2014 年度慶應義塾大学経済学部（数学）解答解説 ( )1

2014 年度
慶應義塾大学
経済学部（数学）解答解説
[1]
解答
(2) 1
(1)
(3) 2
(12) 1
(11)
(4)
(5) 5
(6) 2
(7) 2
(8) 3
(10) 4
(9) 3
(14) 2
(13) 0
解説
(2) 点 P が三角形 ACF の内部にあるとき、
r r
x 2a b
AP
r
yb x
係数を比較すると、 2 s
0, y
0, x
2 x , 3 3s
x
(3) 外接円の中心を O としたときに、点 Q は
r r r
q a b
r
2x a
y 1 と表せる． AP
y
これらから、
OQ
2
3
r
y b より、
3
4
s
1 を満たす．ベクトルの始点を A とすると、
r r
r r
r r
q q 2a q 2b q
1 両辺を２乗し、整理すると
x
0
[2]
解答
(15) 1
(16) 2
(17) 1
(18) 2
(19)
(25) 1
(26) 6
(27) 3
(28) 0
(29) 2
f
f
(20) 1
(21) 2
(22) 1
(23) 1
(24) 2
(30) 3
解説
(1)(2) 条件より、
0 を満たすから、 f x
2a ,
よって、
b となる．
, 0,
0 の２解が ,
となる
, 0 における接線を求め、放物線と２本の接線
で囲まれた部分の面積を求める．丁寧に計算をすれば求まるところ．ここはしっかりと得点をしておき
たい
(3)
f x
b
0 の２解が ,
4a 2
なので、
4b と表せる．ここで、 k
4a 2
4b とおくと、
k
4
a2
b
4 ≦ k ≦ 16
2
16
これから、 S のとりうる範囲は
≦S≦
3
3
図から、 k のとりうる範囲は
2, 2
1
O
2, 0
a
2
0,
4
[3]
解答
(31) 2
(32) 1
(33) 3
(34) 1
(35) 1
(36) 9
解説
期待値、確率、場合の数が一問ずつ．小技を使って早く解こうとするよりも、基本に忠実に丁寧な数え上げを
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意識して解きたいところ．ここは満点を取りたい．(3)では図を描くと包含関係を捉えやすい
2
(2)(a)青玉が９回 or 10 回出る確率 10 C 9
8
9
6
8
2
8
10
(b)「 A …赤が８個以下」
、
「 B …３番目が青か白」とすると、
「 A または B 」の否定は
「 A かつ B …赤が９個以上で３番目が赤」となる
(ⅰ)赤が９個で３番目が赤となるのは、３番目以外の９箇所から１箇所選び、そこが青か白になると
考えて、 9
2 18 通り
(ⅱ)赤が 10 個で３番目が赤となるのは、 1 通り
[4]
解答
(1)
1
2
3
2
(2) 3s
(3) 2
解説
x について解いてみると、 x
log a y c
となるので、 LOG a ,
b
b, c
log 2 8 5
1
4
2
log 2 5 2
3
3
(2) s
, log16 25
log 2 5 より、 log16 25 3s
4
4
2
log 2 2t 11 4 log 2 t 1 2 log 2 t 3 2
(3)
0
2
2
2
真数は正なので、 t
1
このとき、この方程式を解いて、 t
log a y c
b
y
(1)
2 が求まる
[5]
解答
(1) b
b
M a
b
a 2
b
ma
b
a 2
b
2
b 1
b 1
1
1
a
O
1
a
2
b
(2)
a2
4
O
2
1
b
2
b
1
O
2
M a
a
b
ma
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解説
(1) 放物線 y
最大値 M
a
最小値 m
1 2
a 1
4
a
a 2
a
0 ≦ ≦1
2
1≦
a
2
0 が 0 ≦ x ≦1 で少なくとも一つ解をもつ
ax 1 b
x2
a
≦0
2
1
1 a
≦
2 2
1
2
について場合を分ける
a 1
≦
2 2
a 2
(2) x
a
2
f x の対称軸 x
ax 1 b , 0 ≦ x ≦ 1 を満たす実数 x が存在する
0　≦ x ≦1 で y
x 2 ax 1, y b が共有点をもつ
f x の最小値 ≦ b≦ f x の最大値
よって、図のような領域が得られる
[6]
解答、解説
(1)
x3
f x
3x 2
x ≧ 4 において、 f x
f 4
3x 2
3 x 1 とおくと、 f x
0
6x 3
すなわち、 x ≧ 4 において、
64 48 12 1 0 よって、 x ≧ 4 において、 f x
f x は単調増加
0 が成り立つ
(2) 数学的帰納法で示す
(ⅰ)
n 10 のとき、 10 3
(ⅱ)
n
k k
1000
210
1, 2 , L のとき、 k 3
ここで、両辺に 2 をかけると、 2k
また、 2 k
3
① , ②より、
k 1
3
k3
k 1
3
2k
3k 2
1
1024
よって成り立つ
2 k が成り立つと仮定
3
2k
1
…①
3k 1 0
[(1)より] …②
が成り立つ．よって、 n
k 1 でも成り立つ
(ⅰ)(ⅱ)より、題意は満たされた
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