第12回相関係数（Pearson’s correlation coefficient） i= 1 x1 y1 変数xi 変数yi r n xn yn  x  x  y  y   x  x    y  y  i i 2 y （xi,yi） y S xx S yy （x2,y2） S xx   xi  nx 2 2 （x1,y1） i 1 n S yy   yi  ny 2 x1 x2・・・・・・・・・・・・・・xi ・ xn 2 i 1 ρ：母相関係数 σx、σy、：母標準偏差 n S xy   xi yi  nx y i 1 （xn,yn） i S xy n ２変量正規分布 2 i  ・・・・・・・・・ 2 x2 y2 教科書p224～239 p( x, y)  1 2 x y  1 exp 2  2 1   1  2   x x 2 2   x  mx  y  my  y  my    x  mx    2    2 2       x y x y   正規分布相関係数rの分布母相関係数ρ=0の場合 1 r rの標準誤差： s r  n2 2 rの標準化 r n2 t r sr 1 r 2 自由度n-2のt-分布相関係数： r0  r  tdf ,0.05 相関係数rの有意点 rn ,0.05  t df ,0.05 1 r2 n2 （95%信頼区間） 2 n  2  tdf ,0.05 2 n  10 t 8, 0.05  2.306 r10,0.05 2.306 2   0.632 10  2  2.306 2 p363 母相関係数ρ=ρ0の場合：rは正規分布からずれる。 FisherのZ変換 1 1 r  Z r  log e   ：近似的に正規分布 2  1 r  n≧10 Zr r 1 標準偏差： sZ  n3 母相関係数rの検定標準偏差： sZ  1 n3 標準化 Zr  Z z  Z r  Z   n  3 sZ |z|＞zαならばrはρと差がある。母相関係数ρの推定 z Z  Zr  n3 1   1  Z   log e  2  1   ：確率（1-α）の信頼区間逆変換 1  2Z e 1  1    1   e 2Z e 1   2Z  tanhZ   e 1 2Z 例題１次の2変量データにつき相関係数を求め、相関の有意性を判断しなさい。また、母相関係数の信頼区間を求めなさい。 x 8 7 6 6 6 5 4 4 3 2 y 6 5 7 6 4 5 6 3 4 3 帰無仮説：r=0 n S xx   xi  nx 2 2 i 1 n S yy   yi  ny 2 2 i 1 n S xy   xi yi  nx y i 1 r S xy S xx S yy 1 r 2 sr  n2 t r n2 r sr 1 r 2 1 1 r  Z r  log e   2 1  r   z Z  Zr  n3 1   1  Z   log e  2  1   e  1   2Z  tanhZ   e 1 2Z -0.021≦ρ≦0.898 |t|=2.22<t0.05 帰無仮説は棄却できない相関係数の差の検定甲状腺ホルモンT4は血中で大部分がTBGと言う蛋白に結合して存在する。妊娠中TBGの濃度は増加するので、T4も増加する。正常妊婦10例、疾患A妊婦9例についてT4とTBGの関係を調べた。正常疾患A TBG T4 TBG T4 54 17 43 22 50 15 39 21 39 15 49 19 44 14 42 18 35 13 35 16 41 12 31 15 32 11 36 13 46 10 34 11 38 10 27 8 30 9 y=a1+b1x y=a2+b2x 帰無仮説：母相関係数ρ1=ρ2（2組の相関係数r1,r2には差がない）  1  r1  1  Z1  log e  2 1  r 1   s Z1  1 n1  3  1  r2  1  Z 2  log e  2  1  r2  sZ 2  1 差：Z1-Z2 正規分布 n2  3 標準誤差： sZ1  Z 2 1 1   n1  3 n2  3 標準化 z Z1  Z 2  sZ1  Z 2 Z1  Z 2 1 1  n1  3 n2  3 正規分布 1 1 1 1     0.556 n1  3 n2  3 10  3 9  3 Z1-Z2の標準誤差 sZ1  Z 2  Z1-Z2の標準化 Z1  Z 2 0.833  1.051   0.392 sZ1 Z 2 0.556 z <z0.05（両側） =1.96 帰無仮説を採択：相関係数に差があるとは言えない演習12.1 2組A,Bの2変量データがある。それぞれの相関係数の有意性を検定し、その95%信頼区間を示しなさい。また、回帰直線を求め、傾きの差の有意性を検定しなさい。