なぜ数値積分? 1.原始関数を求めることが難しい, または求めることが出来ない. 1 + 1 - x2 ∫log | x | dx = ? 2.そもそも原始関数が分かっていてもそれを厳密に計算することが難しい. 1 + 1- x2 1 + 1- x2 ∫log | x | dx = x log | x | + Arcsinx どうやって数値積分? 1. 原始関数を求めることが難しい, または求めることが出来ない. 2. そもそも原始関数が分かっていてもそれを厳密に計算することが難しい. 1. 積分する範囲を区間に分割. 2. 被積分関数を区間ごとに簡単に原始関数を求められる関数 (例えば多項式)で近似する. 1次多項式近似 ⇒ 台形公式 2次多項式近似 ⇒ シンプソン公式ラグランジュ補間 ⇒ ニュートン・コーツ公式台形公式 Y = f (x ) 関数 Y = f (x) を h := (b-a)/3 の幅の区間ごとに1 次式で近似し, それぞれの台形の面積で代用する. x0 =a h x1 =a + h h x2 h =a + 2h x3 =b 1 ∫a f ( x ) dx ≈ 2 h (f (a ) + f ( x1 )) 1 1 + h (f ( x 1 ) + f ( x 2 )) + h (f ( x 2 ) + f (b )) 2 2 1 = h [f (a ) + f (b ) + 2 {f ( x 1 ) + f ( x 2 )}] 2 b 台形公式のアルゴリズム a , b, n T h ← (b -a ) / n T ← (f (a) + f (b))/2 for i = 1,…,n -1 T ← T + f (a +ih ) end T ← hT 1 ∫a f (x ) dx ≈ h [ 2 {f (a ) + f (b )} + {f (x1 ) + f (x 2 )}] b Y = f (x ) シンプソン公式関数 Y = f (x) を積分区間 [a,b] で2次のラグランジュ補間で近似し, 面積を計算する. x0 =a h x1 =a + h h x2 =a + 2h ( x - x 1 )( x - x 2 ) ∫a f ( x ) dx ≈ f ( x 0 ) ∫a ( x 0 - x1 )( x 0 - x 2 ) dx b ( x - x 0 )( x - x 2 ) + f ( x1 ) ∫ dx a ( x - x )( x - x ) 1 0 1 2 b ( x - x 0 )( x - x 1 ) + f (x2 )∫ dx a ( x - x )( x - x ) 2 0 2 1 1 = h [f ( x 0 ) + 4f ( x 1 ) + f ( x 2 )] 3 b b (複合)シンプソン公式関数 Y = f (x) を 2h := (b-a) /n の幅の区間毎に2次のラグランジュ補間で近似し, それぞれの区間ごとにシンプソン公式を適用する. 1 x0 =a h Y = f (x ) x1 =a + h h x2 h x3 h x4 =a + 2h =a + 3h =b 1 { h [f ( x 2k ) + 4f ( x 2k +1 ) + f ( x 2k + 2 )]} ∫a f ( x ) dx ≈ k∑ =0 3 1 = h {[f ( x 0 ) + f ( x 4 )] 3 + 4[f ( x 1 ) + f ( x 3 )] + 2[f ( x 2 )]} b (複合)シンプソン公式のアルゴリズム a , b, n S h ← ( b -a ) / 2n S ← f (a) +f (b) for i = 1,…,n -1 S ← S + 4f (a + (2i-1)h ) + 2f (a + 2ih ) end S ← S + 4f (a + (2n-1)h ) S ← h S/3 1 ∫a f ( x ) dx ≈ 3 h [{f (a ) + f (b )} + 4 {f ( x 1 ) + f ( x 3 )} + 2f ( x 2 )] b