スライド 1

2009年度電磁波工学
スカラーポテンシャル，ベクトルポテンシャル
静電磁界（Static-Electromagnetic Field） → 時間変化の無い(静的)な電磁界
Maxwell の方程式で電磁界の時間依存性が無い場合　
D
 0,
t
B
0
t
  E  0
  E  0なので渦なし･･･ Eはラメラーベクトル

  D    E  
  H  i
  H  0なので発散なし･･･ Hはソレノイダルベクト



B




H

0

B

  E  
  jB (12) 31

t
  D  
(13)
D

  H  i 
 i  jD (14)

t
  B  0
(15)
(1)
静電界
ル (2)
静磁界
［ヘルムホルツの定理］
あるベクトルwは，その回転と発散が空間の関数として与えられるとラメラー成分u
とソレノイダル成分vの和に書ける。
w uv
w u v

(3)
 'w
u  
dV ' ラメラー (イローテショナル ; 渦なし )ベクトル
 4 r  r'
 'w
v    
dV ' ソレノイダル (ダイバージェンスレス ; 発散なし )ベクトル
 4 r  r'
[ベクトル公式 ]
    A   0
(5)
v  0
  w    u  v     u    v    u
 v    A    v      A   0
A
     0
(4)
u  0
(6)
(7 )
  w    u  v     u    v    v
 u      u       0
2009年度電磁波工学
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ラメラーベクトルなの
で渦なし
(8)
  E  0なので
 1   D

   E

V  
dV '  
dV '  
dV ' (9) V  スカラーポテンシャル



4

r

r'
4

r

r'
4

r

r'


A  ベクトルポテンシャル
 
1
w  H    A ソレノイダルベクトル
なので発散なし (10) ※　Aは，   Aおよび   Aを定めると
w  E  V

    H
   i
A    
dV '  
dV '
 4 r  r'
 4 r  r'
一意的に決まる。(ヘルムホルツの定理より )
  H  0なので
(11)
（動）電磁界（Dynamic-Electromagnetic Field）のMaxwellの方程式 → 時間的に変化する電磁界
B

  E  
  jB (12)

t
  D  
(13)

フェザーを利用して，
 jとする。
D

t

  H  i 
 i  jD (14)

t
  B  0
(15)
式(12)の両辺発散をとると，
    E     jB (16)
式(15)より，   B  0なので， Bはソレノイダルベクト
1
B    A   H    A (17) & B  H
ルとなり，式
(10)の定義を用いると次のように書ける。

式(17)を式 (12)へ代入し整理すると，次のように書ける。
  E  jA  0 (18)
 jB  j  A    jAより，
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式(18)より，E  jA は回転(rot)が0なので，ラメラー(渦なし）ベクトルとなり，式(8)の定義と同様に次のように書ける。
E  jA  V (19)
よって， Eについて解くと次のようになる。
E   jA  V  D  E    jA  V  (20)
式(17)および(20)を，Maxwellの方程式(14)へ代入すると
H 
1

    A  j  jA  V   i (21)
   2 A    A    2  A  jV  i,
k 2   2 
D

  H  i 
 i  jD (14)
この時のＡおよびVを

t
  B ローレンツゲージにおける
0
(15)
ベクトルポテンシャルおよび
1 スカラーポテンシャル
H  と呼ぶ。
  A (17)
  2 A  k 2 A    A  jV    i (22)

Aは，   Aと   Aを定めれば一意的に決まる。 (ヘルムホルツの定理 )
ここで，   A  Bとしたが，   Aに関しては，まだ未定義。･･･式 (17)
  A  jV  0 (23)
ローレンツの条件
が成り立つように置く
と式 (22)は非常に見やすくなる。
ローレンツ条件を満足するベクトルポテンシャルは式 (22)から次の方程式を満足する。
 2 A  k 2 A    i (24)
また，式 (24)の発散をとると，
     A  k 2  A       A  k 2  A     i
となり，式 (23)を用いると
 j    V  j k 2V     i
  Aを決定し (ローレンツ条件で )，
1
Aと Vを同定した !
  2V  k 2V 
i
j
2009年度電磁波工学
  iについて考えると･･
波源
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･

連続の式の時間変化  i ˆ  ˆ   j 電荷密度から次式を得る。
r  r't
rˆ '
アンテナの電磁界（後半）

   0　ラプラスの方程式
2
2
2
 V  k V  
(25)
k  0
観測点

  0　ポアソンの方程式
電流分布ｉを与える
となる。ここで，電流
O
時間変化のあるMaxwellの方程式の解法
rˆ
E   jA  V
1
H   A

2 A  k 2 A  i (24)

 2V  k 2V  
(25)

上式を満足するベクトルA，
スカラポテンシャルVを求める。
ベクトルポテンシャルＡ
を求める
上式に適用して電界磁界
ベクトルを求める。
A
磁界Ｈを求める。
式(24)および(25)の一般積分解は次式で与えられる。
  i e  jk r r'
A  
dV ' (26)
 4 r  r'
  e  jk r r'
V  
dV ' (27)
4

r

r'

遅延ポテンシャル
を計算する。
  i cos t  k r  r' 
Re Ae jt  
dV ' (26)'
4

r

r'

  cos t  k r  r' 
Re Ve jt  
dV ' (27)'
4

r

r'





波源とｉの影響は|r-r’|だけ離れた点に
t 
k r  r'


r  r'
1
, v 
v

だけ遅れて伝わる。
2009年度電磁波工学
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［補足］
電磁界の双対性(duality)［バビネの原理］
自由空間では，Maxwellの方程式は同形で，一方の式で，電界・磁界および誘電率・透磁率を次の様に
入れ替えると他方の式になる。
E  H

H   E
  

問：スカラポテンシャル V  c1e
 jkr
r
, r  x2  y2  z 2
が，ヘルムホルツ方程式
 V  k V  0 を満足することを確認しなさい。
2
2
波源
rˆ  rˆ '
rˆ '
O
rˆ
観測点

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