運動方程式の解放と落体の運動

運動方程式の解法と落体の運動
〇運動方程式の解法
運動方程式は方程式の中に微分が含まれている。このような方程式を微分方程式という。
物理学では多くの方程式が微分方程式として表現されているため微分方程式を解く技術を
身につけることが大切になってくる。ここでは質点の運動を調べるために、実際に運動方
r
程式を解いて r (t ) を求めてみよう。
例.１放物運動
r
r
重力加速度 g = (0,0,− g ) の下で時刻 t = 0 に原点から初速度 v 0 = (v 0 cos θ ,0, v 0 sin θ ) で投
げられた物体の運動を調べよう（空気の抵抗は無視する。）
解
運動方程式は
r
r
m&r& = mg
この方程式を時間で積分する。
r
r
∫ (m&r&)dt = ∫ (mg )dt
r
r
⇔ m ∫ r&&dt = m ∫ gdt
r
r
r
⇔ r& (t ) = v (t ) = gt + C
条件
r
r
r
v (0 ) = v0 より C = v0
よって
r
r
r
v (t ) = v0 + gt
＊
r
r r
r
v (0 ) = v0 , r (0 ) = r0 などの条件を初期条件（initial condition）という。
＊
慣れないうちは成分ごとに計算してみよう。
さらに積分する。
r
r
∫ r&dt = ∫ (v
0
r
+ gt )dt
r
r
1r
⇔ r (t ) = v0 t + gt 2 + C
2
r
初期条件より r (0) = 0 であるから C = 0
r
r
1r
r (t ) = v 0 t + gt 2
2
すなわち
r
成分ごとに書き直してみる。ただし r (t ) = ( x(t ), y (t ), z (t )) とする。
1
x(t ) = (v0 cos θ )t
y (t ) = 0
z (t ) = (v0 sin θ )t −
1 2
gt
2
例.２落体の運動
①速度に比例する抵抗がある場合の落体の運動を調べる。
解
鉛直下向きをｚ軸とする。運動方程式は
m
d 2z
dz
= mg − mk
2
dt
dt
となる。ここで k は比例定数である。さらに
dz
= v として式１７に代入する。
dt
dv
= mg − mkv
dt
dv
⇔
= g − kv
dt
dv
g
⇔
= −k (v − )
dt
k
dv
1
⇔
= −k
g dt
(v − )
k
ここで両辺に dt をかける。
m
1
g
(v − )
k
dv = −kdt
このような操作を変数分離という。両辺を積分する。
2
∫
1
g
(v − )
k
dv = − ∫ kdt
⇔ log v −
g
= − kt + C
k
⇔ log v −
g
= (− kt + C ) log e
k
⇔ log v −
g
= log e ( − kt +C )
k
g
= e ( − kt + C )
k
g
⇔ v − = ± e C e − kt
k
g
⇔ v = ± e C e − kt +
k
⇔ v−
± e C = A とおく。
v(t ) = Ae − kt +
g
k
初期条件を v(0 ) = 0 とすると
v(0) = Ae o +
g
g
= A+ = 0
k
k
よって A = −
g
となり
k
v(t ) = −
g − kt g g
e + = (1 − e − kt )
k
k k
が得られる。下にこの関数のグラフを示す。
3
十分時間がたつと v(t ) は
g
に収束することがわかる。これを終端速度という。
k
②速度の２乗に比例する抵抗がある場合の運動を調べる。
解
鉛直下向きをｚ軸とする。運動方程式は
d 2z
 dz 
m 2 = mg − mk  
dt
 dt 
2
となる。ただし右辺第２項の負号は落下の場合のみを考えて
いる。
2
d 2z
 dz 
= mg − mk  
2
dt
 dt 
dv
dz
⇔
= − k v 2 − g = v
dt
dt
m
(
)
ここで変数分離する。
4
(
)
dv
= −k v 2 − g
dt
1
⇔
dv = − kdt
 2 g
v − 
k

1
∫  2 g  dv = −∫ kdt
v − 
k

（右辺）= − kt + c1
(左辺）= ∫
1
g 
 v +
k 

v −


g
k




dv




1  1
1 
=∫
−
dv
g 
g
g 
v−

2
v+
k 
k
k 
=
1
2
k 
log v −
g 
g
− log v +
k
g
k

 + c2


g
1 k
k
=
+ c2
log
2 g
g
v+
k
(左辺) = (右辺)より
v−
1
2
k
log
g
v−
v+
g
k
= − kt + c　c = c1 − c 2
g
k
5
v−
⇔ log
v+
v−
⇔
v+
v−
⇔
v+
⇔v−
g
g
k
= −2 gk t + α　α = 2 c
k
g
k
g
k
= e −2
g
k
g
k
= ±e − 2
g
k
gk t +α
g
= vAe − 2
k
⇔ v − vAe − 2
(
gk t +α
⇔ v 1 − Ae − 2
gk t
+
g −2
Ae
k
g −2
Ae
k
=
gk t
gk t
= ±eα e −2
gk t
) = gk (1 + Ae
+
gk t
= Ae − 2
gk t
gk t
g
k
− 2 gk t
)
g 1 + Ae − 2 gk t
k 1 − Ae − 2 gk t
初期条件をv(0) = 0 とすると
⇔v=
g 1+ A
= 0 より
k 1− A
A = −1
よって
v=
g 1 − e −2
k 1 + e −2
gk t
gk t
=
g e
k e
gk t
gk t
− e−
gk t
+ e−
gk t
=
g
e x − e−x
tanh(− gk t ) ※ x
= tanh( x)
k
e + e−x
これをグラフにしてみる。
6
7

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