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2009年度電磁波工学
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位相速度と群速度

j (w t kx)
１．角周波数wの単振動： f ( x, t ) = Re Ae

時間が進んでも，違う場所で引数の同じ場所がある。
↓
= A cos(wt  kx)  (1)
伝搬
 関数の引数(wt-kx)が等しいと関数f(x,t)も同じ値をとる。時空間で関数f(x,t)が同じ値をとる点の
速度は次式で与えられる。
 (w ) = wt  kx = a  (2)  a = const.
両辺を微分すると，
wdt  kdx = 0となり，変形すること
で
dx w
= = v p  (3) [位相速度]
dt k
=A
wt  kxt=0における初期位相を-kx
とすると，このv
で移動を続ける点，x
= vkt+x
は，位相として(wt-kx)を持ち続けるので，

w
t

w

t

kx


x
= wt  kx  wt  kx = A
w (t  単振動の場合には，このv
を波動の伝搬速度と考えて良い。
t )  k (x  x ) = A

w
x = t  x0  w t  kx = kx 0
wwを持つ単振動の重ね合わせ！
x
k
一般の波動はいろいろな周波数
 wt  kx = 0  j
= j 2wt  v pj 3wt
j 4wt
jnwt
f (t ) = 1  A1e wt k A2e 
t  A3e  A4e   =  Ane
0
p
p
0
p
単一周波数の波動のみからなる波
波数kが周波数wに比例する波
複数の周波数成分の波動からなる波
波数kが周波数wに比例しない波
波形は崩れずに伝搬可能
周波数によって伝搬速度が異なる
分散
伝搬と共に波形が崩れる
2009年度電磁波工学
波数kが周波数の関数k(w)である場合
２．角周波数w0から±wだけずれた周波数振動の重ね合わせ
w0から±wだけずれた周波数振動の位相項
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f (x, t ) = A cos (w )
 (w ) = wt  k (w )x
 (w )   (w0  w ) = (w0  w )t  k (w0  w ) x = a  (4)  w = w  w0
wが小さいものとして，
k (w0  w )を w0の周りで T aylor展開すると次のように
 k (w0  w )
なる。
w k (w0 ) (w )  2 k (w0 )
= k (w0 ) 


1! w
2!
w 2
 k 
 k (w0 )  w 
 (5)  w0  w  w0  w

 w w0
2
同様にして， k (w0 - w )については以下のようになる。
 k 
 k (w0 - w )  k (w0 ) - w 

 w w0
 (6)
２種類の周波数w0w とw0 w の波が混合した場合
f ( x)の x = a近傍でのT aylor展開(但し , f ( x)はn次微分まで可能 )
h f (a ) h 2  2 f (a )
h n 1  (n 1) f (a )
f (a  h ) = f (a ) 




 Rn
(n  1)! x (n1)
1! x
2! x 2
f (x, t ) = cos (w0  w ) cos (w0  w ) = cos(w0  w )t  k (w0  w )x cos(w0  w )t  k (w0  w )x





 

 
 k  
 k  
 cos(w0  w )t  k (w0 )  w 
  x   cos(w0  w )t  k (w0 )  w 
  x   (7 )

w

w






w 0 



w0  


 

 A B   A B 
三角関数の公式，cos A  cos B = 2 cos
 cos
 より
 2   2 



 k  
f (x, t ) = 2 cosw0t  k (w0 )xcos wt  w 
 x  (8)

 w w0 


搬送波
包絡線（固まりとしての波）
2009年度電磁波工学
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包絡線

 k 
変調波→包絡線
cos  wt  w

A{1

+


 x

w

w0b)}
m sin(at
+

搬送波
+ d)
cosBwsin(ct
0t  k (w0 )x
2009年度電磁波工学
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 包絡線が同じ値をとるすなわち引数（｛｝の中身）が一定の点の速度を求める。



 k  
f (x, t ) = cosw0t  k (w0 )xcos wt  w 
 x (8)

 w w0 


 k 
 wt  w 
 x = a,  a = const .
 w w
0
両辺微分して，
搬送波
 k 
 wdt  w 
 dx = 0,
 w w
0
dx
1
=
= vg
dt  k 


 w w
包絡線（固まりとしての波）
 (9) [群速度 ]
0
位相速度・・・ある単一周波数の波の変化速度
群速度・・・色々な周波数の波の重ね合わせた固まり（波群）の伝搬速度
［特殊な一例］
w 
k = k  k ,  k =   , k1 = const. が成り立つ場合。両辺をwで微分して，
c
 2
k
w
(
k ) = 2k
= 2 2  (10)
w
w
c
w 1
 
= c 2より， v p vg = c 2  (11)
k k
w
2
2
2
0
2
1
[位相速度; v p ] 
2
0
1
[群速度; vg ]
※vpが光速よりも大きい場合にはvgは光速よりも小さくなる。
課題
１．振幅が2.0の右旋円偏波と振幅が1.5の左旋円偏波の重ね合わせによって得られる偏波はどの様な偏波
になるか？図示して説明しなさい。
２．教科書p.39の問題2.3を解きなさい。
３．教科書p.40の問題2.6を解きなさい。

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