0008
0.0002
0.0001
二項分布のポアソン近似の様子
二項分布 B(300, 0.01)
∴np=3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
（…省略）
r→ 0
2
4
6
8
…300
二項分布のポアソン近似の様子
二項分布 B (3000, 0.001)
∴np=3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
（…省略）
r→ 0
2
4
6
8
…3000
二項分布のポアソン近似の様子
二項分布 B (30000, 0.0001)
∴np=3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
（…省略）
r→ 0
2
4
6
8
…30000
二項分布のポアソン近似の様子
（λ=3 のポアソン分布）
r
3 3
e
r!
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
（…省略）
r→ 0
2
4
6
8
……∞
二項分布のポアソン近似の方法
X が二項分布 B(n, p) に従うとき、
nが大きく（n≧100）、 pが小さい（ p≦0.05）ならば
P( X  r )n Cr p q
r
n r
のかわりに

r
r!
e

を計算
（λ= np ）
これもシンドイが
こっちよりはずっと楽
二項分布のポアソン近似（例題）
例題：ビジ確率1/400 のパチスロを400回
回したとき、少なくとも一回当たる確率を
求めよ。
X を B(400, 1/400) に従う確率変数とするとき、
1 - P(X=0) を求めればよい。
まじめに計算すると P(X=0) = (399/400)400
二項分布のポアソン近似（例題）
例題：ビジ確率1/400 のパチスロを400回
回したとき、少なくとも一回当たる確率を
求めよ。
パラメータλ= 400×1/400 = 1 のポアソン分
布として計算すれば
0
1 1 1
1
P( X  0)  e  
 0.37
0!
e 2.7
1 - 0.37 = 0.63
［再演習］二項分布
[4] ある部品が一定期間内に故障を起こさな
い確率を「精度」と呼ぼう。
(1) 精度が0.999の部品1000個のうち、どの
部品も故障しない確率を求めよ。
(2) 精度が0.999の部品10000個のうち、ど
の部品も故障しない確率を求めよ。
二項分布の近似、
ポアソン分布、正規分布
1. 二項分布のポアソン近似
2. ポアソン分布
3. 二項分布の正規近似
4. ポアソン近似と正規近似の関係について
ポアソン分布
P( X = r ) が次の式で与えられる確
率分布を、パラメータλのポアソン分
布という：
P( X  r ) 

r
r!
e

( r = 0, 1, 2, … )
離散型；値無限個
（問）これが確かに確率分布であることを確かめよ。
ポアソン分布
e  1  

r = 0
1

2
2!
2


3
3!
3


4
4!
4

…
（比率はこのまま、全部で 1 になるように、全体に e -λ を掛ける。）
ポアソン分布の平均と分散
確率変数 X がパラメータλの
ポアソン分布に従うとき、
1. E(X) =λ
2. V(X) =λ
（問）これらを確かめよ。
ポアソン分布のグラフ
ポアソン分布 (λ=10 )
f (r ) 

r
r!
0.12
 e 
（ r = 0, 1, 2, …… ）
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
2.5
5
7.5
10
12.5
r =λ
最大値
15
17.5
20
ポアソン分布のグラフとλ
λによる変化
0.5
λ= 0.7
0.4
λ= 1
0.3
0.2
λ= 2
λ= 3
λ= 5
λ= 8
0.1
r → 0 1 22
4
6
8
10
12
14
ポアソン分布の意味
空間または時間の１単位あたり、
平均λ回起こる（ことがわかっている）
事象があるとする。
例1：製品１個あたり平均２個の傷が入る工芸品
例2：ぶどうパン１個あたり平均２個の干しぶどうが入る工場
例3：昼間の１時間あたり平均３回の電話がかかる会社
ポアソン分布の意味
このとき、特定の１単位に、
実際にそれが何回起こるかの確率
パラメータλのポアソン分布
例1：製品１個あたり平均２個の傷が入る工芸品
例2：ぶどうパン１個あたり平均２個の干しぶどうが入る工場
例3：昼間の１時間あたり平均３回の電話がかかる会社
ポアソン分布の意味
例1：製品１個あたり平均２個の傷が入る工芸品
N大
N大
区画数 N
区画に傷のある確率 p = 2 / N
各区画に傷ができる事象は独立
∴ 製品1個の傷の個数 X は B(N, p) に従う
（N個分のベルヌイ試行とみなせるから）
Np =λ=2
ポアソン分布の意味
例2：パン１個あたり平均２個の干しぶどうが入る工場
×N個
パンの数 N
N大
干しぶどうの数 2N
干しぶどう１個がこのパンに入る確率 p = 1 / N
各干しぶどうがこのパンに入る事象は独立
∴ パン1個の干しぶどうの個数 X は B(2N, p) に従う
（2N個分のベルヌイ試行とみなせるから）
2N p = λ = 2
ポアソン分布の意味
例3：昼間の１時間あたり平均3回の電話がかかる会社
N大
t1
t2
N大
t1
t2
t1
t2
1時間を N等分
1区間に電話のかかる確率 p = 3 / N
各区間に電話のかかる事象は独立
∴ 1時間の電話の回数 X は B(N, p) に従う
（N個分のベルヌイ試行とみなせるから）
Np =λ=3
ポアソン分布（例）
馬に蹴られて死んだプロシアの兵士
（1875-1894）
r
観測度数期待度数
0
144
139.0
1
91
97.3
2
32
34.1
3
11
7.9
4
2
1.4
5以上
0
0.2
λ=0.7のポアソン分布の値
ポアソン分布（例）
馬に蹴られて死んだプロシアの兵士
（1875-1894）
150
100
観測度数
期待度数
50
0
0
1
2
3
4
5以上
ポアソン分布（例題）
例題： 1個につき平均2個の傷が普通の
工芸品がある。傷が5個以上ある製品は
返品を受け付けている。製作した製品の
何%が返品されると考えられるか。
X を 1製品あたりの傷の個数とすると、
Xはパラメータλ=2 のポアソン分布に従う。

P( X  5)   P( X  r )
r 5
4
 1   P( X  r )
r 0
ポアソン分布（例題）
例題： 1個につき平均2個の傷が普通の工芸品がある。
傷が5個以上ある製品は返品を受け付けている。製作し
た製品の何%が返品されると考えられるか。

4
r 5
r 0
P( X  5)   P( X  r )  1   P( X  r )
2
3
4
7

2 2 2  2
 1  1  2    e  1
2
(2.7)
2! 3! 4! 

≒ 0.052
約 5%
ポアソン分布の応用例
 細胞内の染色体交替数、バクテリア数など、
生物統計への応用
放射線物質の崩壊
在庫管理（いくつ仕入れておけば売り切れの
確率をあるレベル以下にできるか）
電話や道路の混雑状況の見積もり→回線数
をどれだけ用意すれば、（平常時は）十分やって
いけるか
etc…
二項分布の近似、
ポアソン分布、正規分布
1. 二項分布のポアソン近似
2. ポアソン分布
3. 二項分布の正規近似
4. ポアソン近似と正規近似の関係について
二項分布の正規近似
X を二項分布 B(n, p) に従う確率変数とする。
（ド・モアブル-ラプラスの定理）
n→∞のとき、
b
1
P ( a  X  b) 
e

2npq a
「正規分布」
と呼ぶ（後出）
( x  np ) 2

2 npq
dx
二項分布の正規近似´
X を二項分布 B(n, p) に従う確率変数とする。
（ド・モアブル-ラプラスの定理；別の形）
「標準正規分布」
と呼ぶ（後出）
n→∞のとき、


X

np
1
P a 
 b 


npq
2



b
a
e
x2

2
dx
二項分布の正規近似の様子
 X  np

npq  P
 r
 npq



p = 0.3
n = 10
0.4
0.3
0.2
0.1
-3
-2
-1
1
2
3
r’
二項分布の正規近似の様子
 X  np

npq  P
 r
 npq



p = 0.3
n = 100
0.4
0.3
0.2
0.1
-3
-2
-1
1
2
3
r’
二項分布の正規近似の様子
 X  np

npq  P
 r
 npq



p = 0.3
n = 1000
0.4
0.3
0.2
0.1
-3
-2
-1
1
2
3
r’
二項分布の正規近似の様子
標準正規分布
1
f ( x) 
e
2
x2

2
0.4
0.3
0.2
0.1
-3
-2
-1
1
2
3
x
正規分布
確率密度関数が次の式で与えられ
る確率分布を、平均μ, 分散σ2の正規
分布 N(μ,σ2) という：
f ( x) 
1
e
2 

x   2

2 2
（問）これが確かに確率分布であることを確かめよ。
標準正規分布
確率密度関数が次の式で与えられ
る平均0, 分散1の正規分布を、
標準正規分布 N(0, 1) という：
f ( x) 
1
e
2
x2

2
二項分布の正規近似（再）
X を二項分布 B(n, p) に従う確率変数とする。
（ド・モアブル-ラプラスの定理）
N(np, npq)
n→∞のとき、
b
1
P ( a  X  b) 
e

2npq a
( x  np ) 2

2 npq
dx
二項分布の正規近似´ （再）
X を二項分布 B(n, p) に従う確率変数とする。
（ド・モアブル-ラプラスの定理；別の形）
N(0, 1)
n→∞のとき、


X

np
1
P a 
 b 


npq
2



b
a
e
x2

2
dx
二項分布の正規近似の方法
確率変数 X は二項分布 B(n, p) に従う
確率変数 Z は正規分布 N(np, npq) に従う
とする。
p が 0 や 1 に近くなく、n が十分大きいとき、
目安： np≧5 かつ nq≧5
P( X = r ) = P( r - 0.5 ≦ X ＜ r + 0.5 )
≒ P( r - 0.5 ≦ Z ＜ r + 0.5 )
二項分布の正規近似の方法
では、これはどうやって計算するのか？
式で書けば
r  0.5
1
e

2npq r 0.5
( x  np ) 2

2 npq
dx
とても無理
数表を使う
P( X = r ) = P( r - 0.5 ≦ X ＜ r + 0.5 )
≒ P( r - 0.5 ≦ Z ＜ r + 0.5 )
二項分布の正規近似の方法
確率変数 Z は正規分布 N(np, npq) に従う
確率変数 Z* は標準正規分布 N(0, 1) に従う
N(0,1) の数表はある
とする。
Z* に関する確率は分かる
P( r - 0.5 ≦ Z ＜ r + 0.5 )
 r  0.5  np

r

0
.
5

np
*

 P
Z 


npq
npq


二項分布の正規近似（例題1）
例題：確率変数 X が B(10, 0.5) に従うと
き、P(4≦X≦6) を厳密に求め、これと正規
近似から得られる確率を比較せよ。
P(4  X  6)
 P( X  4)  P( X  5)  P( X  6)
1
21
 10 C4 10 C5 10 C6  10 
 0.65625
2
32
二項分布の正規近似（例題1）
例題：確率変数 X が B(10, 0.5) に従うとき、P(4≦X≦6) を求め、こ
れと正規近似から得られる確率を比較せよ。
P(4≦X≦6)=0.65625
Z を N(10×0.5, 10×0.5×0.5) = N(5, 2.5) に従う確率変数とすると
6.5  5 
 3.5  5
*
P(3.5≦Z＜6.5)  P
Z 

2.5 
 2.5
= P(-0.95≦ Z*＜0.95) = （ N(0,1) の表を利用）
≒ 0.6578
二項分布の正規近似（例題2）
例題：確率変数 X が B(30, 1/6) に従うと
き、P(X≦5) を求め、これと正規近似から
得られる確率を比較せよ。
5
P( X  5)   P( X  r )
r 0
1
  30 Cr  
 6
r 0
5
r
 5
 
 6
30  r
 0.6164
二項分布の正規近似（例題2）
例題：確率変数 X が B(30, 1/6) に従うとき、P(X≦5) を求め、これ
と正規近似から得られる確率を比較せよ。
P(X≦5)=0.6164
Z を N(30×1/6, 30×1/6×5/6) = N(5, 25/6) に従う確率変数とすると
5.5  5 
  0.5  5
*
P(0.5  Z  5.5)  P
Z 

25 / 6 
 25 / 6
= P(-2.69≦Z*<0.24) = （ N(0,1) の表を利用）
≒ 0.59…
二項分布の近似、
ポアソン分布、正規分布
1. 二項分布のポアソン近似
2. ポアソン分布
3. 二項分布の正規近似
4. ポアソン近似と正規近似の関係について
二項分布の正規近似と
ポアソン近似の関係について
正規近似［ B(n, p) → N(np, npq) ］の条件：
p が 0 や 1 に近すぎず、 n が十分大きいとき
（目安： np≧5 かつ nq≧5）
ポアソン近似［ B(n, p) → λ=np のポアソン分布］の条件：
p が小さく、 n が（npが小さすぎない程度）大きいとき
（目安： n≧100 かつ p≦0.05）
※ 逆に言えば、 pがやや小さくても、 n が非常に大きいなど、
両方の条件がクリアされているなら、どちらを使ってもよい。
二項分布の正規近似と
ポアソン近似の関係について
Y をパラメータλのポアソン分布に従う確率変
数とする。
λ→∞ のとき、
Y は N(λ, λ) に近づく。
（
Y 

は N(0, 1) に近づく。）
ポアソン分布のグラフとλ（再）
λによる変化
0.5
λ= 0.7
0.4
λ= 1
0.3
0.2
λ= 2
λ= 3
λ= 5
λ= 8
0.1
r → 0 1 22
4
6
8
10
12
14
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