時系列の予測  時系列：観測値を時刻の順に並べたものの集合  時系列モデルの予測(forecasting) –vs- 回帰分析の予測(prediction)  時系列モデルの予測の場合、推定の基となるデータの領域外にある系列の値を推測しようとする（外挿）経済時系列の回帰分析：“ラグ”つきの説明変数を伴う場合  ランダム・ウォーク yt = yt - 1 + εt    または yt - yt - 1  εt 時刻 t と t-1 における値の差がランダムな誤差トレンドもパターンもない εt の平均は 0  yt+1 の予測値は yt とするのが最適時系列解析の基本的考え方  時系列規則的な動きをする部分と不規則な部分とに分けられる  規則的な動きをする部分は予測可能規則的な動きをする部分     周期性を持つものトレンド（長期的傾向）を持つもの良い時系列モデル=規則的な動きをなるべく多く説明できるモデル経済時系列の分解（古典的考え方）  長期的変動（T）長期に渡る基本的な変動滑らかな動き（直線、または滑らかな曲線）  周期変動（C）景気変動など 3~10年周期 Tを中心として上下動を繰り返すもの  季節変動（S） 1年周期で循環を繰り返すもの  不規則変動（I）規則性を持たない変動  加法モデル乗法モデル  yt  Tt  Ct  St  It yt  Tt  Ct  St  It log yt  logTt  log Ct  log St  log It トレンドの分析   トレンド：時間を通じて安定的に増加、又は減少する傾向直線的に増加、或いは減少する傾向がある場合 yt = α  β t  εt  曲線的傾向がある場合（非線形回帰） yt =   et   t 　log yt=log α  β t  log εt  成長曲線（ロジスティック曲線）  yt  A     t y=  log - t 1 e  A  yt  t  移動平均法：型を仮定せずに時系列を滑らかにする方法 yˆt =  yt k  yt k 1    yt    yt k 1  yt k 2k  1 差分法（トレンド除去が目的の場合） yt = yt  yt 1 ロジスティック回帰（クロスセクションデータ）  従属変数が質的（二値）変数の場合 pi  1 1  e xi  pi      xi  i 　ln   1  pi  誤差項の分散は不均一  正確な推定には加重最小二乗法が必要例）持ち家率を所得に回帰させる  オッズ比季節調整  季節変動：移動平均法によって取り除くことが可能季節変動、経済外的な理由で発生政策などでは管理できない 分析の前に除去する場合も  センサス局法Ⅱ（Ｘ－１２－ＡＲＩＭＡ）  季節調整されたデータラグ（時間的遅れ）の構造、解明できない季節性のあるデータを用いた分析  四半期データの場合ダミー変数法1 yt  α  β0 xt  β1Q1  β2Q2  β3Q3  εt Qi : 第i四半期だけ1、後は0をとるダミー変数ダミー変数法2 yt  α  β0 xt  β1Q1xt  β2Q2 xt  β3Q3 xt  εt 時系列データの回帰分析    問題点：誤差が互いに独立でない恐れ系列相関  分析は不正確に yt　=　α  βxt  ut ut=　ut-1  εt , -1  ρ  1 時系列データの分析の際には系列相関に注意ダービン・ワトソン検定：１階の系列相関を検定 H0：ρ=0 （１階の系列相関無し）（DW ≈ 2） H1：ρ＞0 （系列相関あり）（DW ≈ 0） n 検定統計量  DW= t 2 (uˆt  uˆt 1 ) 2 n  t 1 uˆt 2 時系列モデルの例  AR(1) yt =   yt 1  ut  AR(p) yt =   1 yt 1  2 yt 2     p yt  p  ut  分布ラグモデル yt =   1xt  2 xt 1    p xt  p  ut 2015/9/28 自己相関係数  時差 h （ h次）の自己相関係数  相関係数の時系列バージョン自分自身の過去との相関を測る尺度 -1と1の間の値を取る     コレログラム：rh をhの関数みなしたもの偏自己相関：ラグ内の要素の影響を取り除いた下での偏相関係数 11 2015/9/28 相互相関（交差相関）係数  2種類の時系列データxi , yiに対して時間的先行遅行関係まで考慮した相関係数  変数 x と h 期先行する変数 y との間の相関係数 12