スライド 1

確率の考え方の基礎
二項分布と正規分布
2006年1月25日
作成：本間聡
アウトライン
 設問1：打者はヒットを打てるのか？

演習問題１：設問１の内容の繰り返し
 二項分布から正規分布へ
 設問２：サイコロを170回振る．
1の目が25～35回出る確率は？
 正規分布表の使い方


演習問題２：設問２の内容の繰り返し
例題：試験で上位の人の得点を求める
設問１
 打率が1/3のバッターがいる．3打席で少な
くとも1本のヒットを打つ確率は？
 その確率は１となるか？
「打率が1/3」の本質
 ヒットを○，アウトを×とする．
ある打者の成績
１
２
３
○
７
８
９
４
５
○
○
１０
１１
６
打率＝
１２
ヒットを打った打席数
１３
１４
１５
１６
１７
○
○
○
１８
全打席数
成績を見ると，打率1/3と言っても，
3打席中に必ず1本のヒットが出るわけではないことがわかる
設問内容：打率が1/3のバッターがいる．3打席で少なくとも1本のヒットを打つ確率は？
3打席で，ヒット・アウトはどのように
発生するのか？
 発生する事象と確率
ヒット・アウトになる確率
ヒット：1/3
アウト：1-1/3=2/3
各事象の発生確率は
１打席
２打席
３打席
×
×
×
2/3× 2/3× 2/3=（2/3）3
○
×
×
1/3× 2/3× 2/3= （1/3）（2/3）2
×
○
×
2/3× 1/3× 2/3= （1/3）（2/3）2
×
×
○
2/3× 1/3× 2/3= （1/3）（2/3）2
○
○
×
1/3× 1/3× 2/3= （1/3）2 （2/3）
○
×
○
1/3× 2/3× 1/3= （1/3）2 （2/3）
×
○
○
2/3× 1/3× 1/3= （1/3）2 （2/3）
○
○
○
1/3× 1/3× 1/3= （1/3）3
設問内容：打率が1/3のバッターがいる．3打席で少なくとも1本のヒットを打つ確率は？
3打席で少なくとも1本のヒットを
打つ確率は？
 少なくとも1本のヒットを打つ確率
＝1ー（1本もヒットを打たない確率）
＝１－(2/3)3
＝0.704
つまり，3打席で少なくとも1本のヒットを打つ確率は約７０％
打率1/3というのは，3打席中に必ず1本のヒットを打つことではない．
データ（成績）にはばらつきがあることを頭に入れること．
設問内容：打率が1/3のバッターがいる．3打席で少なくとも1本のヒットを打つ確率は？
数学としての整理1
ヒットになる確率p，アウトになる確率q（=1-p）とする
各事象の確率
１打席
２打席
３打席
×
×
×
q3
○
×
×
pq2
×
○
×
pq2
×
×
○
pq2
○
○
×
p2q
○
×
○
p2q
×
○
○
p2q
○
○
○
p3
ヒット0本の確率
q3
ヒット１本の確率
3pq2
ヒット２本の確率
3p2q
ヒット3本の確率
p3
0q3
3C0 p
1q2
C
p
3 1
2q1
3C2 p
3q0
C
p
3 3
設問内容：打率が1/3のバッターがいる．3打席で少なくとも1本のヒットを打つ確率は？
数学としての整理２
 1回の試行で，事柄Aの起こる確率がpの試行を独立にn
回繰り返した時，事柄Aの起こる回数Xとするとその確率
は
P(X=k)=nCkpkqn-k (k=0,1…, n)
 Xに対するP(X)の分布を2項分布Bin(n,p)と呼ぶ
 二項分布の大原則は，試行毎に確率が変動しない．また，
事象が起こる，起こらないと事のみを対象とする．
（つまりは，先の打席の問題で，二塁打，ホームランなど
とは考えず，ヒットを打ったかどうかが重要）
数学としての整理３
 打率が1/3のバッターがいる．p=1/3，q=2/3

3打席で0本のヒットを打つ確率は？ →P(0)=3C0p0q3 = 0.296

3打席で1本のヒットを打つ確率は？ →P(1)=3C1p1q2 = 0.444

3打席で2本のヒットを打つ確率は？ →P(2)=3C2p2q1 = 0.222

3打席で3本のヒットを打つ確率は？ →P(3)=3C3p3q0 = 0.037
0.5
0.4
確率P(X)
Bin(3, 1/3)
0.3
0.2
0.1
0.0
0
1
2
X
3
MATLABで関数を定義する
 自分で定義する関数はmファイ
ルとして保存する必要がある．
 ファイル→新規作成→mファイ
ル



編集画面が出てくる
Mファイルの書き方
 function[出力変数リスト]=関
数名（入力引数リスト）
関数名と同じファイル名をつけて保
存する
 例）「ファイル→新規作成→mファイ
ル」で編集画面を出す．以下の文を入
力する
function y=test(x)
h=0;
for k=0:x
h=h+k;
end
y=h
ファイル名はtest.mとして保存
通常のmatlabの画面で
test(3)と入力する．結果を表示する
MATLAB覚え書き
 Mファイル作成
 Command Windowで<ファイル><新規作成><M-file>を実行する
 M-fileを記述する．
 関数のファイルをc:\MATLABR11\WORKにセーブして実行を確認し，
シャットダウン前に個人のフォルダにコピーして実行する．
 ↑自分でパスを設定してもよい．Webページなどを参考に
組み合わせの関数のプログラム
（MATLAB）
nCr

mファイルを作成する．







を計算する関数staticC(n,r)の定義
新規作成→mファイル
function result=staticsC(n,r)
k=1;
for m=0:r-1
k=k*(n-m)/(r-m);
end
result=k;
ファイルの名前はstaticsC.mとする
n!
r!(n  r )!
n  (n  1)    (n  r  1)  (n  r )  (n  r  1)    1

r  (r  1)  (r  2)    1 (n  r )  (n  r  1)    1
n  (n  1)  (n  2)    (n  r  1)
約分

r  (r  1)  (r  2)    1
n Cr 
staticC(5,3)と打てば，5C3の結果を出力する
組み合わせの関数のプログラム
（octave）
nCr







を計算する関数C(n,r)の定義
>>function y=staticC(n,r)
k=1;
for m=0:r-1
k=k*(n-m)/(r-m);
end
y=k;
end
Mファイルを作成せずに出来ます．
ただし保存しないと，プログラム終了後
関数情報は消える
n!
r!(n  r )!
n  (n  1)    (n  r  1)  (n  r )  (n  r  1)    1

r  (r  1)  (r  2)    1 (n  r )  (n  r  1)    1
n  (n  1)  (n  2)    (n  r  1)
約分

r  (r  1)  (r  2)    1
n Cr 
staticC(5,3)と打てば，5C3の結果を出力する
カレントディレクトリにmファイルを作成すれば，matlabと同様通常の関数として使用可能．
ファイルはテキストエディタで作成すること．ファイル名は関数名と同じ，拡張子はmとする
スライド9のグラフ作成のプログラム
 >>n=3;
 >>p=1/3;
 >>q=1-p;
 >>for m=0:n
 B(m+1)=staticC(n,m)*p^m*q^(n-m);
←試行回数を入力
←事象Aが起きる確率
←事象Aが起こらない確率
←事象Aの起きる回数X
←Xに対する発生する確率
 end
 >>X=0:1:n;
 >>stem(X,B)
BはP(X=k)=nCkpkqn-k (k=0,1…, n)を
計算している
試行回数を100回にした場合の結果を表示すること
演習問題１
 セールスマンがある製品を売るために20件の家庭を訪問
する．この製品が売れる確率は10%(p = 0.1) であるとい
う．以下の問題に答えよ．



全く売れない確率を求めよ．
2 個売れる確率を求めよ．
3 個以上売れる確率を求めよ．
 サイコロを10回振る．1の目がX回出る確率P(X)を求めよ．
さらにXに対するP(X)のグラフを作成せよ．
試行回数が増えるとどうなる？
 打率1/3の打者の話に戻そう．スライド9を見直すと，3
回の打席で1本のヒットを打つ確率が最も高い値と
なったが，次に高い値となったのが1本もヒットを打て
ない場合．
 打席数を増やしたらどうなるだろうか？
試行回数が増えるとどうなる？２
 試行回数に対する確率分布の形状変化
試行数nが大きくなると
n/3を中心とする
対称な分布になる．
→正規分布で近似される
確率 P (X)
0.4
n=50
n=20
n=10
n=5
0.3
0.2
0.1
0.0
10
20
30
X
40
50
設問２
 サイコロを170回振る．
1の目が25～35回出る確率は？
設問２の一つの回答(1)
 スライド8より，1回の試行で，事柄Aの起こる確率がpの試行
を独立にn回繰り返した時，事柄Aの起こる回数Xとするとそ
の確率は
P(X=k)=nCkpkqn-k (k=0,1…, n)
 先ほどのプログラムで，1回の試行で事柄A
が起こる確率をp=1/6とし，試行回数を170と
して，回数X（=25～35）に対するP(X)を計算
し，ぞれぞれを足し合わせる．
設問２の内容：サイコロを１７０回振る．1の目が２５～３５回出る確率は？
設問２の一つの回答(2)
0.09
0.08
約0.709
つまりは約71%
0.07
0.06
確率P(X)
右図のX=25～35の範囲
の確率を足し合わせる
Bin(170,1/6)
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0
0
20
40
60
80
100
120
回数X
設問２の内容：サイコロを１７０回振る．1の目が２５～３５回出る確率は？
140
160
180
演習問題２
 サイコロを100回振る
 １．奇数の出る回数に対する確率分布を
計算し，図示せよ．
 ２． 10回～20回出る確率を求めよ
演習問題追加2-2
 １，２，３の数字を記したカードがそれぞれ1枚，2枚
，3枚合計6枚ある．Aさんが一枚のカードを引き，
そのカードの数字をXとする．次にそのカードを戻し
てから，Bさんが一枚のカードを引き，そのカードの
数字をYとする
 X+Yの確率分布を求めよ
正規分布を利用する理由
 試行回数が多い場合，条件となるXについてすべての
確率を求め，足し合わせるのは非常に時間と労力がか
かる．
 スライド14と17を比較すると，試行回数が多い場合は
設問１，設問2の確率分布は形が非常によく似ている．
→正規分布で近似

期待値と分散値：
正規分布を利用するために必要なパラメータ
 正規分布に行く前に，期待値と分散値について


二項分布Bin(n,p)に従う確率変数Xの期待値と分散を求める
確率pで起こる事柄Aが，n回の試行で起こる回数がX
 第i回目の試行の結果について，以下の確率変数X1，X2・・・Xnを考える
）
1 ( Aが起こったとき
Xi  
0 ( Aが起こらないとき）

事象Aが起きるか起きないかが
重要で，事象自体には値はな
い物とする
各Xi の確率分布は
Xi
P
1
p
0 計
q 1
但しq=1-p
2項分布の期待値と分散値
 第i回目の試行の結果について，以下の確率変数X1，X2・・・Xnを考
える

各Xiの期待値：
E ( X i )   xk  pk  1  p  0  q  p
k
V ( X i )   xk  E ( X i )   pk  1  p  p  0  p  q
2

各Xiの分散値
2
k
 pqq  p 
 pq
 n回試行を繰り返した場合（n倍して）

期待値及び分散値は
E ( X )  np
V ( X )  npq
2
正規分布と確率
 スライド12より試行回数nが大きくなると，期待値を中心に左右
対称の確率分布になる．
 これは期待値E(x)=μ，分散値V(x)=σ2とした場合の正規曲線で近
似される．
y
1
2 
N ( , )
2

x   2

e
2 2
変曲点
変曲点
積分すると1となる
μ-σ
 μ+σ
Y Axis Title
正規分布の特性
μ-σ

μ+σ
約68％が含まれる
μ-2σ

μ+2σ
約95％が含まれる
μ-3σ

μ+3σ
約99.7％が含まれる
二項分布と正規分布の比較
 サイコロを170回振った場合の１の目が出る確率に
ついて
0.09
line 3
0.08
赤：二項分布Bin(170,1/6)
青：正規分布N(28.33,23.61)
0.07
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
正規分布の標準化(1)
 正規分布N(μ，σ2)を標準正規分布N(0，1)に変換す
ることで，より使い勝手が良くなる
X
μ－σ
μ
μ＋σ
Y
－σ
0
①μだけずらして平均を0とする（Y=X－μ）
σ
Z
－１
0
１
②σで割って標準偏差を１とする
Z=Y/σ＝（X-μ）/σ
正規分布の標準化(2)
 標準正規分布に変換するとは
X   とすること．その場合，
Z
期待値，分散値は→

XはN(μ，σ2)に従う
1
 X  1
E (Z )  E
  E ( X )          0

   
1 2
 X  1
V (Z )  V 
  2 V (X )  2  1

   
ZはN(1，0)に従う
P ( a  X  b)  P ( a    X    b   )
重要！
a X  b
 P




 
 
b
a
 P
Z

 
 
正規分布表の使用方法(1)
 横軸上のメモリzから，色がつ
いている領域の面積 I (z)を求
めるものが正規分布表
使用例）
z
1.25
正規分布表よりz=1.25
に対する値を探してみま
しょう．
縦軸より 1.2
横軸より 0.05
→青の範囲の確率は
0.3944となる
正規分布表の使用方法(2)
 Zが負となる領域も含む場合
＋
z=－0.67
z=－0.67
z=1.12
z=1.12
＋
I (0.67)
=0.2486
zが負の領域は
正に折り返して計算する
z=0.67
I (1.12)
=0.3686
z=1.12
合計：0.6172
設問２の解法(1)
 サイコロを170回振る．
1の目が25～35回出る確率は？
まず，期待値E，分散値Vを求める．
 E=npより，E=28.33・・・
 V=npqより，V=23.61・・・
 いま求める確率はP(25≤X ≤35)．
b
a
 25  28.33
35  23.61
P ( a  X  b)  P 
Z
 より， P 

Z 
 
 
23.61 
 23.61

設問２の内容：サイコロを１７０回振る．1の目が２５～３５回出る確率は？
設問２の解法(2)
 25  28.33
35  23.61

P 
Z 
23.61 
 23.61
P  0.686  Z  1.372
青の領域の面積を求める
＋
z=－0.69
z=－0.69
z=1.37
I (0.69)
=？？？
z=1.37
I (1.37)
=？？？
＋
z=0.69
z=1.37
設問２の解法(3)
 標準正規分布表より求めた結果は？ →0.668
 二項分布より求めた結果は


→0.709
試行回数が小さいと誤差が生じる．
試行回数が小さい場合は，以下のように補正値を加えると良い
b    0.5 
 a    0.5
P
Z 





→0.715
 試行回数が大きい場合は補正は必要ない
設問２の内容：サイコロを１７０回振る．1の目が２５～３５回出る確率は？
演習問題３
 10000人を対象にテストを実施した．その結
果，平均点75点（満点は100ではない）．標
準偏差が10点であった．
 75点以上100点未満の人数を推定せよ．
 60点以下の人数を推定しなさい．
 点数をXとし，75-Y≦X ≦75+Yの範囲に入
る確率を0.95とする．Yを求めよ
演習問題3-1
1. まずZ=（X-75)/10で変換
 75  75 X  75 100 75 
P(75  X  100)  P


  P0  Z  1.5
10
10 
 10
 0  I (2.5)  0  0.4938
人数は10000×0.4938＝4938人と推定
 X  75 60  75 
P( X  60)  P

  PZ  1.5
10 
 10
 0.5  I (1.5)  0.5  0.4332 0.0668
人数は10000×0.0668＝668人と推定
2
Y 
 Y
P(75  Y  X  75  Y )  P   Z   
10 
 10
Y 
 2 P 
 10 
 0.95
Y 
P   0.475を満たす
 10 
Y
Z  を正規分布表から求めると
10
Y
Z
 1.96
10
よってY=19.6となる
演習問題４
 打率0.25の打者がいる．年間500回打席がまわってく
る．ヒット（ホームランも含む）を140本以上打つ確率
を求めよ．


標準正規分布表を使って
余裕のある方は二項分布を使って真の値を求めよ．
（計算機を使って）
 サイコロを360回振って，１または２の目の出る回数
がX=100～120となる確率を求めよ．
追加）センター試験の例題
 ある年の大学入試センター試験のある科目で，受験者数
450000人の得点は，平均点65点，標準偏差20点の正規分
布に従うものとする．



70～90点の受験生は，ほぼ何人と考えられるか？
 P(70≤X ≤90）を求めればよい →自分でやること
得点上位50000人目の得点はいくらか？
 50000人目とは上位から50000/450000=0.111である．
（次のスライドに解法を書いているので参照すること）
得点上位10000人目の得点はいくらか？
 自分で求めること
追加）センター試験の例題の続き
上位
ヒント）Z1はいくらになるか？これを求めるには赤
の領域を考える
0.5-0.111
=0.389
0.111
Z1
となるので，I(Z1)＝0.389より，正規分布表で
条件に合うZ1の値を求める．→Z1=1.22
最後にZからXの値に変換する． Z 
X  65
 1.22
20
Xは約89点
設問の内容：得点上位50000人目の得点はいくらか？
50000人目とは上位から50000/450000=0.111である．

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