大学入試問題解説早稲田理工 2015

大学入試問題解説早稲田理工 2015
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第1問
x
関数 f (x) = √
について、次の問いに答えよ。
1 + x2
(1) y = f (x) のグラフの概形を描け。
(2) t > 0 を媒介変数として、x = f 0 (t)、y = f (t) = tf 0 (t) で表される曲線の概形を描け。
(3) (2) の曲線の接線が x 軸と y 軸によって切り取られてできる線分の長さは一定であることを示せ。
2015
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第2問
整数 x、y が x2 − 2y 2 = 1 を満たすとき、次の問いに答えよ。
√
√
√
(1) 整数 a、b、u、v が (a + b 2)(x + y 2) = u + v 2 を満たすとき、u、v を a、b、x、y で表せ。
さらに、a2 − 2b2 = 1 のとき、u2 − 2v 2 の値を求めよ。
√
√
(2) 1 < x + y 2 5 3 + 2 2 のとき、x = 3、y = 2 となることを示せ。
√
√
√
√
√
(3) 自然数 n に対して、(3 + 2 2)n−1 < x + y 2 5 (3 + 2 2)n のとき、x + y 2 = (3 + 2 2)n を示せ。
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第3問
a、b を実数とし、f (x) = x2 + ax + 1、g(x) = −x2 − bx + 1 とおく。次の問いに答えよ。
(1) 方程式 f (x) = 0 と g(x) = 0 が共通な解を持つための a、b の条件を求めよ。
(2) a = 0、b = 0 の範囲で、(1) で求めた条件を満たしながら a、b を動かす。f (x) = 0 と g(x) = 0 の共
通解を α とし、y = f (x) のグラフ上の点 (α, 0) における接線を ` とする。このとき、y = g(x) のグ
ラフと ` で囲まれる部分の面積 S の最小値を求めよ。
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第4問
N を 3 以上の自然数とする。1 から N までの数字が書かれた N 枚のカードを用意し、A と B の二人で
次のようなゲームを行う。まず A は 1 から N までの数のうちから一つ選びそれを K とし、その数は B に
知らせずにおく。その後、以下の試行を何度も繰り返す。
B は N 枚のカードから無作為に一枚引いて A にその数を伝え、A は引かれた数字が K より大きければ
「上」、K 以下であれば「以下」と B に答え、B はその答えから K の範囲を絞り込む。引いたカードは元
に戻す。
このとき、n 回以下の試行で B が K を確定できる確率を PN (n) で表す。次の問いに答えよ。
(1) K = 1 のとき、P3 (1)、P3 (2)、P3 (3) を求めよ。
(2) K = 2 のとき、P3 (1)、P3 (2)、P3 (3) を求めよ。
(3) K = 1, 2, 3, · · · , N について、PN (n) を求めよ。
(4) 自然数 c に対して、極限値 lim PN (cN ) を求めよ。
N →∞
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第5問
√
√
a > 0 とする。xy 平面上に A(− 2a, 0)、B( 2a, 0) を固定する。動点 P (x, y) は条件 AP + BP = 4a
を満たすものとする。次の問いに答えよ。
(1) 点 P の軌跡として得られる曲線の方程式を求めよ。ただし、答えのみでよい。
√
√
√
√
(2) (1) の曲線の − 2a 5 x 5 2a の部分と、直線 x = − 2a、直線 x = 2a で囲まれる図形を x 軸の
まわりに 1 回転してできる立体を考える。この立体の体積 V を求めよ。
(3) (2) の立体の表面積 S を求めよ。ここで、y = f (x) のグラフの p 5 x 5 q の部分を x 軸のまわりに 1
Z qp
回転してできる曲面の面積は 2π
{f (x)}2 + {f (x)f 0 (x)}2 dx と計算してよい。
p
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第5問
解答
楕円回転体の体積と表面積に関する出題。表面積の計算方法は与えられている。
√
√
10 2 3
4π + 6 3 + 6 2
(1) x2 + 2y 2 = 4a2
(2)
πa
(3)
πa
3
3
第1問
アステロイド曲線に関する出題。
(1)
(2)
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(3) 1
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第2問
ペル方程式に関する出題。
(1) u = ax + 2by 、v = ay + bx、u2 − 2v 2 = 1
(2) 省略
(3) 省略
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第3問
(1) a2 − b2 = 4
(2) 4
3
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第4問
最後は e の極限。
(1) P3 (1) = 1 、P3 (2) = 5 、P3 (3) = 19
3
9
27
(2) P3 (1) = 0、P3 (2) = 2 、P3 (3) = 4
9
9
(N − 1)n
N n½
¾
2(N − 1)n
(N − 2)n
2 5 K 5 N − 1 のとき、PN (n) = 1 −
−
Nn
Nn
(3) K = 1, N のとき、PN (n) = 1 −
(4) K = 1, N のとき 1 − e−c 、2 5 K 5 N − 1 のとき (1 − e−c )2
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