5月19日 - 九州大学大学院工学研究院機械工学部門

2015/5/19
ソフトマター工学・第５回
2015年5月19日（火）
レオロジー入門（２）
九州大学大学院工学研究院機械工学部門
准教授
山口哲生
1
本日のおはなし
１．前回の復習：線形粘弾性
２．レオロジー入門（２）
• 線形粘弾性の等価モデル
• 温度-時間換算則
• 非線形粘弾性体の連続体力学
３．まとめ
４．レポート課題
お知らせ
来週（5月26日）は，学会参加のため休講とします！
2
1
2015/5/19
線形粘弾性(linear viscoelasticity)
いま，t = 0 で試料にステップ歪み γ(t) = γ0 Θ(t) を加えたときのずり応力の
応答を次のように表す．
γ(t)
 (t )   0G (t )
γ0
ここで，G(t)は緩和弾性率と呼ばれる．G(t)の
典型的振る舞いは以下のように表される．
G (t )  Ge  G exp(t /  )
Ge ：平衡ずり弾性率．これが0で
ない物質を粘弾性固体と呼ぶ．
G
：ずり弾性率

0
t
G(t)
G+Ge
粘弾性固体
Ge
：緩和時間
粘弾性液体
0
τ
t
複素弾性率(complex elastic modulus)
試料に振動的な歪みを加え，応力の応答を見ることで，複素弾性率を
得ることができる．
 (t )   0 exp(it )
歪み入力に対する応力の応答は，次のように表される．
 (t )  G ' ( )  iG" ( ) 0 exp(it )

G ' ( )    dt sin(t )G (t )
：貯蔵弾性率(storage modulus)
0

G" ( )    dt cos(t )G (t )
：損失弾性率(loss modulus)
0
G * ( )  G ' ( )  iG" ( )
tan  
G" ( )
G ' ( )
：複素弾性率（complex modulus）
：損失正接（tangent delta）
2
2015/5/19
複素弾性率
G(t )  Ge  G exp( t /  )
( ) 2

G ' ( )  Ge  G
, G" ( )  G
.
2
1  ( )
1  ( ) 2
(i) 粘弾性液体
(ii) 粘弾性固体
G”(ω)
1
tan δ(ω)
log (1/τ)
G’(ω)
Ge
G”(ω)
log (1/τ)
log ω
Log tan δ
log (1/τ)
Log tan δ
log G’ , log G”
log G’ , log G”
G’(ω)
log ω
log ω
tan δ(ω)
1
log (1/τ)
log ω
２．等価モデル
先週取り扱った粘弾性体は，バネとダッシュポットで表現するとしたら
どのようになるのだろうか？ ⇒ 線形粘弾性の等価モデル
例１：バネのみ（フック弾性体）
G ' ( )  G,
G" ( )  0
例2：ダッシュポットのみ（ニュートン粘性体）
G ' ( )  0,
G" ( )  
3
2015/5/19
7
等価モデル
先週取り扱った粘弾性体は，バネとダッシュポットで表現するとしたら
どのようになるのだろうか？ ⇒ 線形粘弾性の等価モデル
例３：バネとダッシュポットの直列接続（Maxwellモデル）
G ' ( )  G
( ) 2
,
1  ( ) 2
G" ( )  G

.
1  ( ) 2
(   / G )
前回示した粘弾性流体はMaxwell Fluidに該当．
例4：バネとダッシュポットの並列接続（Voigtモデル）
G ' ( )  Ge ,
G" ( )  .
4
2015/5/19
9
等価モデル
それでは，粘弾性体固体のモデルはバネとダッシュポットでどのように表現
されるのか？
G ' ( )  Ge  G
( ) 2
,
1  ( ) 2
G" ( )  G

.
1  ( ) 2
(   / G )
※一般には，粘弾性流体，粘弾性固体のいずれの場合でも，複数の緩和時間
を持つ．その場合，粘弾性挙動は以下のように表現される．
G ' ( )  Ge   Gi
i

( i ) 2
,
1  ( i ) 2
G ' ( )  Ge   d ln  H ( )

G" ( )   Gi
i
( )
,
1  ( ) 2
2
 i
.
1  ( i ) 2

G" ( )   d ln  H ( )


.
1  ( ) 2
H(τ)：緩和スペクトル
5
2015/5/19
11
ゴム弾性とガラス転移
ゴムの粘弾性の起源
低周波数領域：ゴム領域
GPa
エントロピー弾性によってやわらかく
振舞う．
MPa
高周波数領域：ガラス領域
主鎖の運動は凍結され，局所的な伸縮や
ねじれ運動のみ起こる．
G’(ω)
G”(ω)
1/τ
ω
中間の周波数領域にみられる貯蔵弾性率G’や損失弾性率G”の急激な変化
のことをガラス転移という．
6
2015/5/19
温度－周波数換算則
温度－周波数換算則（時間－温度換算則）
ある温度で粘弾性の周波数依存性を測定
異なる温度での曲線が重なるように
横方向にシフト
G’(ω)
G’(ω)
流動
領域
幅広い周波数領域での
粘弾性を推定することが
できる！
ガラス－
ゴム転移
領域
シフトファクター aT
温度Tで測定した周波数依存性を
別の温度(基準温度Tr）での周波数に換算するため
の係数
log aT 
T
ガラス 1
領域 T
2
ゴム
領域
ω aT
T3
T5
T6
T7
T4
ω
c1, c2: 高分子によって決まる係数
（不明の場合には，c1 = 8.86, c2 =
101.6Kが用いられる）
 c1 (T  Tr )
c2  T  Tr
温度-周波数換算則の適用例
前回示した線形粘弾性のデータでは，温度-周波数換算則を適
用して広範囲の周波数領域での推定を行なっていた．
x30
x10
G’
Standard (x1)
G”
14
7
2015/5/19
非線形粘弾性
線形粘弾性が成り立つのは応力が十分に小さい場合のみ．高分子溶液やコロ
イド分散系などのソフトマターでは，弱い力であっても平衡状態から大きく
はずれ，強い非線形性を示す．
ω
シアシニング(shear thinning)
ずり速度が増加したときに，粘度が小さくなる現象．
シアシックニング(shear thickening)
ずり速度が増加したときに，粘度が大きくなる現象．
ビンガム塑性(Bingham plasticity)
ある応力を超えるまでは流動が起こらず，
それを超えると流動が始まる現象．
試料
Shear thickening
σ
Newton粘性
Shear thinning
Bingham塑性

３．非線形粘弾性体の連続体力学
運動方程式は，以下のように書くことができる．
Dv

  
Dt
ρ：密度
Dv v

 v  v 物質微分
Dt t
v：速度ベクトル
σ：応力テンソル
Cf. ニュートン流体の場合は
 ij   p ij    kk  ij  2  ij
1  v
v 
 ij   i  j  歪み速度テンソル
2  x j x i 
ソフトマターでは，多くの場合遅い流れを考えるので，慣性項を無視する．
   0
また，Poisson比がほぼ0.5であるため，非圧縮条件を課す．
v  0
8
2015/5/19
非線形粘弾性体の連続体力学
構成方程式（応力と変形を関係付ける式）
非線形Maxwellモデルの場合（積分形）
t
 ij (t )   p ij  G  dt ' exp(

Cf. 線形Maxwellモデルの場合は
t
t  t'


  G  dt ' exp(
) (t ' )
t  t ' B (t , t ' )
)

t '
3
B (t , t ' )   E (t , t ' ) E (t , t ' ) ：Finger テンソル
 1
Eij (t , t ' ) 
ri (t )
：変形勾配テンソル
rji (t ' )
結局，非線形粘弾性体（Maxwell model）の運動を解くには，以下の方程式を
連立させることになる．
   0
v  0
t
t  t ' B (t , t ' )
 ij (t )   p ij  G  dt ' exp( 
)


t '
単純な変形を除いては解析的に解けないので，数値解法を用いることになる．
３．本日のまとめと次回の予告
本日のまとめ
本日は，
-線形粘弾性の等価モデル
-温度－周波数換算則
-非線形粘弾性体の連続体力学
について学んだ．
次回の予告
次回は以下のような内容のお話をする予定．
-界面の熱力学
18
9
2015/5/19
４．レポート課題（5月19日出題分）
レポート課題
A４数枚に以下の設問に対する答えをまとめてください．
（冒頭に，必ず
学籍番号
氏名
を書くこと！）
η2 = 100MPa s
１．右図のようなモデルの
(i)線形粘弾性（貯蔵弾性率，損失弾性率）
(ii)ステップ歪みを加えた後の応力緩和挙動
G1 = 1MPa
G2 = 0.1MPa
について調べて下さい（グラフを示して下さい）．
η1 = 1MPa s
２．Weissenberg（ワイゼンベルグ）効果
（特に，メカニズム）について調べて下さい．
来週（5月26日）は
休講とします！
提出方法，提出先
次回（6月２日）のこの時間にレポートを回収します．
19
10

Download Report