黒体輻射とプランクの輻射式 1. プランクの輻射式 2. エネルギー量子プランクの定数（作用量子）ｈ 3. 光量子 4. 固体の比熱黒体輻射 Rayleigh-Jeansの式Ｗｉｅｎの輻射公式 λＴが大きい時良く合う λＴが小さい時良く合う 1 1 光強 0.5 度 0 0 1750K 2 6 4 波長（μｍ）光強 0.5 度 0 0 1750K 2 6 4 波長（μｍ）Ｐｌａｎｃｋの式Ｗｉｅｎの輻射公式 Rayleigh-Jeansの式 8 3ka a T u  d  e d 3 c 8 2 kT u  d  d 3 c 2式をつなぐ内挿式 8 2 0 u  d  d  0 kT 3 c e 1 振動モード各々の振動モードは、振り子に対応する。振り子のエネルギーはとびとびの値をとる。 0 2 0 3 0 3 0 0 3 0 0 0 2 0 0 3 0 2 0 0 4 0 0 2 0 0 2 0 0 空洞中の振動子熱平衡熱浴（温度Ｔ）温度T 相互作用相互作用プランクの仮定・一定の時間が経過すると系の全ての部分の温度が等しくなる（熱平衡状態）。・熱平衡状態では、系の全ての部分で光の放出（輻射）と吸収がつり合う。・黒体の温度がＴならば、輻射場（光の各モード）の温度もＴとなる。・光の各モードは「振り子」に置き換えられる。・「振り子」のエネルギーは温度Tでのボルツマンの分布ｐ（ε）に従う。・ただし「振り子」のエネルギーはε0の倍数プランクの振り子のエネルギー分布エ 6 0 ネル 5 0 ギー 4 0 3 0 2 0 0 席の数 n 0 ) 占有率 p ( n 0 )  exp(  kT Ｐｌａｎｃｋの式ボルツマンの分布則 n 0 p ( n 0 )  A exp(  ) kT 振り子の平均エネルギー     n n 0  0 p ( n 0 )  p(n 0 )    n e n 0  0 e  0 1  e 1 の計算 1  と置く kT  n 0 0  n 0 e  n 0 0  0 kT n 0   n は自然数    log  e  n 0  n 0 Ｐｌａｎｃｋの式 0    0 kT e 1 振動数がνからν+ｄνの間にある輻射のエネルギー 0 8 2 u   d   D  d    0 kT d 3 c e 1 Ｗｉｅｎの変位則と矛盾しないためには  0  h ここで 34 h  6.625 10 J s Ｐｌａｎｋの定数（作用量子）Ｐｌａｎｃｋの式振動数がνからν+ｄνの間にある輻射のエネルギー 8h 1 u d   D d   h kT d 3 c e 1 3 1 光強 0.5 度 0 0 1750K 2 6 4 波長（μｍ）Ｐｌａｎｃｋの式Ｗｉｅｎの輻射公式 8h 3 h u  d  e 3 c h kT  1 の時 Rayleigh-Jeansの式 kT d 8 2 kT u  d  d 3 c h kT  1 の時 8h 3 1 u d  d 3 h kT c e 1 エネルギー量子 Planckの量子仮説振動子には、最小のエネルギーの単位として ε0＝ｈνが存在し、振動子のエネルギーはその整数倍に限られる。エネルギー量子最小のエネルギーの単位ε0＝ｈν 光量子 Einsteinの光量子仮説（1905）振動数がνの光はε0＝ｈνのエネルギーをもつ粒子である。この粒子を光量子（光子）と呼ぶ。光量子仮説・光電効果を説明できる。・コンプトン効果を説明できる。振り子のエネルギーＰｌａｎｃｋ：振り子のエネルギーはとびとびの値をとる。   h 2 h 3h h e h kT 1 エネルギーの分配は振り子の振動数に依存Ｂｏｌｔｚｍａｎｎ：振り子のエネルギーは任意の値を取り得る。エネルギー等分配の法則   kT エネルギーの分配は振り子の振動数によらない ν 周波数  モードの数プランクの定数   エネルギー等分配の法則 h e h kT 1 エネルギー   kT h0 エネルギー状態密度連続状態密度ボルツマンの振り子の平均エネルギー全エネルギー平均エネルギー＝振り子の数    i p( i ) D   lim n 1   0  p( i ) D n 1    0  e  0 e - -  kT  kT d d  kT   D   p ( )d 0  D  p ( )d 0 ボルツマン分布 p   e -  kT ボーズ・アインシュタイン統計振動数がνの振り子のエネルギー 3h h   h e h kT 量子1個のエネルギー 1  h 2 h 1 e h kT 1 温度がＴの場合、振動数νの振り子には平均して何個のエネルギー量子があるかボーズ・アインシュタイン分布光電管真空 I 強い光 - - 光弱い光 0 V -V0 A V 光電子の運動エネルギー E=eV0 光電管陰極 - - V＞0 陽極 - - - 陰極陽極陰極 V＝0 - V＜0 陽極光電効果・飛び出る光電子のエネルギーは照らす光の強さに無関係である。・照らす光の強さを大きくすると電流が増える。・飛び出る光電子のエネルギーは照らす光の振動数に関係し、振動数が大きいほど光電子のエネルギーも大きい。電子の eV0 エネルギー光の振動数ν 光電効果 Einsteinの考え運動エネルギー（eV0）真空光（ｈν） - 金属光はエネルギーｈνを一挙に電子に与える。光電効果古典論真空金属光コンプトン散乱光は粒子（光子）として振舞う！電子 θ X線（光）光子のエネルギー： E ph 光子の運動量： p ph  h   h 固体の比熱エネルギー等分配の法則   kT   h 0 e h 0 kT 1 ν0：原子の振動（フォノン）の振動数 3つの振り子固体の比熱 U  3L   0 ：原子のバネの h 0 e h 0 kT 振動数 1 h 0 kT Q U e  h 0  Cv    3R  h T T  kT  e 0 2  kT  1 2 デュロン・プチの法則 CV/3R 1 h 0  k 0.5 0 Θ（デバイ温度） T 問題1     n 0 n  e  0 n 0  e n 0  n 0  0 e  0 1 を証明せよ。問2 Ｐｌａｎｃｋの式 8h 1 u  d   h kT d 3 c e 1 は、Ｗｉｅｎの変位則を満たすことを証明せよ。 3 問3 Ｐｌａｎｃｋの式は、 h kT  1 の時Ｗｉｅｎの輻射式に、また、 h kT  1 の時Rayleigh-Jeansの輻射式に一致することを証明せよ。