保険研究特論（保険数理）アクチュアリー数学（第３回）利息の計算早稲田大学大学院商学研究科２０１５年４月２４日大塚忠義 1 講義資料 http://tyotsuka.cocolog-nifty.com/blog/ から各自事前にダウンロードしてください 2 多重脱退率(1) ・生命表は誕生と死亡の２つの要素のみによる人口の推移を示しているが、実社会ではありえない・国民表は死亡の状況を示す目的・保険や年金の加入者の集団では誕生、死亡以外の増減要素も重要・多重脱退率：それぞれの減少要因の発生率・多重脱退表：集団からの複数の離脱要因を勘案した表（生命表の一般化） 3 多重脱退率(2) 用語の確認・被保険者集団：保険・年金の対象となる所定の属性を持った人の集団 eg.加入者集団・閉集団：新規加入がなく、離脱により減少していく集団・開集団：離脱がある一方で、新規加入もあり、構成員が変化していく集団、新規加入は誕生に限らない 4 多重脱退率(3) ・閉集団の例：生命保険加入者集団：一定時期に加入した集団を集合として離脱の状況を観察する：加入年数別（保険年度別）の発生率が重要・開集団の例：年金集団、特に、厚生年金、企業年金等の被用者集団：入社数、退社数は死亡数より多い：集団の規模の変化も重要な要素 5 多重脱退率(4) 異なるモデルを用いる事例死亡、解約（退職）：以下この例を言及する・多重脱退率を用いる典型例・離脱事由が独立と仮定（実はそうとはいえない：保険を解約するのは健康な人、重病により会社を退職etc.という傾向有）・離脱事由により給付が異なる・離脱者からの復帰を想定しない 6 多重脱退率(5) 死亡、高度障害（傷害１級水準）・高度障害を死亡と同様に扱う：経済的な死・保険金を支払い契約が消滅・高度障害発生率を死亡率に上乗せ死亡、重大疾病（介護等）・健常、介護ｘｘ級、死亡の各ステージへの遷移確率を設定し、確率過程としてモデル化・復帰（回復）を仮定・介護保険のプライシングで詳述 7 脱退原因A,Bの脱退率 lx 1  lx  d xA  d xB A x d q  ：A脱退率 lx A x B x d q  ：B脱退率 lx A：死亡、B:解約とすると、死亡数は解約後に死亡した人を含めていない本来の脱退率（死亡率、解約率）を絶対脱退率としてそれらとの関係を考慮 B x 8 絶対脱退率 A x A x q q q  1 B* 1 B 1  qx 1  qx 2 2 証明省略近似は没理論だが実務で広く使用下式の方が脱退残続表を作成のために使用されている * A x 1 B* q  q (lx  qx ) 2 A x A* x 9 Agenda 第３回利息の計算 • 利子、利息、金利 • 利力 • 利回りの算出 • 年金 10 利子、利息、金利経済学的には『将来時点における資金の現在時点における相対的な価格』をいう実際の金融取引においては・金銭の時間的価値、・金融機関の提供するサービスの対価・債権の貸倒れに対する保証料が合成されたものと観念される金利と時間の関係は不可分である利息は元本、金利、時間に依存する 11 用語の確認(1) ・利子：利息、（I）：明確な区別なさそう・利率：金利、（i）：金、貨幣以外の貸借も存在⇔物利、米利・元本：元金、（P）：同上・期間、投資期間、預入期間、借入期間 (n) ・年利：利率は１年単位で表すことが慣習 12 用語の確認(2) ・単利：投資期間に比例した利息を付ける（付利）する方式。通常この方式をとることはない S=P+I=P(1+ni) ・PはSの現価、SはPの終価、SとPは時間的に等価・複利：期間満了時に利息を元本に繰入、その合計額を新たな元本とする方式 S  P(1  i ) n 13 用語の確認(3) ・付利、転化：利息を付し元本に化す（元本に繰り入れる）転化は期間満了時におこなう・転化期間：転化回数(k) １年未満の場合：eg.１、３、６か月定期：１年の間に複数回、転化する・金利：年利（１年）を基準に表示する・名称利率(i)：年利として表示される金利・実利率( i ( k ) )：実際に付される利息を表す利率 14 記号の定義 S  P (1  i ) n Pv S n 1 v ：現価率 1 i i d  1 v  ：割引率 1 i (1  d )(1  i )  1 (1  i (k ) )  1 i k k 15 利力(1) 転化回数kを多くする   lim i (k ) k   e  1  i  (1  i (k ) k ) k  e v 1  t then : k   : t  0 k 16 利力(2) Stを時間(実数)tのもとに定義すると微分可能微小区間tにおける利率は St t  St St t  t : t  0としたものを利力と定義 St t  St  t  lim t 0 St t 1 dSt d log St   St dt dt 17 利力(3) dSt  t St  dt d log St 1  dt  dt  log S  t t 0 0 0 dt S0 (1  i ) S1  log  log  log(1  i ) S0 S0 1 1 18 利力(4) ・利力を定義することで連続空間である時間t上を利息を利率を定義することができる・利力に時間tの添数を付すことで時間による関数と定義することができる・従来の実務では  t   として利力（利率）は期間中不変との仮定のもと常数としてきた 19 利回りの算出(1) 保険会社、投資ファンドの資産の利回りを算出する既知データ：期始、期末、期中の資産残高、投資収益（利息、配当金等）一方、資産の増減要因は投資収益以外の新規契約、解約等があり、 I  S0 (1  i) では求められない 1 1 I    St dt   St dt 0 0 に着目 20 利回りの算出(2) ハーディの公式 2I i S0  S1  I 日々平残方式 1  S dt 0 t 364 1 Sk  365 k 0 365 21 年金(1) ・あらかじめ定めた一定の期間（年金支払期間（ｎ）、終身、永久を含む）中、一定の間隔（等間隔で年、月、日）をおいて継続的に支払われる一連の金額・確定年金：支払いに条件がない・生命年金：条件付年金の一種、所定の人の生存を条件に支払う・期始払年金：年金支払期間中、一定の間隔の始めに年金を支払う・期末払年金：一定の間隔の終わりに年金を支払う 22 年金(2)記号の定義 an : n年期始払確定年金現価 an : n年期末払確定年金現価 sn : n年期始払確定年金終価 sn : n年期始末確定年金終価現価 f an : f 年据置n年期始払確定年金現価 23 年金(3) n n 1  v 1  v an  1  v    v n 1   1 v d n 1 v 2 n an  v  v    v  i n (1  i )((1  i )  1) 2 n sn  (1  i )  (1  i )    (1  i )  i n (1  i )  1 n 1 sn  1  (1  i )  (1  i )  i 24 年金(4)永久年金 1 a  d 1 a  i f f 1 f  n 1    v f an  v  v  v an  an  f  a f f dan  1  v n 25 年金(5) 年ｋ回分割年金（半年払、月払） 1 1 1 n n k n 1 (1  i ) (1  v ) 1  v an ( k )  (1  v k    v k )   (k ) (k ) k i d 1 1 n n  1 (1  i )  1 (k ) k k sn  (1  (1  i )    (1  i )  k i(k ) an ( k )  a1 ( k ) an sn ( k )  s1 ( k ) Sn 26 年金(6) 連続年金：年ｋ回分割年金の極限の場合 27 年金(6) 変動年金：年金額が変動する年金累加年金：年金額が１，２，３，４・・と増加していく期末払年金 1 nv ( Ia) n  an  d i 1 n ( Is) n  sn  d i n 28 年金(7) 年金額がｒ％単利逓増期始払 an  r ( Ia)n1 年金額がｒ％複利逓増期始払 n 1 n 1 1  (1  r )v  (1  r ) v    (1  r ) v 2 2 1 r v 1 r v   1  rv (1  i)  r n n n n ｒｖ＝１のときはｎ 29 Question? お疲れ様でした 30