1章データの整理

3章確率変数とその分布
3.4 基本的な分布関数
■ベルヌーイ試行
(Bernoulli Trials)
成功
S
●
ｐ
失敗
F
○
q
=1–p
⇒ 確率変数化 ⇒
成功
X=1
●
失敗
X=0
○
(0≦p≦1)
p
q
x 1 x
P( X  x )  p q
( x  0, 1)
■二項分布
(Binomial Distribution)
独立な n 回のベルヌーイ試行
{ X1 , X2 , … , Xn }
成功（Xi = 1）の回数 X
n
X   Xi
i 1
( X  0,1, , n)
http://econom01.cc.sophia.ac.jp/stat/Binom1.htm
n 回の Bernoulli 試行における「成功の回数 X 」の確率分布
P(X = x ) (x =0,1,…,n )
n=0:
失敗：左下へ移動
成功：右下へ移動
q
n=1:
q
q
n=4:
q
4
q
p
p
q2
n=2:
p
3 pq
4 pq
q
p
p2
2 pq
3
p
p = 成功の確率
q = 失敗の確率
p
q
q
n=3:
1
q
3
q
p
2
q
p
2
3p q
p
q
2
6p q
2
p
p
q
3
4p q
3
p
p
4
二項確率：
P( X  x)  n C x p q
x
n x
( x  0, 1, , n)
二項確率の総和：
1  ( p  q) 
n
n
 nCx p
x 0
x n x
q
二項分布の
（理論）平均
または
期待値：
  E[ X ]  np
分散：
  V [ X ]  npq
2
右と同様に E[X(X-1)] を求め
V[X] = E[X2] – μ2 を利用。
標準偏差：
σ  npq
n
n
x 0
x 1

E[ X ]   x p( x )   x p( x )
0 は不要
n( n  1) ( n  x  1) x n x
x
p q
x( x  1)1
x 1

n
n C x
( n  1) ( n  x  1) x 1 n  x
 np
p q
( x  1)1
x 1


n
 n 1 C x 1
n 1
 np n1 C y p q
 np
y 0




y
( n 1 )  y
1 ( y  x 1 )
[例題 1]
男子と女子が生まれる確率は、各々約
1/2 であることが知られている※。
ある家で 2人、3人および 4人の子供が生
まれた各場合について、女子の数の確
率分布を求めよ。
--------※日本の平成10年データ:
男子 0.513, 女子 0.487
A) 成功の確率 p = 1/2 の二項分布
PX  x  
p( x )  n C x p q
x
n x
確率関数
x
1 1
n C x    
2 2
• 確率の比
n x
Cx
 n
2
n
 x  0,1,, n
= 組合せ数 nCx の比
• 組合せ数の合計値 = 2n
[n = 2]
確率と組合せ数の比例関係より
p(0) : p(1) : p(2) = 1 : 2 : 1
2
係数の合計 2 = 4
したがって
p(0) = 1/4、 p(1) = 2/4、p(2) = 1/4
確率
二項分布 ( p = 0.5 n = 2 )
60%
50%
40%
30%
20%
10%
x
0%
0
1
2
[n = 3]
確率と組合せ数の比例関係より
p(0) : p(1) : p(2) : p(3) = 1 : 3 : 3 : 1
3
係数の合計 2 = 8
したがって p(0) = 1/8、p(1) = 3/8、
p(2) = 3/8、p(3) = 1/8
確率
二項分布 ( p = 0.5 n = 3 )
40%
35%
30%
25%
20%
15%
10%
5%
0%
x
0
1
2
3
[例題 2]
野球のある試合において
打率 3 割の打者が
4 回の打席で
ヒットを打つ回数の確率分布
を求めよ。
ヒットの回数 X (X = 0,1,2,3,4)
p = 0.3、n = 4 の二項分布
p(0) 4 C 0 0.3 0.7   0.7   0.2401
0
4
4
p(1) 4 C1 0.3 0.7 
1
3
4
4 0.3
1
3
 0.3 0.7   p(0)  
 0.4116
1
1 0.7
p( 2) 4 C 2 0.3 0.7 
2

2
4 3
3 0.3
2
2
0.3 0.7  p(1)    0.2646

2 1
2 0.7

p( 3) 4 C 3 0.3 0.7 
1
3

2 0.3
4 3 2
1
3
0.3 0.7  p(2)    0.0756

3 0.7
3 2  1

p(4) 4 C 4 0.3 0.7 
0
4

1 0.3
4 3 21
0
4
0.3 0.7   p(3)    0.0081

4 0.7
4 3  2  1

確率
二項分布 ( p = 0.3 n = 4 )
50%
0.4116
40%
30%
0.2646
0.2401
20%
0.0756
10%
0.0081
x
0%
0
1
2
3
4
組合せ数と二項確率の漸化式
B) n C0  1
n  x 1
n C x  n C x 1 
x
n
C ) p( 0 )  q
n  x 1 p
p( x )  p( x  1) 

x
q
 x  1,2, , n
 x  1,2, , n

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